МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. КАЗАНСКИЙ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. А. Н. ТУПОЛЕВА ИНСТИТУТ АВИАЦИИ, НАЗЕМНОГО ТРАНСПОРТА И ЭНЕРГЕТИКИ КАФЕДРА ТЕХНОЛОГИИ ПРОИЗВОДСТВА ДВИГАТЕЛЕЙ КОРОВИН Е. М. ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КИБЕРНЕТИКА КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ для студентов технологических специальностей Казань 2007

УДК 681: 51 ББК З. 81 Лекция 1 ВВЕДЕНИЕ В условиях рыночной экономики эффективно работают только конкурентоспособные наукоёмкие производства. Известно, что технологические процессы механической обработки характеризуются экстремальным характером зависимости основных технико-экономических показателей (трудоёмкости, себестоимости, прибыли) от структуры и параметров процесса [1]. Поэтому применение методов кибернетики является радикальным средством повышения эффективности экстремальных технологий в условиях рыночной экономики. В настоящее время в литературе отсутствуют учебники и учебные пособия по этой дисциплине. Конспект содержит краткое изложение основных методов оптимизации технологических решений, разработанных при проведении исследодований, выполненных под руководством автора, за период 1965 – 2005 гг. по заказам предприятий машиностроения, моторостроения, авиастроения и приборостроения городов Москвы, Казани, Ульяновска, Зеленодольска, Подольска. Методы оптимизации иллюстрируются конкретными числовыми примерами. Любая из рассмотренных экстремальных технологических задач может служить исследовательской специальной частью курсового или дипломного проекта, интегрирующей знания студента по технологии, математике, экономике и информатике применительно к условиям рыночной экономики. Материалы конспекта являются методической базой для выполнения НИРС. Он также будет полезен бакалаврам, магистрам и аспирантам при выполнении аналитических исследований в технологии.

Рассмотрим основные определения. Кибернетика – наука об управлении. Техническая кибернетика –управление в технических системах. Технологическая кибернетика – управление технологическими процессами и системами, поиск оптимальных структур и параметров технологических процессов. Покажем на примере элементарного перехода (рис. 1. 1) экстремальный характер зависимости критерия трудоёмкости (времени изготовления одной детали) от режимов обработки: подачи S и частоты n. Исследование включает следующие этапы. 1. Анализ технологической операции. Рис. 1. 1

При обработке на низких режимах трудоёмкость высокая из-за больших затрат на основное время. При обработке на высоких режимах трудоёмкость также высокая, т. к. снижается стойкость инструмента и возрастают непроизводительные простои оборудования на его замену. 2. Постановка задачи. Для заданных условий токарной операции (рис. 1. 1) найти частоту n и подачу S, обеспечивающих минимальную трудоёмкость и гарантирующих требуемое качество обработки. 3. Разработка математической модели. Модель включает целевую функцию и технические ограничения. 3. 1. Целевая функция – это выражение критерия через искомые неизвестны = в+ 0+ и=f(S, n)=min (1. 1) где в – вспомогательное время на установку заготовки, съем и контроль обработанной детали, мин; 0 – основное время, в течении которого инструмент работает на режимах S и n, мин; и – затраты на инструмент, отнесенный к одной обработанной детали, мин.

Из теории резания известно, что в f(S, n)=const (1. 2); 0= (1. 3) ; и= 1, где 1 – время на одну замену затупившегося инструмента, мин; T – стойкость инструмента; мин. Согласно нормативам [3] Т= , поэтому и = (4) Подставив раскрытые значения слагаемых (1. 3), (1. 4) в выражение (1. 1), получим целевую функцию в развернутом виде = в+ (1. 5)

3. 2 Технические ограничения - это выражение важнейших показателей качества обработки также от искомых режимов резания. Gj=fj(S, n) Gj , j=1 m (1. 6) Выражения (1. 5) и (1. 6) в совокупности представляют собой математическую модель трудоёмкости рассматриваемой операции. 4. Анализ математической модели. Целевая функция (1. 5) представляет собой нелинейную двухмерную зависимость трудоёмкости от частоты и подачи, имеющую минимум при оптимальных значениях S и n. Сделаем попытку найти So и no методом частных производных.

Система нелинейных уравнений (1. 7) является несовместной и не имеет решения, так как выражение (1. 5) описывает не центрированную, а «овражную» поверхность. Построим геометрическую иллюстрацию математической модели на плоскости (рис. 1. 2). Здесь обозначено: ОABCDFGH – область допустимых решений; BC – ограничение по стойкости инструмента; CD – ограничение по мощности станка; DF – ограничение по качеству обработки; GF – ограничение по прочности инструмента; GH – ограничение по точности обработки. Допустимая область представляет собой дискретную сетку режимов станка по частотам и подачам, поэтому можно выбирать рабочие режимы только в узлах этой сетки. Изолинии а равной трудоемкости характеризуют топографию целевой функции (1. 5). Рис. 1. 2 МЕ – дно «оврага» (линия минимумов).

Задача относится к классу задач нелинейного программирования, так как целевая функция и технические ограничения не линейны. Построим топографию трудоёмкости (рис. 1. 3). Топография трудоёмкости – овражная поверхность с изогнутым дном МЕ, понижающимся с увеличением подачи и снижением частоты. Минимум находится в точке Е (рис. 1. 2) на пересечении линии минимумов МЕ с одним из ограничений DF. Найдем услови для расчета оптимальной частоты Рис. 1. 3 в точке Е при Smax Откуда (1. 8) Покажем на графике формирования n 0 (рис. 1. 4) Рис. 1. 4

Эффект оптимизации. Не требуется приобретение новых материалов, инструментов и оборудования. Необходимо только приобрести и освоить соответствующее математическое обеспечение, с помощью которого можно анализировать действующие и проектируемые технологические процессы. Контрольные вопросы 1. Что такое «Технологическая кибернетика» ? 2. Объясните актуальность дисциплины в условиях рыночной экономики. 3. Назовите задачи, решаемые технологической кибернетикой. 4. Объясните причину экстремальности процессов механообработки. 5. Что включает математическая модель критерия оптимизации? 6. Что такое целевая функция? 7. Что такое технические ограничения? 8. Что представляет собой топография трудоемкости? 9. К какому классу задач относится задача поиска оптимальных режимов резания? 10. В чём заключается эффект оптимизации технологий?

Лекция 2 МЕТОДОЛОГИЯ СИСТЕМНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ. Системная оптимизация - это последовательное итерационное решение задач структурной и параметрической оптимизации. Для технологического процесса структуру составляет набор и последовательность выполнения операции. Для операции структура – это набор инструментов и последовательность их работы. Для перехода – определение характера рабочих и холостых траекторий. Под параметрами понимаются количество станков, режимы обработки и др. Задачи оптимизации структуры мало изучены, но их решение составляет вклад в оптимизацию до 70%. Задачи параметрической оптимизации наиболее исследованы, их решение дает вклад в оптимизацию до 30%. Рассмотрим примеры структурной и параметрической оптимизации операций, выполняемых на станках с ЧПУ.

