МИНИМИЗАЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Лекция 5 10 2012 г

МИНИМИЗАЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ Лекция 5 10. 2012 г.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ • Очень творческая задача. • Однозначного решения не имеет. • Опытным путем разработано несколько методов ее решения. • Цель задачи минимизации ЛФ – получить ДНФ/КНФ, которая будет содержать меньшее количество переменных по сравнению с другими эквивалентными ей ДНФ/КНФ!

• Минимизация ЛФ при её схемотехнической реализации даёт эффект минимизации всех типов затрат при создании технических устройств, описанных соответствующими ЛФ! (это аппаратные, временные, энергетические, по надежности …) • Основой процедуры минимизации является:

• В теоретической части – понятие равносильности функций! • Задача минимизации ЛФ – получить минимальную форму ЛФ! (что это? ) • В практической части – 3 операции: • для ДНФ: • _ • 1 - склеивания: X 1 X 2 v X 1 X 2 = X 1 • 2 - поглощения: X 1 X 2 v X 1 = X 1 • 3 - вынос за скобки: • (X 1 v. X 2)(X 1 v. X 3) = X 1 v X 2 X 3 •

• • • Аналогично для КНФ: _ 1 - склеивания: (X 1 v. X 2) &(X 1 v. X 2) = X 1 2 - поглощения: (X 1 v. X 2) & X 1 = X 1 3 - вынос за скобки: X 1 & X 2 v X 1 & X 3 = X 1(X 2 v X 3)

• Преобразования 1 и 2 не выводят булеву функцию из класса нормальных форм, а преобразование 3 – выводит. • МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ЛФ • Минимизация в классе ДНФ или КНФ. • тривиальным алгоритмом является метод полного перебора всех вариантов ДНФ/КНФ и выбора минимального, но практически это не реализуемо.

• Минимизация в классе ДНФ: • Формируем элементарные конъюнкции. • Элементарная конъюнкция – произведение r переменных из количества n переменных, причем каждая из r переменных входит в произведение с инверсией или без инверсии не более одного раза (r n). • НДФ – это дизъюнкция элементарных конъюнкций не нулевого ранга!

• • • Аналогично для класса КНФ: определяется понятие элементарной дизъюнкции: Элементарная дизъюнкция – сумма r переменных из количества n переменных, причем каждая из r переменных входит в сумму с инверсией или без инверсии не более одного раза (r n). КНФ – это конъюнкция элементарных дизъюнкций не нулевого ранга! (конъюнкция/дизъюнкция нулевого ранга-? )

МЕТОДЫ МИНИМИЗАЦИИ ЛФ • Метод Квайна – Мак-Класки • Исходная форма – СДНФ! • Алгоритм минимизации состоит из 3 -х этапов: 1. По СДНФ операцией склеивания и приведения подобных членов строится сокращенная ДНФ (Ск. ДНФ) 2. По Ск. ДНФ с помощью импликантной таблицы находятся все тупиковые формы булевой функции (обычно их несколько) 3. Из тупиковых выбирается минимальная.

ПРИМЕР • _ _ _ _ _ • Y= X 1 X 2 X 3 v X 1 X 2 X 3 v X 1 X 2 X 3 • 1 2 3 4 5 6 • Вводятся новые понятия – определяются типы конъюнкций: соседние и изолированные. • Соседние – те, в которые одна переменная входит в прямом и инверсном значении, остальные повторяют свои значения. • Изолированные – те, для которых нет соседних. • В исходном примере изолированных нет, для каждой есть соседняя.

• анализ соседних и их склеивание: • _ _ • 1 и 2 – по X 3 - X 1 X 2 ; • __ • 1 и 3 – по X 2 - X 1 X 3 ; • _ • 2 и 4 – по X 1 - X 2 X 3 ; • _ • 3 и 5 – по X 1 - X 2 X 3 ; • 4 и 6 – по X 2 - X 1 X 3 ; • 5 и 6 – по X 3 - X 1 X 2 ;

• Среди конъюнкций 2 ранга соседних нет, т. е. все они изолированные. • Тогда записываем сокращенную ДНФ в виде • __ __ _ _ • Y = X 1 X 2 v X 1 X 3 v X 2 X 3 v X 1 X 2 ; • 1 2 3 4 5 6

Строим импликантную таблицу _ __ X 1 X 2 X 3 __ X 1 X 2 * * __ X 1 X 3 * __ X 2 X 3 __ X 1 X 2 _ __ X 1 X 2 X 3 * * * * *

Построение минимальной формы • Анализируя таблицу, находим все варианты покрытия всех столбцов таблицы: • __ _ • 1. Y = X 1 X 2 v X 2 X 3 v X 1 X 3 ; • _ _ _ • 2. Y = X 1 X 3 v X 1 X 2 ; • Другие варианты дают большее количество элементарных переменных и функций для записи логической функции Y.

Таким образом получаем: • • _ _ _ _ _ Y= X 1 X 2 X 3 v X 1 X 2 X 3 v X 1 X 2 X 3 = _ _ _ = X 1 X 2 v X 2 X 3 v X 1 X 3 , либо _ _ _ = X 1 X 3 v X 1 X 2 ; Функция Y по-прежнему зависит от 3 -х аргументов (сокращение числа аргументов не произошло!), но количество элементарных функций уменьшилось!