Министерство образования и науки У Р Муниципальное бюджетное

Министерство образования и науки У. Р. Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 93 Презентация по геометрии на тему: «Подобные треугольники» . Выполнили: ученики 8 В класса Поздеев Павел , Кузнецова Вера, Чуракова Арина , Тимофеев Денис, Намазова Нермин. Проверил: учитель геометрии Кузьмина Татьяна Александровна Ижевск 2013

Пропорциональные отрезки: Определение: Отрезки называются пропорциональными, если отношения их длин равны. Утверждение: Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные противолежащим сторонам треугольника. B A D AD/AB=DC/BC C

Подобные треугольники: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. В АВ и А 1 В 1, ВС и В 1 С 1, АС и А 1 С 1 – сходственные стороны. В 1 С А С 1 А 1

Подобные треугольники: Треугольник АВС ~ треугольнику А 1 В 1 С 1 1. <A = <A 1, <B = <B 1, <C = <C 1 2. AB/A 1 B 1 = BC/B 1 C 1 = AC/A 1 C 1 = K k – коэффициент подобия.

Коэффициент подобия: k=PABC / PA 1 B 1 C 1 k 2=SABC / SA 1 B 1 C 1 AC/A 1 C 1 = BH/B 1 H 1 B A H B 1 C A 1 H 1 C 1

Отношение площадей подобных треугольников: Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Доказательство: Пусть треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 подобны, а коэффициент подобия равен k. Площади этих треугольников S и S 1. Т. к. угол А = углу А 1, то S/S 1=AB*AC/A 1 B 1*A 1 C 1 по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу. Получили: AB/A 1 B 1=k, AC/A 1 C 1=k =>S/S 1=k 2. Теорема доказана.

1 признак подобия: B 1 C А B A 1 C 1 <A = <A 1, треугольник ABC~треугольнику A 1 B 1 C 1 Теорема: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство: C C 1 A B A 1 B 1 По теореме о сумме углов треугольника <C=180°-<A-<B, <C 1 =180°-<A 1 - <C=<C 1 => углы треугольника ABC равны углам треугольника A 1 B 1 C 1 , т. к. <A=<A 1 и <C=<C 1 => углы треугольника A 1 B 1 C 1 равны углам треугольника ABC, т. к. <A = <A 1 и <C = <C 1 => SABC / SA 1 B 1 C 1 = AB*AC/A 1 B 1*A 1 C 1 и SABC / SA 1 B 1 C 1 = CA*CB/C 1 A 1*C 1 A 1 => AB/A 1 B 1 = BC/B 1 C 1 и BC/B 1 C 1 = CA/C 1 A 1 Получили: стороны треугольника ABC пропорциональны сходсвенным сторонам треугольника A 1 B 1 C 1. Теорема доказана.

2 признак подобия: AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1 <A=<A 1 => треугольник C A ABC~ треугольнику A 1 B 1 C 1 B A 1 B 1 Теорема: Если 2 стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Доказательство: C 1 AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1 C A 1 B 1 A 1 2 B C 2 Рассмотрим треугольник ABC 2: <1=<A 1 и <2= треугольник ABC 2 ~ треугольнику A 1 B 1 C 1 по первому признаку подобия треугольников =>AB/A 1 B 1 = AC 2/A 1 C 1. И AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1 => AC=AC 2. Получили: треугольник ABC = треугольнику ABC 2 , т. к. AB-общая сторона, AC=AC 2 и <1=<A => <B=<2, а так как <2= <B=<B 1. Теорема доказана.

3 признак подобия: C AC/A 1 C 1 = AB/A 1 B 1 = BC/B 1 C 1 => треугольник ABC ~ треугольнику A 1 B 1 C 1 A B A 1 B 1 Теорема : Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого , то такие треугольники подобны.

Доказательство: C 1 A A 1 AC/A 1 C 1 = AB/A 1 B 1 = BC/B 1 C 1 C B 1 1 2 B C 2 Рассмотрим треугольник ABC 2: <1=<A 1, <2= треугольник ABC 2~ треугольнику A 1 B 1 C 1 => AB/A 1 B 1=BC 2/B 1 C 1=C 2 A/C 1 A 1. Получили: BC=BC 2, AC=AC 2. Треугольник ABC=ABC 2 по трем сторонам Þ<A=<1, а т. к. <1=<A 1, то <A=<A 1. ÞТеорема доказана.