1. Точение. 2. Фрезерование. Рис. 2. 1 Рис. 2. 2 Задача структурной оптимизации: для Структурная оптимизация: для заданных уравнений контуров детали у(х) и уравнений контуров детали у1(х) и у2(х) найти заготовки U(х) найти число проходов Р и набор фрез di, зоны обработки Fi для каждой уравнения рабочих траектории d i=f i(x) для фрезы и последовательность их работы, i=1…P, доставляющих экстремум критерию оптимизации. оптимизации. Задача параметрической оптимизации: Параметрическая оптимизация: для найденной структуры определить рабочие управления частотой ni=fi(х) и подачей траектории и управления режимами для Si=fi(х) для i-го прохода, обеспечивающих каждой фрезы, гарантирующих экстремум критерия. критерия.

3. Осевая обработка Рис. 2. 3 Оптимизация структуры: для заданных координат трех групп отверстий di, dj, dk; , i=1…u, j=1…n, k=1…m найти траекторию их обхода у(х) и последовательность индексации магазина с инструментами Ми, обеспечивающих минимум вспомогательного времени операции. Оптимизация параметров: для найденной структуры определить оптимальные режимы обработки отверстий инструментами диаметром di, dj, dk, доставляющих экстремум критерию оптимизации.

Задачи системной оптимизации бывают многошаговыми и одношаговыми (рис 2. 4). Основные этапы оптимизации технологических процессов. 1. Анализ проблемы 2. Выбор критерия оптимизации. 3. Постановка задачи. 4. Разработка упрощенной математической модели. 5. Анализ модели. 6. Анализ методов оптимизации. 7. Выбор или разработка эффективного алгоритма. 8. Разработка программы. Рис. 2. 4 9. Оптимизация по программе. Здесь: 10. Анализ резервов повышения качества оптимизации. yi и yi-1 – значения критерия на анализируемой и предшествующей операциях; y – минимально-допустимое значение улучшения критерия.

Контрольные вопросы 1. Что такое системная оптимизация? 2. Что такое структура? 3. Что такое параметры? 4. Что является структурой для технологического процесса? 5. Что является структурой для технологической операции? 6. Что является структурой для технологического прохода? 7. Как формулируется задача структурной и параметрической оптимизации для токарной программной обработки? 8. Как формулируется задача структурной и параметрической оптимизации для программной обработки на фрезерном станке? 9. Как формулируется задача структурной и параметрической оптимизации для программной осевой обработки? 10. Какие этапы включает оптимизация технологических процессов?

Лекция 3 ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ В ТЕХНОЛОГИИ Классификация задач В технологии основными параметрами являются режимы резания, определяющие время, стоимость, качество обработки, а так же усилия, крутящий момент и мощность резания. В зависимости от вида оборудования и количества одновременно работающих инструментов режимы резания классифицируются по следующей схеме рис. 3. 1 Рис. 1. 9 Рис. 3. 1 Одноинструментная обработка – когда заготовка одновременно обрабатывается только одним инструментом (станки с ручным управлением, ЧПУ). Многоинструментная – одновременная обработка заготовки несколькими инструментами (полуавтоматы, агрегатные станки, автоматические линии). Стационарные режимы – когда глубина, подача и скорость резания остаются неизменными по рабочей траектории инструмента. Динамические режимы – когда элементы режима резания изменяются по рабочей траектории инструмента.

3. 1. ОДНОИНСТРУМЕНТНАЯ ОБРАБОТКА. 3. 1 СТАНЦИОННЫЕ РЕЖИМЫ. Технологические задачи с одной неизвестной Оптимизация по критерию трудоемкости 1. Анализ операции Рассматриваем конкретную токарную операцию (рис. 3. 2) Рис. 3. 2 Выполняется обтачивание заготовки длиной L диаметром Ф 54 в размер Ф 50 с подачей S=0. 2 мм/об. Материал заготовки - нержавеющая сталь марки 1 Х 18 Н 9 Т, материал режущей пластины резца однокарбидный твёрдый сплав ВК 6 М.

2. Постановка задачи. Для заданных условий токарной операции (рис. 2. 1) найти частоту n, обеспечивающую минимальную трудоёмкость и гарантирующую требуемое качество обработки. 3. Моделирование трудоёмкости и 4. Анализ математической модели её элементов. Протабулируем значения трудоёмкости и её элементов Таблица 3. 1 по формулам табл. 2. 1 и запишем в табл. 2. 2 Таблица 3. 2 В табл. 2. 1 Q - производительность станка, шт/смену.

Приведём на рис. 3. 3 графическую иллюстрацию протабулированных значений. Согласно рис. 3. 3 зависимости (n) и Q(n) носят экстремальный, а о(n) и и(n) – монотонный характер. Рис. 3. 3

5. Методы оптимизации. Поиск экстремума функции с одной неизвестной можно выполнить следующими методами [2, 5]: • сканирования (равномерного поиска, рис. 3. 3); • половинного деления; • золотого сечения; • первой производной. В последнем случае из условия согласно (1. 8) имеем Составим блок-схему (рис. 3. 4) алгоритма поиска минимальной трудоёмкости методом сканирования (рис. 3. 3). Рис. 3. 4

6. Выводы. 1. Зависимость трудоёмкости от частоты носит экстремальный характер (минимум). 2. Минимальная трудоёмкость = 8, 2 минуты достигается при no=790 1/мин. 3. Оптимизация позволила снизить трудоёмкость по сравнению с нормативными режимами в К раз 4. Оптимизация экстремальных операций является радикальным средством повышения их эффективности в условиях рыночной экономики. Контрольные вопросы. 1. Какие режимы называются стационарными? 2. Какие режимы называются динамическими? 3. Назовите методы поиска экстремума функции с одной неизвестной. 4. Какие слагаемые входят в критерий трудоёмкости? 5. Что такое многоинструментная обработка? 6. Как формулируются задачи структурной и параметрической оптимизации для токарной операции на станках с ЧПУ? 7. Что такое одноинструментная обработка? 8. Чем объясняется экстремальная зависимость трудоемкости от частоты вращения заготовки? 9. Что такое целевая функция ? 10. Что такое технические ограничения?

Лекция 4 ТЕМА 4. ОПТИМИЗАЦИЯ ПО КРИТЕРИЮ СЕБЕСТОИМОСТИ 1. Анализ технологической операции В порядке сравнения анализируем рассмотренную ранее токарною операцию (рис. 2. 1). 2. Постановка задачи. Для заданных условий токарной операции (рис. 2. 1) найти частоту n, обеспечивающую минимум себестоимости С и гарантирующую требуемое качество обработки. 3. Разработка математической модели. 3. 1 Целевая функция. Выражение критерия оптимизации через искомую неизвестную включает три слагаемых: С= С в+С 0+Сu= (n)=min ( 4. 1) где: С в- стоимость затрат на вспомогательное время, руб. ; С в=С 1 в=const (4. 2) C 1 - стоимость станкоминуты, руб. ; С 0 - стоимость на обработку, руб; Сu – затраты на режущий инструмент, отнесенные к одной обработанной детали, руб.

