Многогранники и из изображение на чертежах.

Многогранники и из изображение на чертежах. Выполнила: студентка технологического факультета 106 группы Спицына Ксения Сергеевна

Многогранником называется тело, ограниченное со всех сторон пересекающимися плоскостями, которые образуют грани многогранника. В некоторых многогранниках одну или две грани принимают за основания, тогда оставшиеся грани образуют боковую поверхность многогранника (призма, пирамида и др. ) Линии пересечения граней (плоскостей) является ребрами многогранника. Ребра многогранников могут быть параллельны другу и могут пересекаться, образуя вершину. Различное сочетание этих элементов многогранника, как по количеству, так и по положению, дает большое разнообразие многогранников.

Многогранники и их виды Многогранником называется пространственная фигура, ограниченная замкнутой поверхностью, состоящей из отсеков плоскостей, имеющих форму многоугольников. Стороны многоугольников образуют рёбра , а плоскости многоугольников - грани многогранника. Если вершины и ребра многогранника находятся по одну сторону плоскости любой из его граней, то многогранник называют выпуклым, все его грани – выпуклые. Из всего многообразия многогранников наибольший практический интерес представляют призмы, пирамиды , правильные многогранники и их разновидности. Многогранник, две грани которого n-угольники в параллельных плоскостях, а остальные n-граней – параллелограммы, называется n-угольной призмой.

На комплексном чертеже многогранники изображаются проекциями своих вершин и ребер. На начальном этапе изучения дисциплины рекомендуется проекции вершин отмечать точками в виде кружков. Для облегчения чтения чертежа иногда полезно обозначать проекции вершин многогранника. Если у многогранника некоторые ребра являются проецирующими или профильными прямыми, то при не обозначенных вершинах одному и тому же изображению многогранника может соответствовать несколько вариантов его конструкции. Действительно, если задан чертеж куба, на котором нет обозначения вершин (рисунок а), то при реконструкции чертежа помимо куба (б) можно получить еще четыре различно расположенные в пространстве треугольные призмы (одна из них изображена на рисунке в). Кроме этого можно получить четверть кругового цилиндра (рисунок д), фигуру, дополняющую четверть кругового цилиндра до куба (рисунок г) и другие фигуры. Для устранения многозначности в этом случае удобно обозначить проекции вершин куба.

Многогранники

Изображение многогранников сводится к изображению ребер – линий пересечения граней и вершины – точек пересечения ребер. Наличие на чертеже только прямолинейных отрезков, которые являются проекциями ребер или граней, служит признаком, позволяющим установить, что на чертеже изображен многогранник. Многогранник АВСD задан проекциями его ребер и вершин.

Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипидом. Многогранник, у которого одна из граней – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину, называются пирамидой. Если пирамиду отсечь плоскостью параллельной основанию, то получим усеченную пирамиду.

Многогранник называется метрически правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками. К ним относятся куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр. Такие выпуклые правильные многогранники называют тела Платона. В каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число рёбер. Все двугранные углы при рёбрах и все многогранные углы при вершинах правильного многоугольника равны. Правильные многогранники - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников.

Среди невыпуклых однородных многогранников существуют аналоги платоновых тел - четыре правильных невыпуклых однородных многогранника или тела Кеплера- Пуансо. Все грани таких многогранников - одинаковые правильные многоугольники, и все многогранные углы которых равны. Грани при этом могут быть как выпуклыми, так и невыпуклыми

Архимедовыми телами называются полуправильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани - правильные многоугольники нескольких типов.

Виды многогранников: Пирамида – это многогранник, одна грань которого многоугольник, а остальные грани – треугольники с общей вершиной. Пирамида называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник и высота пирамиды проходит через центр многоугольника. Пирамида называется усеченной, если её вершина отрекается плоскостью.

Призма – многогранник, две грани которого (основания призмы) представляют собой равные многоугольники с взаимно параллельными сторонами, а все другие грани – параллелограммы. Призма называется прямой, если её ребра перпендикулярны плоскости основания. Если основанием призмы является прямоугольник, призму называют параллелепипедом.

Тетраэдр – правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это правильная треугольная пирамида). Гексаэдр – правильный шестигранник. Это куб, состоящий из шести равных квадратов. Октаэдр – правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины. Додекаэдр – правильный двенадцатигранник, состоит из 12 правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины. Икосаэдр – состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА С ПРЯМОЙ. Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника производится аналогично построению точки пересечения прямой с плоскостью, но конкурирующая с данной прямой линия проводится не на плоскости, а на поверхности многогранника. Поэтому эта линия будет представлять собой ломаную линию, вершины которой лежат на ребрах многогранника, а стороны этой линии будут конкурировать с данной прямой. Точки пересечения данной прямой с вспомогательной ломаной линией и будут точками пересечения прямой с поверхностью многогранника. Если прямая не пересекается с вспомогательной ломаной линией, то это означает, что данная прямая не пересекается с поверхностью многогранника. Таким образом: для определения взаимного положения прямой и поверхности многогранника нужно провести на его поверхности вспомогательную ломаную линию, конкурирующую с данной прямой и определить взаимное положение этих линий. Если линии пересекаются, то точки их пересечения и являются точками пересечения прямой с поверхностью многогранника.