Задача. В треугольнике ABC сторона AB равна a, а высота CH равна h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник ABC так, что две соседние вершины квадрата лежат на стороне AB, а две другие – соответственно на сторонах AC и BC. C Дано: CH = h ; AB = a ; PO=PR=RS=SO Найти: PR P T Решение: R Рассмотрим треугольники PCR и ABC : 1) <C – общий B O H S A 2) <CPR = <CBA как соответственные при PR║BA и секущей BC Тогда треугольник PCR ~ треугольнику ABC по двум равным углам => PR/AB = CH-TH/CH Пусть TH = PR = x, тогда x/a = h-x/h hx = a(h – x) hx = ah – ax = hx ah = ax + hx ah = x(a + h) x = ah/h + a => PR = ah/h + a Ответ: PR = ah/h + a

Средняя линия треугольника и ее свойства: Определение: Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. В 1. DE||AB 2. DE=½ AB Е A D С

Теорема и доказательство: Теорема: Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Доказательство: Пусть MN-средняя линия треугольника ABC. В Рассмотрим треугольники BMN и BAC: Угол В общий, BM/BA=BN/BC=½ => Треугольники подобны, поэтому угол 1=углу2 и MN/AC=½ Получили: MN||AC, т. к. угол 1=углу 2 как соответственные и MN=½ AC. Теорема доказана. 1 М 2 А N С

Свойства медианы треугольника: 1. АА 1 пересекается с ВВ 1 пересекается с СС 1=О 2. АО/ОА 1=2/1, ВО/ОВ 1=2/1, СО/ОС 1=2/1 В C 1 A A 1 O B 1 C

Доказательство: Пользуясь теоремой о средней линии докажем. Т. к. угол 1 и угол 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежащие C => треугольник AOB~треугольнику A 1 B 1 C 1 по двум углам =>AO=A 1 O/BO=B 1 O=AB/A 1 B 1 4 2 A 1 Но AB=2 A 1 B 1=>AO=2 A 1 O и BO=2 B 1 O => Точка О пересечения медиан АА 1 и ВВ 1 1 Делит каждую из них в отношении 2: 1. A Получили: все три медианы треугольника ABC пересекаются в отношении 2: 1 C 1 3 B

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. C 1. Рассмотрим треугольник ABC : треугольник ACD ~ треугольнику CDB треугольник ACD ~ треугольнику ACB треугольник CDB ~ треугольнику ACB A 2. CD = AD * DB 3. AC = AB * AD CB = AB * DB 4. CB 2/ AC 2= AD / DB D B

Задача. Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. C Дано: <C = 90° ; <CDB = <CDA = 90° Доказать: ACD ~ DCB ~ ACB Доказательство: Треугольники ABC и подобны по первому признаку подобия треугольников ( <A – общий, <ACB = <ADC = A B D 90°). Точно так же подобны треугольники ABC и CBD( <B – общий и <ACB = <BDC = 90°), поэтому <A = <BCD. Наконец, треугольники ACD и CBD также подобны по первому признаку подобия( в этих треугольниках углы с вершиной D прямые и <A = <BCD), что и требовалось доказать!

Утверждения с доказательствами. 1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой. Доказательство: Исходя из задачи предыдущего слайда, ADC ~ CBD, Поэтому AD/CD = CD/DB, и, следовательно, CD 2 = AD * DB, откуда CD = AD * DB 2) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой , проведенной из вершины прямого угла. Доказательство: Исходя из задачи предыдущего слайда, ABC ~ ACD, Поэтому AB/AC = AC/AD, и, следовательно, AC = AB * AD C A D B

Литература: 1. Учебник для общеобразовательных учреждений по геометрии, 7 -9 классы, Москва «Просвещение» 2010 г. Искали информацию и составляли слайды: Чуракова Арина Тимофеев Денис, Поздеев Павел Решала задачу Кузнецова Вера Рассказывали: Намазова Нермин, Кузнецова Вера