здесь: C 1 1 -стоимость затрат на 1 замену инструмента, руб. ; Сз - стоимость одной заточки инструмента, руб. ; Сн и Сиз- соответственно стоимость нового и изношенного инструментов, руб; Z - число переточек, допускаемых инструментом. Раскроем далее: Сu=Кu: ; Сu=Кu (4. 4) Подставив раскрытые значение слагаемых (4. 2), (4. 3), (4. 4) в целевую функцию (3. 1) , получим выражение для критерия в развернутом виде: (4. 5)

3. 2 Технические ограничения. Для упрощения анализа будем учитывать только два активных ограничения: 1) достаточность стойкости инструмента для обработки одной детали Тmax T 0 (4. 6); 2) расчетные частоты должны принадлежать частотам станка n n. CT (4. 7) Выражения (4. 5), (4. 6), и (4. 7) представляют собой математическую модель себестоимости рассматриваемой операции. 4. Анализ математической модели Целевая функция (4. 5) - нелинейная, одномерная зависимость себестоимости от частоты, имеющая минимум при n 0. Выполним численный и графический анализ себестоимости и её элементов при следующих дополнительных данных. С 1=0. 17 руб. , Сз=1. 7 руб. , Z=5, Cн=40 руб. , Сиз=5 руб.

Расположим расчетные зависимости в алгоритмичном порядке (табл. 4. 1). Таблица 4. 1 Протабулируем значения себестоимости и её элементов в диапазоне часто, допускаемых ограничениями (3. 6) и (3. 7) (табл. 3. 2). Таблица 4. 2

Выполним графически анализ результатов табулирования (рис. 4. 1). Экстремальный характер зависимости себестоимости от частоты объясняется следующими причинами (рис. 4. 1). При работе на низких частотах себестоимость высокая из-за больших затрат на обработку (левая ветвь кривой). При обработке на высоких частотах затраты на обработку снижаются, но в большей степени возрастают затраты на инструмент в связи со снижением его стойкости, что приводит к повышению себестоимости (правая ветвь кривой). Рис. 4. 1

5. Методы оптимизации Рассмотрим алгоритм сканирования себестоимости (рис. 4. 2) с учетом технических ограничений. Другие методы поиска экстремума функции с одной неизвестной приведены в предыдущей теме. Найдём методом первой производной оптимальное значение частоты n 0. Рис. 4. 2

6. Выводы 1. Зависимость себестоимости от частоты носит экстремальный характер (min). 2. Для рассматриваемой операции Сmin=1. 90 руб. достигается при n 0=464 1/мин. 3. Оптимизация позволила снизить себестоимость в К раз по сравнению с нормативными режимами. 4. Оптимизация является радикальным средством повышения эффективности экстремальных операций в условиях рыночной экономики.

Контрольные вопросы 1. Какая операция оптимизируется по критерию себестоимости? 2. Как ставится задача оптимизация режимов резания? 3. Какие слагаемые включает критерий себестоимости? 4. Что представляет собой целевая функция? 5. Какие технические ограничения рассматриваются при решении задачи? 6. Какой характер зависимости стоимости обработки от частоты вращения заготовки? 7. Какой характер зависимости инструментальны затрат от частоты вращения заготовки? 8. Какими методами возможно решение задачи? 9. Чем объясняется экстремальный характер зависимости себестоимости от частоты вращения заготовки? 10. Как оценивается эффективность оптимизации?

Лекция 5 ТЕМА 5. ОПТИМИЗАЦИЯ ПО КРИТЕРИЮ ПРИБЫЛИ. 1. Анализ технологической операции. В порядке сравнения анализируем рассмотренную выше операцию продольного точения (рис. 3. 2). 2. Постановка задачи Для заданных условий токарной операции (рис. 3. 2) найти частоту n, обеспечивающую максимальную прибыль Р и гарантирующую требуемое качество обработки. 3. Разработка математической модели. 3. 1 Целевая функция. Принципиальная зависимость для прибыли предложена японскими учёными Окусима и Хитоми. (5. 1) где: С- цена реализации детали, руб. ; СM - стоимость материала для одной заготовки, руб. ; То - время на изготовление партии деталей, мин. ; - трудоемкость изготовления одной детали, мин. ; С - себестоимость изготовления одной детали, руб.

Подставив в выражение (4. 1) раскрытые ранее зависимости для и С, получим зависимость для критерия Р в развернутом виде. (5. 2) 3. 2 Технические ограничения. Тmax Т 0 (5. 3) n nст (5. 4) 4. Анализ математической модели. Целевая функция (4. 2) нелинейная, одномерная зависимость прибыли от частоты n, имеющая максимум при n 0. Выполним численный и графический анализ прибыли и её элементов в диапазоне частот, допускаемых ограничениями (4. 3) и (4. 4) при следующих дополнительных данных: Сд=9 руб. ; См=4 руб. ; То=2 8 60=960 мин. Для этих условий целевая функция принимает следующий вид: (5. 2 а)

Расположим расчётные зависимости в алгоритмическом порядке (табл. 5. 1). Таблица 5. 1 Протабулируем значения прибыли и её элементов по табл. 5. 1.

Результаты табулирования приведены в табл. 5. 2. Таблица 5. 2 Выполним графический анализ для протабулированных значений (рис. 5. 1). Рис. 5. 1

Согласно рис. 5. 1 зависимость прибыли от частоты носит экстремальный характер. При низких частотах прибыль мала из-за высокой трудоемкости и себестоимости С. При высоких частотах прибыль уменьшается из-за снижения стойкости инструмента Т и повышения затрат на режущий инструмент С и. Критерий трудоемкость применяется в экстремальных условиях, когда за короткое время необходимо произвести максимальное количество деталей. Себестоимость - при плановом изготовлении изделий. Прибыль - при изготовлении и реализации запасных и ремонтных деталей. 5. Методы оптимизации. Поиск экстремума сложных функций с одной неизвестной, к которым относится целевая функция прибыли (5. 2 а), выполняется численными методами (сканирования, половинного деления, золотого сечения и др. ). Рассмотрим алгоритм равномерного поиска с интервальным уточнением (рис. 5. 1, рис. 5. 2, табл. 5. 3).

Таблица 4. 3 Рис. 4. 2

7. Выводы 1. Зависимость прибыли от частоты носит экстремальный характер (max). 2. Максимальная прибыль Р=332 руб. достигается при n 0=575 1/мин. 3. Оптимизация позволила увеличить прибыль в Кр = Р 575 / Р 400 = 332 / 283 = 1. 17 раза. 4. Зависимость прибыли от частоты имеет остро выраженный характер, так критерий Р учитывает больше технико-экономической информации. Контрольные вопросы 1. Какая операция оптимизируется по критерию прибыли? 2. Как ставится задача оптимизация режимов резания? 3. Что представляет собой целевая функция? 4. Какие технические ограничения рассматриваются при решении задачи? 5. Какие критерии входят в целевую функцию прибыли? 6. Чем объясняется экстремальная зависимость прибыли от частоты? 7. Какими методами находится экстремум сложной функции с одной неизвестной? 8. Какой характер зависимости трудоемкости от частоты? 9. Какой характер зависимости себестоимости от частоты? 10. Как позиционируются оптимальные режимы для различных критериев?

