Многофакторный дисперсионный анализ Двухфакторный дисперсионный анализ Рассмотрим

Многофакторный дисперсионный анализ

Двухфакторный дисперсионный анализ Рассмотрим задачу оценки действия двух одновременно действующих факторов. Имеются два фактора А и В по которым можно классифицировать данные наблюдения. Пусть по признаку А все наблюдения делятся на r групп (уровней), по признаку B на u групп. Для простоты ограничимся случаем когда в каждой группе имеется только одно наблюдение. Таким образом общее число наблюдений n = ru. B 1 B 2 B 3 Bυ A 1 x 12 . . . x 1υ A 2 x 21 x 22 A 3 . . . Ar xr 1 xr 2 . . . xrυ x 2υ . . .

Общая, факторные и остаточные суммы Средние групповые и общая средняя вычисляются по формулам Общая, факторные и остаточные суммы определяются равенствами

Общая, факторные и остаточные дисперсии Предполагая, что величины но неизвестную дисперсию нормально распределены и имеют общую, . Тогда общая, факторные и остаточные дисперсии, определяемые равенствами могут быть использованы в качестве несмещенных оценок

Проверка значимости факторов Для проверки степени значимости расхождений, обнаруженных в средних по строкам или по колонкам, пользуются критерием Фишера: Сравнивая наблюдаемые значения FA и FB с критическим значением распределения Фишера, соответственно, и Если, для фактора, наблюдаемое значение критерия больше критического, то этот фактор значим, при уровне значимости a.

Схема двухфакторного дисперсионного анализа Компонента дисперсии Между средними по строкам Между средними по столбцам Остаточная Общая Сумма квадратов Число степеней свободы Оценка дисперс ии

Пример двухфакторного анализа В качестве числового примера рассмотрим данные об отклонении диаметров шариков от общего «ложного нуля» , полученных на заводе подшипников десятью наладчиками, каждый из которых обслуживал по пять доводочных станков. Требуется сравнить влияние на рассеивание диаметров шариков точности станков и квалификации наладчиков. Для практических расчетов можно использовать следующие формулы:

Решение Воспользовавшись этими соотношениями для нашего примера, имеем: Таблица двухфакторного дисперсионного анализа будет иметь следующий вид: Компонента дисперсии Между станками…………. . Между наладчиками………………. . . Остаточная……………… Общая………………… Сумма квадратов 5, 1 18, 5 202, 5 226, 1 Число степеней свободы 4 9 36 49 Средний квадрат 1, 28 2, 06 5, 62 4, 61

Производим проверку нулевой гипотезы при помощи критерия Фишера: для фактора «точность станков» имеем: и для фактора «квалификация наладчика» - По таблице критических значений распределения находим, что для первого фактора критический границы будут: а для второго фактора Таким образом, влияние станков и наладчиков на рассеивание оказалось несущественным. В качестве же оценки дисперсии следует взять общий средний квадрат, т. е. принять Тогда поле рассеивания диаметров шариков можно при надежности в 99, 73% принять равным