Международный университет природы, общества и человека «Дубна» Кафедра «Системного анализа и управления» Методы анализа и прогноза рядов временных профессор Спивак Лев Феликсович levspivak@mail. ru моб. : 9164883249
• Для того, чтобы делать «строгие» достоверные прогнозы на будущее, нужно получить выборку из будущих данных. Так как это невозможно, то для прогноза приходится использовать выборки из прошлых и текущих данных. Такая выборка называется временным рядом. Обрабатывая ряд аналитик пытается найти закономерности изменения показателей в прошлом и адаптировать их для прогноза. • Поиск таких закономерностей и есть основная задача анализа временных рядов.
Основные определения • Временной ряд (time series)- упорядоченная последовательность значений (элементов ряда), характеризующих изменения измеряемого параметра во времени • Элементы ряда: у= y(ti); ti+1= ti + ti; i=1, …, k • t - временной шаг ряда, т. е. интервал времени между значениями ряда • у(t 1)– начальный элемент; t 1 - начальный момент времени (дата) • у(tk) – конечный элемент; tk – конечный момент времени • y(ti) – текущий элемент; ti – текущий момент времени • [ti : t i + n] – временной интервал (промежуток времени) в n шагов. • При графическом представлении время откладывается по оси абсцисс (х), а значения элементов ряда – по оси ординат (у)
Способы представления: график, диаграмма, таблица, функция Зоны низкой продуктивности 1 year 2 3 Год 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 Урожай (ц/га) 14. 5 15. 4 14. 7 9. 4 12. 8 5. 6 10. 3 17. 2 4 Уравнение тренда: у= f(ti)
Тренд и колебания • Тренд – устойчивая тенденция (закономерность) изменения значений ряда, проявляющаяся на некотором временном интервале • Колебания (вариации) – отклонения значений ряда от общей тенденции Zone of very low vegetative productivity B тренд year - Факторы определяющие устойчивые тенденции динамики урожайности : агротехнологии, селекция, продуктивность земель и др. - Факторы обуславливающие колебания урожайности: погодные условия (благоприятные и неблагоприятные), циклы солнечной активности, колебания активности вредителей и болезней и др.
Диапазон колебаний (изменения) значений ymax – максимальное значение ряда ymin – минимальное значение ряда (ymax – ymin) – диапазон колебаний значений ряда ycp = 1/k i y(ti); i=1, …, k ymax y cp y 1 ymin yk
Классификация временных рядов • Равномерные ( t = const) и неравномерные ( t = variable) ряды • Полные (все элементы ряда определены) и неполные (значения некоторых элементов ряда неизвестны) Ряды моментных и интервальных значений Ряды абсолютных, относительных и средних величин
Примеры временных рядов • Временной ряд солнечной активности • Временные ряды метеорологических параметров • Ряды экономических и социальных показателей (индексы) • Динамика производства и потребления • Курсы валют и акций • Физиология и медицина, жизненные циклы
Основные задачи • • Анализ динамических характеристик Периодизация Прогноз Сравнение рядов
Показатели динамики ряда • Как изменяются значения ряда во времени? Каким законом (уравнением) можно описать эти изменения? • Для анализа динамики важно абстрагироваться от колебаний, т. е. оперировать показателями не зависящими от колебаний. • Эти показатели можно разделить на три группы: - Абсолютные - Относительные - Средние
Абсолютные изменения значений Абсолютное изменение – разность между значениями элементов ряда, отвечающих различным моментам времени. 1. Базисное изменение - i/1= yi – y 1 Разница между текущим и начальным значением ряда 2. Цепное (последовательное, текущее) изменение - i= yi+1 – yi Разница между значениями предыдущего и последующего элементов ряда Абсолютное изменение измеряется в тех же единицах, что и элементы ряда и должно быть привязана к конкретному моменту (интервалу ) времени. Если i 0 то изменение называют приростом (увеличением), Если i 0 то изменение называют сокращением (снижением) Физически абсолютное изменение эквивалентно скорости движения и отражает скорость изменения элементов ряда
Равномерная и неравномерная динамика • Если абсолютное изменение постоянно независимо от момента времени, то говорят о равномерном изменении элементов ряда (движение с постоянной скоростью). В этом случае динамика ряда описывается уравнением • yi = y 1 + a ti yi – значение элемента ряда для момента времени ti y 1– значение начального элемента ряда a – средняя величина абсолютного изменения значений элементов ряда (скорость) • Если a≠ const , то говорят о неравномерной динамике или о изменениях с ускорением. • Ускорение – разница между абсолютными изменениями значений ряда за два последовательных равных по времени интервала • 'j= j - j-1 • Если 'j 0, то говорят о замедлении роста (отрицательной динамике)