Лекция 6 Технологические задачи с двумя неизвестными Оптимизация по критерия трудоемкости 1. Анализ операции. 2. В порядке сравнения анализируем рассмотренную ранее операцию точения. (рис 3. 2). 2. Постановка задачи. Для заданных условий токарной операции найти частоту n и подачу S, обеспечивающих минимум трудоёмкости и гарантирующих требуемое качество обработки. 3. Разработка математической модели. 3. 1. Целевая функция. Аналогично (3. 1) целевая функция включает три слагаемых = в+ 0+ и= (s, n)=min (6. 1) Вспомогательное время в (s, n)=const (6. 2)

Основное время (6. 3) Затраты времени на режущий инструмент (6. 4) Подставив раскрытые значения слагаемых в целевую функцию (5. 1), получим выражение для критерия трудоемкости в развернутом виде. (6. 5) 3. 2. Технические ограничения. Для упрощения анализа будем рассматривать только следующие активные ограничения: 1) достаточность стойкости инструмента для обработки одной заготовки Тmax T 0 (6. 6)

2) расчетные частоты и подачи должны принадлежать сетке режимов станка S SCT (6. 7) n n. CT ( 6. 8) предельная технологичная подача не должна превышать подачу, допускаемую уровнем шероховатости S S = 0. 5 мм/об. (6. 9) Выражения (6. 5) – (6. 9) представляют собой математическую модель трудоёмкости рассматриваемой операции при двух неизвестных. Расположим расчётные зависимости в алгоритмическом порядке (табл. 6. 1). Таблица 6. 1

4. Анализ математической модели. Целевая функция (6. 5) - нелинейная двухмерная зависимость трудоёмкости от частоты и подачи, имеющая минимум при S 0 и n 0. Построим геометрическую иллюстрацию математической модели на плоскости (рис. 6. 1). Рис. 6. 1

Получим условие для расчета координат линии АВ, ограничения (6. 6) T 0 (6. 10) Или в численном виде (6. 10 а) Результаты табулирования nт по (6. 10 а) приведены в табл. 6. 2 Таблица 6. 2

Получим выражение для построения линии минимумов МЕ из условия равенства нулю первой производной. откуда (6. 11) Или в численном виде (6. 11 a) Результаты табулирования n 0 по (6. 11 а) приведены в табл. 6. 3 Таблица 6. 3

На рис. 6. 1 ОАВС - область допустимых решений на дискретной сетке режимов станка. Характер целевой функции (6. 5) иллюстрируется изолиниями 5, а вертикали 7 и горизонтали 8 характеризуют соответственно ограничения (6. 7) и (6. 8). Любая точка пересечения горизонталей и вертикалей в допустимой области одновременно удовлетворяет ограничениям 7 и 8. Вертикаль 9 является геометрической иллюстрацией ограничения (6. 9). Задача относится к классу задач нелинейного программирования, так как целевая функция и технические ограничения нелинейны. В технологических задачах решение всегда находится на границе допустимой области (точка Е). Построим по данным рис. 6. 1 топографию трудоёмкости (рис. 6. 2) Топография трудоёмкости представляет собой «овражную» поверхность с изогнутым дном МЕ, понижающимся с увеличением подачи и снижением частоты. Рис. 6. 2

5. Методы оптимизации. Сделаем попытку найти минимум трудоёмкости методом частных производных. Для этого запишем целевую функцию в численном виде. (6. 5 а) (6. 12) (6. 13) Система двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными (5. 13), правые части которой равны, а левые не равны, называется несовместной, она не имеет решения, так как экстремум находится на границе области.

Задача нелинейного программирования может быть решена следующими методами. 1) графическим (рисунок 6. 1); 2) методом сканирования (перебора); 3) методом релаксации (покоординатного улучшения или методом Гаусса-Зейделя); 4) градиентным методом; 5) методом наискорейшего спуска; 6) случайным поиском; 7) методом крутого восхождения (КВ); 8) симплексным поиском. Некоторые из перечисленных методов будут рассмотрены далее на конкретных примерах. 6. Выводы 1. Зависимость трудоёмкости от режимов резания носит экстремальный характер (минимум), = (s, n)=min. 2. Минимальное значение трудоёмкости min=6. 53 мин. достигается при S 0=0. 5 мм/об, n 0=583 1/мин. 3. Оптимизация позволила снизить трудоёмкость в раза.

Контрольные вопросы 1. Как ставится задача оптимизации режимов резания для двух переменных? 2. Какие технические ограничения входят в состав математической модели трудоёмкости? 3. Что представляет собой целевая функция производительности? 4. Из какого условия рассчитываются координаты линии минимумов? 5. Что собой представляет топография трудоёмкости? 6. Какими методами находят экстремум функции с двумя неизвестными? 7. Что такое область допустимых решений? 8. Где находится точка минимальной трудоемкости? 9. Из какого условия рассчитываются координаты линии ограничения по стойкости? 10. Какие уравнения называются несовместными?

Лекция 7 АНАЛИЗ МЕТОДОВ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Метод покоординатного улучшения (релаксации). 1. Алгоритм Из точки О в допустимой области ( рис. 7. 1) делается движение с выбранным шагом вдоль оси х1 до достижения точки перегиба 3, из которой делаются поисковые шаги в точку 5 и в точку 6. Значение х 1 в точке 3 фиксируется и движение выполняется по оси х2 по трассе 3, 6, 7, 8. На этом завершается один цикл итерационного метода. Далее идет повторение движений по осям х1 и х2. Признаком нахождения экстремума является отсутствие лучших значений критерия при движении из точки 12. Рис. 7. 1

2. Поиск минимальной трудоёмкости методом релаксации. Динамика метода покоординатного улучшения для рассматриваемой задачи (рис. 3. 2) графически представлена на рис. 7. 2. Характер траектории поиска (рис. 7. 2) определяется положением линии минимумов МЕ. Рис. 7. 2.

3. Выводы 1. Поиск прекращен ввиду нарушения ограничения (9) по максимально допустимой технологической подаче. 2. Минимальная трудоёмкость min= 6. 6 мин. достигается в точке Е с координатами S 0=0. 5 мм/об. и n 0=600 1/мин. 3. Для поиска минимума овражной функции методом релаксации потребовалось 24 вычисления критерия. 4. Алгоритм релаксации аналогично работает и при большем количестве неизвестных.

Метод градиента. 1. Алгоритм. Из точки 1 допустимой области (рис. 7. 3) выполняются малые исследовательские шаги вдоль осей х1 и х2, в точки а и в. В этих 3 -х точках вычисляются значения критерия, и численным методом определяются значение частных производных. На основе производных определяется направление градиента (наискорейшего убывания или возрастания критерия), по которому выполняется движение в точку 2 с большим шагом. Поиск прекращается, когда движение из точки 5 не улучшает значение критерия. Достоинство – короткая траектория поиска. Недостаток – вычисление производных на каждом шаге. Рис. 7. 3

2. Поиск минимума трудоёмкости методом градиента. В допустимые области (рис. 7. 4) выбираем точку 1 с координатами 0, 15/400. Для ускорения поиска экстремума выполняется нормировка переменных, то есть приведение к безразмерному виду. 1. Определяем диапазон изменения переменных. ds=0. 5 -0. 1=0. 4 dn=1600 -200=1400 2. Рассчитываем нормированные значения переменных. 3. Задаемся величиной исследовательских шагов для вычисления производных в точках а и в. Рис. 7. 4

4. Определяем натуральные значения приращений. мм/об 1/мин. Результаты движения по градиенту приведены в таблице 7. 1. Таблица 7. 1 Рассчитаем нормированные координаты точки 2, расположенной на градиенте.

