Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Уральский

Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «Уральский государственный педагогический университет» Математический факультет Кафедра высшей математики Математика Лекция 6. Производная функции Лектор: Бодряков В. Ю. E-mail: Bodryakov_VYu@e 1. ru Поток: 1 к. ИКРи. М, 2012 -2013 уч. г. Екатеринбург - 2012

Рекомендуемая литература 1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа: учеб пособие. СПб. : Лань, 2007. – 448 с. 2. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч. ]. Ч. 1. – М. : Айрис – Пресс, 2008. – 288 с. 3. Тер-Крикоров А. М. , Шабунин М. И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с. 4. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб. : Лань, 2005. – 448 с. , Ч. 2, 2005. – 464 с. 5. Электронный ресурс: www. exponenta. ru

Содержание лекции § 1. Задачи, приводящие к понятию производной § 2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Дифференцируемость. Уравнение касательной и нормали к кривой § 3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции § 4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций § 5. Производные сложной и обратной функций § 6. Производные основных элементарных функций § 7. Таблица производных

§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики и др. наук, в особенности при изучении скорости протекания различных процессов. Скорость прямолинейного движения Пусть материальная точка (м. т. ) M движется вдоль некоторой прямой ℓ (см. рис. ). Положение т. M можно охарактеризовать v расстоянием OM = S(t) до M O M ℓ S(t) S точки отсчета O. S(t+ t) Уравнение S = S(t) называется уравнением или законом движения м. т.

§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной (продолжение)

§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной (продолжение) T M 3 M M 2 M 1 L

§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной (продолжение)

§ 2. Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Дифференцируемость. Уравнение касательной и нормали к кривой

§ 2. Определение производной … (продолжение)

§ 2. Определение производной … (продолжение) y 4 2 0 -4 -2 0 -2 x 4

§ 3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

§ 3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции (продолжение) y 2 y f(x) 2 1 0 -2 -1 f (x) 1 0 -1 -2 0 1 x 2 -2 -1 -1 -2 0 1 x 2

§ 3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции (продолжение)

§ 4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций Вычисление производной функции y = f(x) всякий раз непосредственно по определению довольно утомительно. Поэтому на практике дифференцирование выполняют, применяя ряд установленных ниже правил и формул. Пусть u = u(x) и v = v(x) – две дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции. Т е о р е м а 2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) их производных: (u v) = u v. Доказательство: Осуществляется непосредственно по определению (СРС).

§ 4. Производная суммы, разности, произведения и частного функций (продолжение)

§ 5. Производные сложной и обратной функций

§ 5. Производные сложной и обратной функций (продолжение) П р а в и л о вычисления производной сложной функции. Для нахождения производной сложной функции y = f( (x)) следует производную данной функции по промежуточному аргументу yu = f (u) умножить на производную ux = (x) промежуточного аргумента по независимому аргументу. З а м е ч а н и е. Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов, «вложенных» друг в друга, несколько. Так, если y = f(u), где u = (v), v = (x), то yx = fx (u(v(x))) = yu uv vx (x). П р и м е р 4. Найти производную: y = f(x) = (3 x 2 + 1)2. Решение: По правилу дифференцирования сложной функции имеем: y = ((3 x 2 + 1)2) = 2 (3 x 2 + 1) = = 2 (3 x 2 + 1) 3 (x 2) = 2 (3 x 2 + 1) 3 2 x = 12 x (3 x 2 + 1). Ответ: y = ((3 x 2 + 1)2) = 12 x (3 x 2 + 1).