Аналогия динамики ряда и движения тел • Прямолинейное равномерное движение • Пройденный путь • S = s 0 + v 0 t - s 0 – путь, пройденный до начала отсчета времени - v 0 - начальная скорость - t – время движения • Уравнение ряда при равномерной динамике • yi = y 1 + a ti - y 1 – значение начального элемента ряда - a – средний абсолютный прирост - ti - момент времени
Аналогия динамики ряда и движения тел. Равноускоренное движение • Пройденный путь • S = s 0 + v 0 t + gt 2/2 - s 0 – путь, пройденный до начала отсчета времени - v 0 - начальная скорость - g - ускорение - t – время движения • Уравнение ряда ( неравномерная динамика) • yi = y 1 + a ti + b ti 2/2 - y 1 – значение начального элемента ряда - a – средний абсолютный прирост - b – ускорение (постоянное) - ti - момент времени
Относительные показатели динамики • Относительные показатели применяются для сравнения динамики различных рядов. Основная относительная характеристика – темп роста. • Темп роста – определяется как отношение последующего элемента ряда к предшествующему i = y / y • Если в качестве предшествующего элемента фигурирует начальный элемент (база), говорят о базисном темпе роста. i/1. . = yi / y 1 • Обычно темп роста измеряется в долях или процентах. При этом базисный уровень принимается за 1 или 100%. i = y / y = (y + i ) /y = 1 + i / y или 100% + 100 i / y • Величина i / y – называется относительным приростом или темпом прироста. • Темп изменения – величина всегда положительная. Если элементы ряда принимают как положительные, так и отрицательные значения, понятия темпа изменения или прироста применять нельзя, поскольку они теряют экономический смысл. i i i -1 i -1
Соотношения между цепными (текущими) и базисными показателями • Сумма цепных (последовательных) абсолютных изменений равна базисному абсолютному изменению • i/1 = ∑i i • Произведение (последовательных) темпов изменений равна базисному темпу изменению • i/1 =∏i i • Но для темпов прироста аналогичное утверждение неверно. Складывать или вычитать темпы прироста нельзя.
Усредненные показатели динамики - 1) Среднее значение элементов ряда с равномерным временным шагом yср = 1/k ∑i yi; i=1, …, k - 2) Средневзвешенное значение для ряда с временным шагом (интервалами) различной длины yср = ∑j y j cp tj / ∑j tj; j=1, …, n tj – величина j-го однородного интервала y j cp – среднее значение ряда для j-го интервала Пример. С 1 -го по 18 мая на предприятии работало 45 чел. , с 19 -го по 27 – 48 чел. , а с 28 -го по 31 – 54 чел. В этом случае среднесписочное число работников за май составит: yср = (45 х 18 + 48 х 9 + 54 х 4)/31= 47 чел.
- 3) Средний абсолютный прирост ряда из k элементов с равным временным шагом вычисляется по формуле ср= (yk – y 1) / k = (∑i i )/k : i=1, …, k; Пример. Производство телевизоров в РФ в 1980 г составило 4013 тыс. штук, а в 1990 г – 4717 тыс. штук. Следовательно, среднегодовой абсолютный прирост производства телевизоров за 10 лет составляет ср = (4717 – 4013)/ 10 = 70, 4 тыс. штук ля ии абсолютного изменения (прироста) должен уточняться указанием двух параметров: - временной период, за который он вычислен и к которому относиться (в нашем примере это 1980 -1990 гг); - временной шаг усреднения ( в примере это один год); В частности, среднемесячный абсолютный прирост производства телевизоров за период 1980 -1990 гг будет в 12 раз меньше.
• 4) Среднее ускорение абсолютного изменения (прироста) вычисляется для сглаженных рядов без колебаний. Для грубого расчета можно использовать среднегодовые уровни. Пример. Динамика национального богатства России Период Значение в млрд. руб Средний абсолютный прирост ( i) Ускорение 1941 -1960 1566 - - 1961 -1980 7097 5531 5806 1981 -2000 18434 11337 Таким образом, среднегодовое ускорение в третьем периоде по сравнению со вторым периодом составило 5806 млрд. рублей. , а среднегодовое ускорение прироста за период 1981 -2000 гг равно 5806/20=290, 28 млрд. руб. Среднее ускорение дополнительно идентифицируется указанием трех параметров: - временной период, за который он вычислен и к которому относиться (в нашем примере это 1981 -2000 гг); - временной период, по отношению к которому оценивается ускорение (19611980) - временной шаг усреднения (один год);
• 5) Средний темп изменения определяется как среднее геометрическое из цепных темпов роста за k лет срk = k √∏i i = k√ (уk / у1) • Пример. Стоимость потребительской корзины за год в результате инфляции возросла в 6 раз. Каков среднемесячный темп инфляции? ин 12= 12√ 6=1, 16 или 116% т. е. в среднем за месяц цена росла на 16%. Средний тем роста как и средний прирост идентифицируется двумя параметрами: - временной период, за который он вычислен; - временной шаг усреднения. Например, среднегодовой темп за последние 10 лет или среднемесячный темп за полугодие.
Скачать презентацию Международный университет природы общества и человека Дубна Кафедра
Анализ временных рядов_Лек_1_2014.ppt