Определим натуральные координаты точки 2 Рассчитаем нормированные координаты точки 3. Определим натуральные координаты точки 3. Для ускорения поиска, начиная с точки 4 (рис. 7. 4), шаг по градиенту увеличен в 2 раза.

3. Выводы. 1. Поиск прекращен в виду нарушения ограничения по максимально допустимой технологической подаче. 2. Минимум трудоёмкости min=6. 7 мин. достигается при S 0=0. 5 мм/об. и частоте n 0=400 1/мин. 3. Для поиска минимума методом градиента было выполнено 13 х 3 + 1 = 40 вычислений целевой функции. 4. Метод градиента малоэффективен для овражных функций. 5. Алгоритм градиентного поиска аналогично работает и при большем количестве неизвестных. Контрольные вопросы 1. Алгоритм метода релаксации? 2. Достоинства метода релаксации? 3. Недостатки метода релаксации? 4. Признаки прекращения метода покоординатного поиска? 5. Алгоритм градиентного поиска? 6. Что такое точка перегиба на топографии математической модели? 7. Условия прекращения градиентного поиска? 8. Достоинства градиентного поиска? 9. Недостатки градиентного поиска? 10. Область эффективности метода градиента?

Лекция 8 Метод наискорейшего спуска (МНС). 1. Алгоритм. В градиентном методе (рис. 8. 1) производные вычисляются на каждом шаге, что увеличивает количество опытов при короткой траектории (трасса 1 -12), В МНС движение по найденному градиенту 1 – 5 продолжается до точки перегиба 4, затем с помощью производных из точки 4 находится новое направление градиента 4 -8. Поскольку производные вычисляются не на каждом шаге, поэтому количество вычислений целевой функции уменьшается при удлинении траектории поиска. Рис. 8. 1.

2. Поиск минимальной трудоёмкости МНС. Результаты расчёта траектории приведены в табл. 8. 1 и графически представлены на рис. 8. 2 Рис. 8. 2 Таблица 8. 1.

3. Зададим приращения для исследовательских шагов 4. Определим натуральные величины приращений 5. Рассчитаем нормированные координаты точки 2 Здесь 0. 2 - шаг по градиенту, а выражения в квадратных скобках определяют собой направление градиента. 6. Определим натуральные координаты точки 2, находящиеся на градиенте

7. Найдем нормированные координаты точки 3 8. Рассчитаем натуральные координаты точки 3 9. Вычислим нормированные координаты точки 4 10. Определим натуральные координаты точки 4 Поскольку значение критерия в точке 4 (τ= 9. 16, табл. 8. 1) больше величины критерия в точке 3 (= 7. 84), найдем с помощью производных новое направление градиента из точки 3.

11. Рассчитаем нормированные координаты точки 4 Здесь направление градиента определяется значениями в квадратных скобках. 12. Найдем натуральные координаты точки 4 Траектория поиска приведена на рис. 8. 2.

3. Выводы 1. Поиск прекращен ввиду нарушения ограничения по максимально допустимой технологической подаче. 2. Минимальная трудоёмкость min=6. 8 мин достигается в точке с координатами S 0=0. 487 мм/об. n 0=670 1/мин. 3. Для поиска минимума по алгоритму МНС было выполнено 44 вычисления целевой функции. 4. МНС – не эффективен для овражных функций.

Метод овражных функций (МОФ). 1. Алгоритм. Из начальной точки 1 в допустимой области (рис. 8. 3) начинаем движение по градиенту q 1 методом наискорейшего спуска. Из точки 3 также движемся по правилу МНС. Проводим прямую АВ через точки 2 и 4, близко расположенные и по одну сторону от линии минимумов МЕ. Далее продолжаем поиск с определенным шагом вдоль дна оврага АВ (трасса 4 -5 -6 -7). Рис. 8. 3

2. Поиск минимума трудоёмкости методом овражных функций. Рассчитаем траекторию прямой, проходящей через точки 2 – 4 (рис. 8. 4). Для этого определим нормированные координаты точек 2 и 4. Определим значения приращений xj для движения по прямой АВ, проходящей через точки 2 и 4 (рис. 8. 4). Найдем нормированные координаты точки 5 Рассчитаем натуральные координаты точки 5 (табл. 8. 2, рис. 8. 5) Рис. 8. 4

Рассчитаем натуральные координаты точки 5 (табл. 8. 2, рис. 8. 5) Определим нормированные координаты точки 6 Найдём натуральные координаты точки 6 Таблица 8. 2. Рис. 8. 5

В области ограничения по максимальной подаче уменьшим приращения в 4 раза. Рассчитаем нормированные координаты точки 7 Определим натуральные координаты точки 7 Результаты расчета траектории поиска приведены в табл. 8. 2 и графически представлены на рис. 8. 5. 3. Выводы. 1. Поиск прекращён ввиду достижения предельной технологической подачи. 2. Минимальная трудоёмкость = 6. 57 мин. достигается на границе области в точке 8 с координатами S=0, 493 мм/мин. и n=487 1/мин. 3. Для поиска минимума методом овражных функций было выполнено 13 вычислений критерия. 4. Метод овражных функции обладает высокой эффективностью при оптимизации экстремальных операций механической обработки.

Контрольные вопросы 1. Алгоритм метода наискорейшего спуска. 2. Недостатки метода наискорейшего спуска. 3. Достоинства метода наискорейшего спуска. 4. Условия прекращения наискорейшего спуска 5. Для чего выполняется нормировка переменных? 6. Алгоритм метода «овражных» функций. 7. Эффективность метода «овражных» функций. 8. Условия проведения прямолинейной трассы. 9. Условия прекращения поиска методом «овражных» функций. 10. Какой метод обладает наибольшей эффективностью при поиске оптимальных режимов резания?

Лекция 9 Оптимизация по критерию себестоимости 1. Анализ технологической операции. В порядке сравнения анализируем рассмотренную выше операцию точения (рис. 3. 2). 2. Постановка задачи. Для заданных условий токарной операции найти подачу S и частоту n, обеспечивающих минимум себестоимости и гарантирующих требуемое качество обработки. 3. Разработка математической модели. 3. 1. Целевая функция. Критерий себестоимости включает три слагаемых (9. 1) где (9. 2) (9. 3)

(9. 4) (9. 5) 3. 2. Технические ограничения. Tmax T 0 (9. 6) n n. CT (9. 7) S SCT (9. 8) S S = 0. 5 (9. 9) 4. Анализ математической модели. Построим геометрическую иллюстрацию математической модели (9. 5)-(9. 9) на плоскости (рис. 9. 1) Рис. 9. 1

Получим условие для расчета координат линии минимумов МЕ. Откуда (9. 10) Согласно (9. 10) с увеличением стоимости станкоминуты С 1 оптимальная частота no возрастает, а с увеличением стоимости инструмента Ки no-снижается. Для принятых выше значений (9. 10 а)

Результаты расчета по (9. 10 а) приведём в табл. 9. 1 Таблица 9. 1 Построим топографию себестоимости (рис. 9. 2). Топография себестоимости (рис. 9. 2) представляет собой овражную поверхность с изогнутым дном МЕ, понижающимся с увеличением подачи S и снижением частоты n. Рис. 9. 2

5. Методы оптимизации. (смотрите предыдущую тему) 6. Выводы. 1. Зависимость себестоимости от режимов резания носит экстремальный характер (минимум). 2. Минимальная себестоимость Сmin=1. 37 руб. достигается при So=0. 5 мм/об и no=310 1/мин. 3. Для дальнейшего снижения себестоимости необходимо применить инструмент, позволяющий формировать малую шероховатость при высоких подачах.