Если прямая пересекается с поверхностью геометрического тела, то она имеет с этой поверхностью в общем случае две точки — точку входа и точку выхода.

Сечение многогранника плоскостью В общем случае линия пересечения – плоская ломаная линия

способ ребер по точкам пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью (задача на построение точки пересечения прямой с плоскостью) способ граней по линии пересечения граней многогранника с секущей плоскостью (задача на построение линии пересечения двух плоскостей)

Секущая плоскость – частного положения – точки искомой линии пересечения строятся по точкам пересечения выродившейся в прямую проекции секущей плоскости с одноименными проекциями ребер (образующих или других линий) данной поверхности

Пересечение прямой с поверхностью S S 2 ℓ К (N 2 2 2 2 ) А X 1, С В 2 N 2 В 2 А 1 К 1 S 1 1 ℓ 1 С 1

Алгоритм 1. Через прямую ℓ проводят вспомогательную плоскость-посредник 2. Находят линию пересечения поверхности с плоскостью – k 3. Отмечают точки пересечения прямой ℓ с линией k, точки 1 и 2 Количество точек пересечения прямой с поверхностью определяет порядок последней

Задача Построить точки пересечения прямой и плоскости с пирамидой S 2 M 2≡N 2≡ m 2 12 2 42 A 2 D 2 C 2 22≡ 32 A 1 N 1 C 1 21 S 61 51 1 11 M 1 31 71 m 1 41 D 1

Пример. Построить точки пересечения прямой l с поверхностью пирамиды SABC. Построим на поверхности пирамиды вспомогательную ломаную линию t, фронтально конкурирующую с прямой l. Эта вспомогательная линия определяется точками 1, 2 и 3. Видно, что данная прямая пересекается с вспомогательной линией в точках M и N, которые и являются искомыми точками пересечения. При этом вначале точки M и N строятся на горизонтальной проекции в пересечении прямой l с вспомогательной линией t, а затем проецируют- ся на фронтальную проекцию прямой l. Определим видимость прямой l. На виде сверху (на горизонтальной проекции) точки M и N лежат в видимых гранях пирамиды, поэтому эти точки здесь видимы, а прямая l будет невидима только на отрезке MN, находящемся внутри поверхности пирамиды. На виде спереди (на фронтальной проекции) точка М лежит в невидимой грани SAC, тогда как точка N – в видимой грани SCB. Поэтому прямая l невидима от точки N до точки М и далее до точки, конкурирующей с точкой 1 ребра AS. В частных случаях: при построении точек пересечения прямой с поверхностью многогранника, когда прямая или грани многогранника являются проецирующими, следует использовать «вырождение» их проекций в точку или прямые.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКА С ПЛОСКОСТЬЮ. Сечением многогранника плоскостью является многоугольник, вершинами которого будут точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а сторонами – отрезки прямых пересечения граней многогранника с той же плоскостью. Поэтому построение сечения многогранника плоскостью сводится к многократному решению задачи на пересечение прямой с плоскостью или к многократному решению задачи на пересечение плоскостей. Поскольку решение первой задачи проще, то вершины сечения многогранника обычно строят как точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью. После построения вершин сечения нужно соединить отрезками прямых каждые две вершины лежащие в одной грани многогранника. При этом на проекциях (видах) видимыми сторонами сечения будут те, которые лежат в видимых гранях и, наоборот, невидимыми будут стороны сечения, если они лежат в невидимых гранях. Таким образом: построение вершин сечения многогранника плоскостью сводится, в общем случае, к проведению на секущей плоскости вспомогательных прямых, конкурирующих с ребрами многогранника, и определению точек пересечения этих прямых с соответствующими ребрами. При этом: если секущая плоскость или грани многогранника являются проецирующими, то следует использовать «вырождение» их проекций в прямые.

Сечение многогранника плоскостью представляет собой некоторый много угольник A 1 B 1 C 1 D 1 E 1, вершины которого расположены на ребрах многогранника, а стороны — на его гранях. Лекция 4.

Построить линию пересечения трехгранной наклонной призмы с основанием ABC фронтально проецирующей плоскостью Θ. Лекция 4.

Нахождение точек пересечения любой поверхности прямой линией производится в следующем по рядке. 1) Заключают прямую во вспомогательную плоскость (обычно в проецирующую). 2) Находят линию сечения вспомогательной плоскости сданной поверхностью. 3) Находят точки пересечения полученной линии сечения с данной прямой. Это и будут искомые точки пересечения прямой с данной поверхностью. Лекция 4.

