Министерство образования и науки РТ ГАОУ СПО «Лениногорский нефтяной техникум» Учебно-исследовательская работа по секции «Математические и естественно научные дисциплины» На тему: «Решение прикладных задач используя дифференцирование и интегрирование функции» Выполнили студенты группы СЭН-11 Мурзин И. П. , Коновалов Д. А. , Арсланов Л. Д. Руководитель Самарханова Э. Г.
Задачи на производные
Задача: Расходы на топливо, необходимое для движения океанского танкера, пропорционально кубу его скорости и составляют 20 руб. в час при скорости 10 узлов (узел равен морской миле в час), а все прочие расходы составляют 100 руб. в час. Найти наиболее экономичную скорость движения при тихой погоде. Вычислить дополнительную прибыль, если расстояние до порта назначения 1000 морских миль (морская миля равна 1852 м).
Решение: Пусть х узлов - наиболее экономичная скорость движения океанского танкера. Как найти расход топлива при скорости в 1 узел? Записываем: 20 руб. /10³=0, 02 руб. , а потому 0, 02 х ³ руб. – расход топлива при скорости х узлов. Надо найти время движения, за которое танкер пройдет 1000 морских миль. Получаем: 1000/х, ч. Составим функцию расхода средства за один рейс. Записываем: Р= (1000*0, 02 х³)/х руб. Как нам учесть и другие виду расходов, которые составляют 100 руб. в час? Пишем: Р= (1000*(0, 02 х³ + 100))/х руб.
![Этап решения математической модели 1. Р′= [1000*(0, 02 х³+100/х)]′ = 1000(0, 04 х- 100/х²)](https://present5.com/presentation/32039355_135618932/image-6.jpg "Этап решения математической модели 1. Р′= [1000*(0, 02 х³+100/х)]′ = 1000(0, 04 х- 100/х²)")
Этап решения математической модели 1. Р′= [1000*(0, 02 х³+100/х)]′ = 1000(0, 04 х- 100/х²) 2. 1000(0, 04 х- 100/х²)=0, 0, 04 х³=100, х= √ 2500, откуда х=13, 6 узлов При х=10 Р′=1000(0, 04*10 - 100/10²) < 0, 10 13, 6 15 при х=15 Р′=1000(0, 04*15 – 100/15²) > 0, следовательно, 13, 6 узлов является наиболее экономичной скоростью. Этап интерпретации. Вычислим расходы средств на 1000 морских миль при скорости 10 и 13, 6 узлов. Р= (1000(0, 02*10³+100))/10 = 12000 руб. ; Р 1=(1000(0, 02*13, 6³+100))/13, 6 ≈ 11030 руб. Найти дополнительную прибыль, полученную в результате вычисления наивыгоднейшей экономичной скорости: Рд. п. – дополнительная прибыль за один рейс в 1000 морских миль; Рд. п. = Р - Р 1 ≈12000 руб. – 11030 руб. = 970 руб.
За счет чего мы получаем дополнительную прибыль? За счет научной организации труда. О НОТ сейчас много пишут в газетах, пропагандируя передовые методы организации труда на предприятиях. Ответ: Дополнительная прибыль за один рейс в 1000 морских миль составляет примерно 970 руб.
Задача: Из сопротивления материалов известно, что прочность балки прямоугольного поперечного сечения на изгиб пропорциональна произведению ширины на квадрат высоты. Вычислите размеры наиболее прочной балки, т. е. соотношение ширины к высоте поперечного сечения, которую нужно изготовить из цилиндрического бревна, если диаметр равен d линейных единиц. Выясните с экономической точки зрения, почему необходимо при строительстве сооружений учитывать полученный результат решения задачи.
Решение. Пусть х линейных единиц – ширина поперечного сечения балки, а у линейных единиц – высота поперечного сечения, тогда по теореме Пифагора: х² + у²= d². Прочность балки: S= kxy²= kx(d²-x²)= kd²x-kx³, где k - коэффициент пропорциональности. Исследуем данную функцию на максимум и минимум: S' = (kd²x-kx³)' = k(d²-3 x²); k(d² - 3 х²) =0, откуда x 1 = d/√ 3, Х 2 = - d/√ 3. Второй корень мы можем не принимать во внимание, потому что отрицательное решение не имеет смысла для нашей задачи. Прочность балки не может быть неограниченно большой, т. Е. она должна иметь определенный максимум. Следовательно, корень х=d√ 3 дает нам значение, при котором функция S достигает максимума. При х=d√ 3 линейных единиц высота у=d√ 2/3 линейных Единиц. Таковы размеры наиболее прочной балки, т. е. отношение ширины к высоте как 5: 7.
Задачи на интегралы
Какую работу совершает сила в 10 Н при растяжении пружины на 2 см? Решение. По закону Гука сила F, растягивающая пружину, пропорциональна растяжению пружины, т. е. F = kx. Используя условие, находим k = 10/0, 02 = 500 (Н/м), т. е. F = 5 ООх. Согласно формуле, получим 0, 02 А = ∫ 500 хdх=500 x²/2 │ = 0, 1 (Дж). 0 0
Сила в 60 Н растягивает пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 14 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть ее до 20 см? Решение. Имеем k = 60/0, 02 = 3000 (Н/м) и, следовательно, F = 3000 х. Так как пружину требуется растянуть на 0, 06 (м), то 0, 06 А= ∫ 3000 xdx= 1500 х² │ = 1500*0, 06²=5, 4 (Дж). 0 0
Цилиндрический стакан наполнен ртутью. Вычислить силу давления ртути на боковую поверхность стакана, если его высота 0, 1 м, а радиус основания 0, 04 м. Плотность ртути равна 13600 кг/м³. Решение. Вычислим площадь круглой полоски: ∆S= 2πr dx = 0, 08π dx. Элементарная сила давления составляет ∆P=9, 81*136, 00*0, 08π dx = 10673π dx. Следовательно, 0, 1 Р= ∫ 1067 Зπх dх = 1067 Зπ x²/2 │ = 53, 37π ≈ 167, 6 (Н). 0 0
Дневная производительность труда рабочего машиностроительного завода приблизительно выражается функцией у=0, 004 t² + 0, 09 t + 20, 094, где t - выпуск продукции за один час. Определить объем продукции в течение года, если число рабочих дней равно 240, а продолжительность рабочего дня 7 ч. Выпуск продукции в один день вычислить с точностью до единицы.
Решение. Объем продукции, изготовляемой рабочим за один день (смену), определим с помощью определенного интеграла: 7 V =∫ (-0, 004 t² - 0, 09 t + 20, 094)dt= [0, 004 t³/3 - 0, 09 t²/2 + 20, 094 t] = (0, 004*7³)/3 шт. + (0, 09*7²)/2 шт. + + 20, 09*7 шт. = (0, 004*343)/3 шт. + (0, 09*49)/2 шт. + + 140, 63 шт. = 143 шт. Объем продукции за год составит 34320 шт. Ответ: 34320 шт.
Скачать презентацию Министерство образования и науки РТ ГАОУ СПО Лениногорский
матем.ppt