Оптимизация по критерию прибыли 1. Анализ операции. В порядке сравнения анализируем рассмотренную выше операцию продольного точения (рис. 3. 2). 2. Постановка задачи. Для заданных условий токарной операции (рис. 3. 2) найти частоту n и подачу S, обеспечивающих максимальную прибыль Р и гарантирующих требуемое качество обработки. 3. Математическая модель. 3. 1. Целевая функция. Запишем принципиальную зависимость для прибыли (9. 11) Подставив раскрытые значения трудоёмкости и себестоимости в выражение (8. 1), получим целевую функцию в развёрнутом виде. (9. 12)

3. 2. Технические ограничения. (смотрите предыдущую тему) 4. Анализ математической модели. Целевая функция (9. 12) представляет собой двухмерную нелинейную зависимость прибыли от частоты и подачи, имеющую минимум при So и no. Построим геометрический образ математической модели на плоскости (рис. 9. 3). ОАВС - область допустимых решений, выделенная ограничениями АВ (по стойкости инструмента) и ВС (по шероховатости обрабатываемой поверхности). МЕ - линия максимумов. GH - линия пересечения поверхности прибыли с нулевой горизонтальной плоскостью, ниже которой прибыль принимает отрицательные значения. Рис. 9. 3

Построим топографию прибыли (рис. 9. 4). Топография прибыли представляет собой поверхность в виде гребня (рис. 9. 4) с изогнутым ребром МЕ, повышающимся с увеличением подачи S и снижением частоты n. Максимум прибыли находится в точке Е на границе допустимой области. Рис. 9. 4 5. Методы оптимизации 6. (смотрите предыдущие темы). 6. Выводы. 1. Зависимость прибыли от режимов носит экстремальный характер, P=f(S, n)=max. 2. Максимальная прибыль Pmax= 466 руб. достигается на границе области в точке с координатами S= 0. 5 мм/об, no=400 1/мм. 3. Топография прибыли имеет более остро выраженный экстремум, так критерий содержит больше технико-экономической информации.

Контрольные вопросы 1. Постановка задачи оптимизации режимов по критерию себестоимости. 2. Что представляет собой целевая функция себестоимости? 3. Как получить условие для расчета координат линии ограничения по стойкости инструмента. 4. Что представляет собой топография себестоимости? 5. Как ставится задача оптимизации режимов по критерию прибыли? 6. Какие критерии включает целевая функция прибыли? 7. Что представляет собой критериальное уравнение прибыли? 8. Что представляет собой топография прибыли? 9. Какими методами выполняется оптимизация режимов резания по критерию прибыли? 10. Где находится точка с максимальной прибылью?

Лекция 10 3. 1. 2. ДИНАМИЧЕСКИЕ (ПЕРЕМЕННЫЕ) РЕЖИМЫ. 1. Область применения. Обработка на копировальных и программных станках характеризуется непрерывным изменением нагрузки на режущий инструмент (глубины резания -tx и скорости резания –Vx) по его рабочей траектории (рис. 10. 1). Так, при обработке с постоянной частотой n и подачей S (рис. 9. 1) непрерывно изменяются глубина резания tx, диаметр детали dx и скорость резания Vx. Рис. 10. 1 В связи с этим необходимо для каждой точки х рабочей траектории найти режимы Sx и nx, обеспечивающие экстремум выбранного критерия оптимизации и качество обработки, то есть решить задачу оптимального управления режимами.

2. Особенности процесса резания на станках с ЧПУ. Рассмотрим операцию концевого фрезерования с переменной нагрузкой ti и Bi по рабочей траектории режущего инструмента (рис. 10. 2). Рис. 10. 2 В связи с этим возникает необходимость: 1. Расчёта переменной нагрузки на фрезу Вi и ti, i= 1…u. 2. Прогнозирования стойкости режущего инструмента на переменных режимах. 3. Поиска оптимального управления режимами Si и ni для эффективной обработки с переменной нагрузкой на инструмент.

3. Классификация задач управления режимами. По виду нагрузки различают дискретную, когда каждый i – й участок заготовки имеет свои ti, di, и непрерывную, когда tx и dx плавно изменяются (рис. 10. 3). По виду управления оборудование разделяется на 3 типа: 1. С ручным управлением, когда обработка выполняется на постоянных режимах S и n, выбранных по лимитирующему участку, при этом число неизвестных Nx=2. Качество оптимизации низкое. 2. ЧПУ-1 позволяет программно изменять режимы для каждого i – го участка. Число неизвестных Nx=2∙u. В этом случае качество оптимизации повышается. Рис. 10. 3 3. ЧПУ-2 позволяет непрерывно изменять частоту и подачу, необходимо найти оптимальные законы управления: S=f 1(x) и n=f 2(x) или разбивать траекторию на малые дискретные участки х и решать задачу с большим числом неизвестных N=2∆, где ∆ – число дискретных участков x. Качество оптимизации высокое.

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РЕЖИМАМ ТОЧЕНИЯ. ДИСКРЕТНЫЙ КОНТУР. 1. Анализ операции. Обрабатывается заготовка, имеющая u ступеней. На каждой ступени своя нагрузка ti, di, Li, ni, Si. (рис. 10. 4). Станок позволяет дискретно переключать Si и ni Рис. 10. 4 2. Постановка задачи. Для заданных условий токарной обработки ti, di, Li, i=1 u найти управления режимами ni, Si, обеспечивающих минимум трудоёмкости τ и гарантирующие требуемое качество обработки.

3. Разработка математической модели 3. 1. Целевая функция Трудоёмкость, мин. = в+ 0+ и=f(Si, ni)=min, i=1 u, (10. 1) Вспомогательное время, мин. в f(Si, ni)=const (10. 2) Основное время, мин. (10. 3) Время на замену затупившегося режущего инструмента, мин. и= 1= 0 T 0 , где Т 0 - прогнозируемая стойкость инструмента для переменных режимов, мин. [1]. здесь Тi и 0 i- соответственно стойкость и основное время на постоянных режимов i-того участка.

После преобразований имеем (10. 4) Подставив раскрытые значения слагаемых (9. 2), (9. 3) и (9. 4) в выражение (9. 1), получим целевую функцию в развёрнутом виде (10. 5) 3. 2 Технические ограничения Запишем ограничения в общем виде Gi = fi Si, ni j ≤ Gi , j=1 -m (10. 6) Выражения (9. 5) и (9. 6) представляют собой математическую модель трудоемкости для операции обтачивания с дискретно изменяющейся нагрузкой по рабочей траектории режущего инструмента. 4. Анализ математической модели. Целевая функция (9. 5) - нелинейная, многомерная, аддитивная зависимость трудоемкости τ от дискретных режимов резания Si и ni, имеющая минимум при оптимальных значениях S 0 i и n 0 i.