Пример. Построить проекции сечения пирамиды SABCDE фронтально проецирующей плоскостью Б (рисунок а). Поскольку в данном случае фронтальная проекция сечения «вырождается» в отрезок прямой, совпадающий с фронтальной проекцией плоскости Б, то здесь можно отметить фронтальные проекции вершин искомого сечения A 1, B 1, C 1, D 1 и E 1. На виде сверху (на горизонтальной проекции) вершины сечения находим на соответствующих проекциях ребер пирамиды. Соединив последовательно вершины сечения отрезками прямых, получим горизонтальную проекцию сечения.

Построить проекции и истинную величину фигуры сечения пирамиды SABC плоскостью Р, а также полную развертку поверхности с нанесением линии сечения.

ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОГОГРАННИКОВ Линия пересечения многогранников ( линия перехода) в общем случае является пространственной ломаной линией. В некоторых случаях она может распадаться на несколько отдельных частей, которые могут быть и плоскими многоугольниками. Вершинами этой ломаной линии являются точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго, а также ребер второго многогранника с гранями первого. Сторонами линии пересечения являются отрезки прямых, по которым пересекаются грани обоих многогранников. Поэтому построение линии пересечения многогранников сводится к многократному решению задачи на пересечение прямой с плоскостью, а построение сторон этой линии сводится к многократному решению задачи на пересечение плоскостей. Обычно находят вершины линии пересечения, а стороны определяют соединением соответствующих вершин. Ясно, что соединять отрезками прямых можно только те пары вершин, которые лежат в одной и той же грани первого многогранника и в то же время в одной и той же грани второго многогранника. Если же рассматриваемая пара вершин хотя бы в одном многограннике принадлежит разным граням, такие вершины не соединяются. Порядок соединения вершин линии пересечения определяется проще, если выяснен вопрос с видимостью ребер многогранников. При этом для каждого ребра, на котором есть вершины линии пересечения, отмечена видимость до и после его пересечения с другим многогранником. Видимыми будут только те видимые ребра каждого многогранника, которые пересекаются с видимыми гранями другого многогранника.

При соединении вершин линии пересечения необходимо учитывать видимость ее звеньев. Видимыми будут те звенья, которые принадлежат одновременно видимым граням обоих многогранников. Логично, что проекции линии пересечения могут располагаться только в пределах площади наложения проекций многогранников. Поэтому если хотя бы на одном виде (проекции) ребро находится вне площади наложения, то это ребро не пересекается с другим многогранником. Следовательно: построение вершин линии пересечения двух многогранников сводится к проведению на поверхности каждого многогранника вспомогательных ломаных линий, конкурирующих с ребрами другого многогранника, и определению точек пересечения этих вспомогательных линий с соответствующими ребрами. Построение сторон линии пересечения сводится к последовательному соединению отрезками прямых тех пар вершин, которые лежат в одной и той же грани каждого из данных многогранников.

Пример. Построить линию пересечения треугольной пирамиды с треугольной призмой, боковая поверхность которой является горизонтально проецирующей (рисунок ). Поскольку боковая поверхность призмы на виде сверху проецируется в линию (треугольник), то линия пересечения поверхностей (принадлежащая обеим поверхностям одновременно, в том числе и поверхности призмы) здесь совпадает с изображением поверхности призмы, т. е. с треугольником. Видно, что линия пересечения распадается на две части: треугольник АВС и пространственную замкнутую ломаную DEFGH. Вершины A, B, C, D, F, G определяются как точки пересечения ребер пирамиды с гранями призмы. Горизонтальные проекции точек Е и Н пересечения правого ребра призмы с гранями пирамиды совпадают с горизонтальной проекцией самого ребра. На виде спереди (на фронтальной проекции) проекции этих точек построены с помощью прямых S-1 и S-2, лежащих в гранях пирамиды, которые пересекает ребро призмы.

Пример полного пересечения

Две многогранные поверхности в общем случае пересекаются по пространственной замкнутой ломаной линии Проницание частичное

В частных случаях эта ломаная может распадаться на две и более замкнутые ломаные линии, на плоскую и пространственную линии Проницание частичное Проницание полное Две замкнутые ломаные линии (плоская и пространственная) ( обе плоские)

Способ ребер построение вершин ломаной как точек пересечения ребер первого многогранника с гранями второго и ребер второго с гранями первого прямыми соединяются проекции только тех точек, которые принадлежат одной грани Способ граней построение сторон ломаной как отрезков прямых попарного пересечения граней данных многогранников

Линия q взаимного пересечения многогранников представляет пространственную замкнутую ломаную линию.

1. Как изображаются многогранники на чертеже? 2. Как определить принадлежность точки и прямой поверхности многогранника? 3. Как определить натуральную величину сечения?