5. Методы оптимизации Для оптимизации дискретно изменяющихся режимов резания могут применяться следующие методы [2]: а) динамическое программирование; б) геометрическое программирование; в) нелинейное программирование. Контрольные вопросы 1. Назовите операции механической обработки на переменных режимах. 2. Как разделяются переменные режимы по характеру варьирования нагрузки на режущий инструмент? 3. Как разделяется технологическое оборудование по характеру управления режимами по рабочей траектории режущего инструмента? 4. Как ставится задача поиска оптимального дискретного управления режимами точения? 5. Назовите методы поиска оптимального дискретного управления режимами 6. Назовите факторы, формирующие переменную нагрузку при точении 7. Назовите факторы, формирующие переменную нагрузку при фрезеровании 8. Как рассчитывается прогнозируемая стойкость инструмента при переменных режимах? 9. Что представляет собой критериальное уравнение трудоемкости при переменных режимах? 10. Сколько неизвестных содержит целевая функция трудоемкости при дискретном управлении режимами резания?

Лекция 11 ПРИМЕР ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕЖИМАМИ ТОЧЕНИЯ 1. Анализ операции. Выполняется точении заготовки из нержавеющей стали 1 Х 18 Н 9 Т со ступенчатым припуском на двух участках (рис. 11. 1). На первом участке длиной L 1 = 300 мм. припуск t 1 = 2 мм. , а на втором участке длиной L 2 = 200 мм. Материал режущей пластины резца - твёрдый сплав ВК 6 М. Рис. 11. 1

2. Постановка задачи. Для заданных условий обтачивания двухступенчатой заготовки (рис. 11. 1) найти частоту вращения n и подачи по участкам S 1 и S 2, обеспечивающих минимальную трудоёмкость и гарантирующих требуемое качество обработки. 3. Моделирование операционной трудоёмкости. Алгоритм расчета операционной трудоёмкости и её элементов приведён в табл. 11. 1 4. Поиск оптимального управления режимами резания. Ввиду дискретного задания контура (рис. 11. 1) и малой размерности задачи (количество неизвестных равно трём) решаем задачу методом покоординатного улучшения (методом Гаусса – Зейделя). Координаты траектории поиска в четырёхмерном пространстве для одного цикла итерации Гаусса – Зейделя приведены в табл. 11. 2.

Таблица 11. 1

Таблица 11. 2 Согласно табл. 11. 2 вначале поисковое движение выполнялось по координате S 1 с шагом 0. 1 мм/об при минимальных фиксированных значениях двух остальных координат (S 2 = 0. 1 мм/об и n = 200 1/мин. ). При этом достигнуто снижение трудоёмкости с 29 до 17 мин. при предельно – допустимом значении S 1 = 0. 5 мм/об. Далее движение выполнялось по координате S 2 с шагом 0. 1 мм/об при фиксированных значениях S 1 = 0. 5 мм/об и n = 200 1/мин. Это позволило дополнительно снизить трудоёмкость с 17 до 10. 4 мин. при предельно - допустимой подаче S 2 = 0. 3 мм/об. Движение по третьей координате n выполнялось с шагом 100 1/мин при фиксированных значениях S 1 = 0. 5 мм/об и S 2 = 0. 3 мм/об. Это позволило на 10 – м шаге найти min = 7. 2 мин. при n = 500 1/мин. Графическая иллюстрация траектории поиска приведена на рис. 11. 2.

5. Анализ траектории поиска. Графическая интерпретация основных результатов табулирования по табл. 11. 1 приведена на рис. 11. 2. Рис. 11. 2 Согласно рис. 11. 2 с увеличением подач S 1 и S 2 трудоёмкость монотонно снижается, а зависимость от частоты носит экстремальный характер.

6. Выводы. 1. Поиск прекращён ввиду достижения минимальной трудоёмкости min = 7. 2 мин. при n 0 = 500 1/ мин и следующем оптимальном управлении подачей по участкам заготовки: S 1 = 0. 5 мм/об; S 2 = 0. 3 мм/об. 2. Ограничение по стойкости (Т 0 0) выполняется по всей траектории поиска. 3. На оптимальны режимах за период стойкости Т 0 = 23 мин будет обработано Zт заготовок 4. Оптимизация позволила снизить трудоёмкость в К раз 5. Для поиска min было выполнено 11 вычислений критерия оптимизации по целевой функции.

НЕПРЕРЫВНЫЙ КОНТУР. 1. Анализ операции. Обтачивается заготовка с контуром U(х) для получения контура детали У(х) (рис. 11. 3). В каждой точке Х рабочей траектории своя нагрузка на режущий инструмент (глубина резания t(x) и диаметр d(x)). Необходимо найти оптимальное управление подачей S(x) и частотой n(x). Рис. 11. 3 2. Постановка задачи. Для заданных уравнений контуров заготовки U(x) и детали У(х) найти управления подачей S=f 1(x) и частотой n=f 2(x), обеспечивающих минимум трудоемкости и гарантирующих требуемое качество обработки.

3. Мат. модель. Трудоёмкость включает три слагаемых (11. 1) Основное время (11. 2) Затраты времени на режущий инструмент (11. 3) С учётом (9. 3) и (9. 4) выражение (9. 2) принимает следующий вид (11. 4) 4. Методы оптимизации. Для поиска оптимального управления режимами при плавном изменении нагрузки по рабочей траектории режущего инструмента могут применяться следующие методы [2, 5]:

1) вариационное исчисление; позволяет найти законы управления n=f(x) и S=f(x) только при линейных ограничениях. 2) метод Ритца; поиск законов управления на заданном классе функций (рис. 11. 4). 3) редуцированиие задачи оптимального управления к много-мерной задаче нелинейного программирования. Рассмотрим принцип метода Ритца. Будем искать оптимальное управление режимами на полиномах третьего порядка (рис. 9. 11). S(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 n(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 Рис. 11. 4 Этих зависимостей достаточно для представления искомых управлений выпукло – вогнутыми линиями (рис. 11. 4). При принятых допущениях задача оптимального управления редуцируется к 8 – ми мерной задаче нелинейного программирования, поскольку неизвестными являются 8 коэффициентов ai и bi системы нелинейных уравнений (11. 5).

Начальные значения коэффициентов аi 1 и bi 1 определяются решением задач частной оптимизации для отдельных участков ΔХ. Для этого найденные дискретные значения S 0 i и n 0 i апроксимируются полиномами 3 порядка. Затем методами нелинейного программирования решается задача с 8 - ю неизвестными , доставляющими минимум критерию оптимизации. Для решения задачи поиска оптимального управления режимами по третьему методу на кафедре ТПД разработана программа ОРТОС (оптимизация режимов точения сталей). Контрольные вопросы 1. Для какой операции приведен пример поиска оптимального управления режимами? 2. Что является переменной нагрузкой на режущий инструмент? 3. Сколько неизвестных содержит задача поиска оптимального дискретного управления режимами? 4. Каким методом решается задача поиска оптимального дискретного управления режимами? 5. По какому критерию решается задача поиска оптимального дискретного управления режимами? 6. Как ставится задача поиска оптимального плавного управления режимами точения? 7. Назовите методы поиска оптимального плавного управления режимами точения. 8. Раскройте алгоритм поиска оптимального плавного управления режимами точения. 9. Назовите особенности процесса резания на станках с ЧПУ 10. Сколько неизвестных содержит задача поиска оптимального плавного управления режимами точения?

Лекция 12 Оптимальное управление режимами фрезерования. ДИСКРЕТНЫЙ КОНТУР 1. Анализ операции. При фрезеровании деталей на станках с ЧПУ нагрузка по рабочей траектории режущего инструмента изменяется плавно или дискретно (рис. 12. 1, глубина резания ti и ширина фрезерования Bi, i= 1 -u). Поэтому возникает задача поиска оптимального управления режимами фрезерования и прогнозирования стойкости инструмента для переменной нагрузки. Рис. 12. 1

2. Постановка задачи. Для заданных условий нагрузки ti, Bi, i=1÷u (рис. 12. 1) найти управления режимами Si, ni, обеспечивающие минимальную трудоемкость τ и гарантирующие требуемое качество обработки. 3. Математическая модель. Трудоёмкость включает следующие слагаемые. (12. 1) Вспомогательное время не зависит от режимов резания и является величиной постоянной (12. 2) Основное время определяется выражением (12. 3) здесь z - количество зубьев фрезы; Si- подача, мм/зуб. n – частота вращения фрезы, 1/мин. Затраты времени на замену затупившегося инструмента

(12. 4) С учётом зависимостей (10. 2), (10. 3), и (10. 4) получаем выражение для критерия трудоёмкости в развёрнутом виде (12. 5) 4. Анализ математической модели. Целевая функция (12. 5) представляет собой нелинейную много-мерную, аддитивную зависимость трудоемкости от искомых режимов Si, ni. Число неизвестных при этом составит Nx = 2 u. 5. Методы оптимизации. В данном случае применимы методы, приведенные выше для точения с дискретной нагрузкой. Для поиска оптимального дискретного управления режимами фрезерования на кафедре ТПД разработана программа ОРЕФ (оптимизация режимов фрезерования).

ПРИМЕР ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ РЕЖИМАМИ ФРЕЗЕРОВАНИЯ Обработка авиационных деталей на станках с ЧПУ характеризуется непрерывным изменением нагрузки на режущий инструмент по его рабочей траектории. При фрезеровании переменными возмущениями являются глубина t(х) и ширина В(х) фрезерования. В связи с этим практика эксплуатации станков с ЧПУ ставит проблему разработки математического и программного обеспечения для автоматизации расчета оптимального управления частотой n (х) и подачей S (х) по рабочей траектории инструмента, что является важным фактором снижения трудоемкости τ, себестоимости С и повышения качества обработки в условиях рыночного производства. В настоящей разработке приводятся результаты исследования этой проблемы с применением программы ОРЕФ. Уравнение нагрузок t(х) и В(х) могут быть заданы аналитически или графически в непрерывной или дискретной форме. Для машинной реалии-зации решения задачи непрерывные контуры дискретизируются, т. е. t (х) ti, B (x) Bi, i=1÷u, где u – число участков рабочей траектории с переменной нагрузкой. Поскольку фрезерные станки с ЧПУ позволяют непрерывно управлять только контурной подачей S (х), а частоту шпинделя n сохраняют постоянной, то задача заключается в поиске оптимальных подач Si для участков траектории и оптимальной частоты n для обработки заготовки. Алгоритм формирования математической модели критерия трудоёмкости τ (затрат времени на изготовление одной детали) приведен в таблице 12. 1.

Таблица 12. 1 В таблице обозначено: z – число зубьев фрезы; D – диаметр фрезы, мм; Li – длина i – го участка рабочей траектории с постоянной нагрузкой на фрезу, мм; τ1 – затраты времени на одну замену затупившегося инструмента, мин; τв – вспомогательное время на операцию, мин. При поиске оптимальных режимов Si , n учитываются следующие технические ограничения: 1) по прочности концевой фрезы; 2) точности обработки контура; 3) размещению стружки между зубьями фрезы; 4) шероховатости обрабатываемой поверхности; 5) мощности главного движения; 6) усилию подачи станка; 7) сетке режимов станка.

Задача ставится следующим образом: для заданных уравнений нагрузки ti и Bi , i=1÷u найти управление подачей Si и частоту вращения фрезы n, обеспечивающих минимум трудоемкости τ и гарантирующих требуемое качество обработки. Задача решается методом редуцирования задачи оптимального управления к конечномерной задаче нелинейного программирования [1]. Такой подход позволяет решить задачу методом сканирования по следующему алгоритму [1]: 1. Выбирается частота nк=n 1, к=1÷N. 2. Для каждого i-го участка при известном nк и заданных ti и Bi рассчитываются технологические подачи, Sijk допускаемые техническими ограничениями (j=1÷ 7). 3. Выбирается минимальная подача Sijk min. 4. Рассчитывается трудоемкость τ=f(nк , Sijk min). 5. Определяется следующая частота nк=φ nк, где φ– знаменатель геометрического ряда частот привода главного движения станка. 6. Этапы 2 -5 повторяются пока nк ≤ n. N. 7. Выбираются режимы nк и Sijk min , соответствующие τ min. Рассмотрим пример поиска оптимального управления режимами при фрезеровании фланца из титана ВТЗ-1 фрезой с зубьями из сплава ВК 8 (рис. 12. 2) на станке 6 Р 11 Ф 3. Каждый участок Li (i=1÷ 15) задается нагрузками ti и Bi на фрезу, характер изменения которых, приведен на рис. 12. 3.

Рис. 12. 2

В результате решения задачи по программе ОРЕФ (оптимизация режимов фрезерования) найдены оптимальное уравнение подачей Si по участкам рабочей траектории (i=1+15) и оптимальная частота вращения шпинделя n 0 =127 (рис. 12. 3), обеспечивающих минимальную трудоемкость τ min=5, 69 мин. Оптимальное управление подачей Si чувствительно к изменению ti и Вi (рис. 12. 3) и варьировалась в следующих пределах Si=0, 059÷ 0, 097 мм/зуб. По технологии предприятия обработка Рис. 12. 3 выполнялась с постоянной подачей S=0, 083 мм/зуб. при частоте n=60 1/мин, что соответствовало трудоемкости τ=6, 83 мин. Таким образом оптимальное управление режимами позволило снизить трудоемкость рассматриваемой операции на

Разработанный метод позволяет выполнять оптимизацию операций также по критериям себестоимости С и прибыли Р. Экстремальный характер зависимости критериев τ, С и Р при оптимальном управлении подачей Si и варьировании частоты n приведен на рис. 12. 4 Это объясняется изменением затрат на обработку и режущий инструмент. При низких частотах n велики затраты на обработку и малые затраты на инструмент. При высоких частотах n затраты на обработку снижается, но быстро возрастают затраты на инструмент в связи со снижением его стойкости. Оптимизация позволяет найти для каждого критерия лучшее решение из возможных в условиях рыночного производства авиационных деталей. Рис. 12. 4

Контрольные вопросы к лекции 12. 1. Назовите особенности процесса фрезерования на станках с ЧПУ. 2. Как ставится задача поиска оптимального дискретного управления режимами фрезерования? 3. Назовите методы поиска оптимального управления режимами фрезерования.