МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА 1 ГИДРОСТАТИКА 2

МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА

1. ГИДРОСТАТИКА 2

1. Гидростатика В гидростатике изучают законы равновесия жидкости и газа и их взаимодействие в этом состоянии с твердыми телами. Силы, действующие в сплошной среде, делят на 2 группы: • распределенные по объему – массовые силы, • распределенные по поверхности – поверхностные силы. Массовые (или объемные) силы – это силы тяжести и переносные силы инерции при равновесии жидкости в движущемся с ускорением сосуде. Интенсивность массовых сил где - ускорение свободного падения; - переносное ускорение частицы жидкости в движущемся сосуде. 3

1. Гидростатика Поверхностные силы в покоящейся жидкости – силы, направленные по нормали к рассматриваемой площадке. Интенсивность поверхностных сил где – единичный вектор внешней нормали к площадке; p – гидростатическое давление, оно считается положительным, если является сжимающим для площадки. Давление представляет собой физический скаляр. Единица гидростатического давления - паскаль: 1 Па =1 Н/м 2 Единицы измерения давления в технике: • атмосфера: 1 атм = 98066, 5 Па ≈ 100 к. Па, • миллиметр ртутного столба: 1 мм. рт. ст. =98066, 5 Па/760 = 129 Па. 4

1. Гидростатика Дифференциальное уравнение гидростатики: где - плотность жидкости, ось Оz направлена вертикально вверх. Если получим где H - гидростатический напор. Введем – удельный вес и запишем Разность z 0 –z = h – глубина погружения. Основная формула гидростатики: 5

1. Гидростатика – главный вектор сил давления жидкости на некоторую плоскую поверхность. Интегрируем при γ = const: статический момент площадки относительно свободной поверхности жидкости; h. C – заглубление центра тяжести площадки. Следовательно, – давление в центре тяжести В результате, 6

1. Гидростатика Центр давления D – точка приложения равнодействующей сил избыточного давления жидкости на площадку. Для плоской площадки силы давления параллельны между собой, следовательно, центр давления найдется как центр параллельных сил. 7

1. Гидростатика Координата D центра давления жидкости на площадку: где - координата центра тяжести площадки, Jxс – момент инерции площадки относительно ее центральной оси, параллельной линии пересечения свободной поверхности и плоскости, в которой лежит площадка. Заглубление центра давления Центр давления лежит ниже центра тяжести площадки. 8

Задача 1. Гидростатика Задача 1. На плотину из бетона (ρ = 2000 кг/м 3) длиной L = 50 м с двух сторон давит вода. В = 20 м; b = 5 м; H = 12 м; h = 6 м; α = 45 о 1) Найти равнодействующую сил нормального давления грунта на плотину и точку её приложения. 2) Определить, опрокинется ли плотина при Н = В. 3) Построить эпюры давления воды и воздуха на плотину. 9

Задача 1. Гидростатика 10

Задача 1. Гидростатика 11

Задача 1. Гидростатика Рассмотрим действие воды на плотину. 12

Задача 1. Гидростатика Равнодействующая сила давления воды на смоченную поверхность плотины справа: 13

Задача 1. Гидростатика Найдем центр тяжести сечения плотины. Сечение разбиваем на элементарные фигуры: 1 – прямоугольник, 2 – треугольник. Центр тяжести прямоугольника С 1 точка пересечения диагоналей. Центр тяжести треугольника С 2 точка пересечения медиан. На схеме покажем координатные оси. 14

Задача 1. Гидростатика Вычислим необходимые данные для определения центра тяжести плотины: 15

Задача 1. Гидростатика 16

Задача 1. Гидростатика y b B A 1 2 H С С 1 hл hп С 2 45 o K xc E h x D 17

Задача 1. Гидростатика Определим силу давления воздуха на стенки плотины. pа = 9, 8·104 Н/м 2 18

Задача 1. Гидростатика Равнодействующая сила давления воздуха на правую наклонную поверхность плотины: 19

Задача 1. Гидростатика Равнодействующая сила давления воздуха на верхнюю плоскость плотины: 20

Задача 1. Гидростатика 21

Задача 1. Гидростатика 22

Задача 1. Гидростатика 23

Задача 1. Гидростатика 9. Определим вероятность опрокидывания плотины при H = В В 24

Задача 1. Гидростатика Момент, препятствующий опрокидыванию: Так как опрокидывающий момент значительно сопротивления, то плотина не опрокинется при H = В. меньше момента 25

Задача 1. Гидростатика 26

2. ДИНАМИКА ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА 27

2. 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ОДНОМЕРНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИЙ 28

2. 1. Основные уравнения динамики одномерных стационарных течений К одномерным течениям относят такое движение жидкости, когда продольные размеры потока во много раз превосходят поперечные, например, в трубах, каналах, реках и т. д. Характеристики поперечного сечения потока: • площадь сечения S; • средняя скорость в сечении где u – скорость в данной точке сечения; • массовый и объемный секундные расходы 29

2. 1. Основные уравнения динамики одномерных стационарных течений Характеристики поперечного сечения потока: • смоченный периметр χ – длина соприкасающейся с жидкостью дуги границы нормального сечения трубы или канала; • гидравлический диаметр DГ – отношение учетверенной площади нормального сечения к смоченному периметру: Гидравлический диаметр заполненной жидкостью трубы круглого сечения равен диаметру этой трубы. • гидравлический радиус: 30

2. 1. Основные уравнения динамики одномерных стационарных течений При одномерном установившемся движении основные уравнения гидродинамики могут быть существенно упрощены. Уравнение неразрывности вырождается в уравнение постоянства расхода: При : Здесь v 1 и v 2 – модули средних скоростей в сечениях; S 1 и S 2 – площади сечений. 31

2. 1. Основные уравнения динамики одномерных стационарных течений Уравнение количества движения принимает вид формулы Эйлера: где - сумма внешних сил, объемных и поверхностных, действующих на выделенный сечениями 1 и 2 объем жидкости. 32

2. 1. Основные уравнения динамики одномерных стационарных течений Уравнение кинетической энергии принимает вид уравнения Бернулли для реальных потоков: Все члены этого уравнения имеют размерность длины и их в гидромеханике называют высотами или напорами: z – нивелировочная высота или просто высота; – скоростная высота; – пьезометрическая высота. Коэффициент α (коэффициент Кориолиса) представляет собой отношение действительной кинетической энергии к кинетической энергии, подсчитанной по средней скорости. Для равномерных течений α = 1. Δh 12 – удельная мощность внутренних сил на участке 1– 2, или потеря полного напора (гидравлические потери). 33

2. 1. Основные уравнения динамики одномерных стационарных течений Уравнение Бернулли для идеальной жидкости: где H – гидравлическая или полная высота; – потенциальный или пьезометрический напор; – скоростной (кинетический) напор. 34

2. 1. Основные уравнения динамики одномерных стационарных течений Уравнение Бернулли в единицах давления: Здесь p – статическое давление; ρgz – весовое давление; – кинетическое давление. 35

2. 1. Основные уравнения динамики одномерных стационарных течений Линия, характеризующая изменение пьезометрического напора вдоль течения, называется пьезометрической линией. Её уклон называется пьезометрическим уклоном: (l – длина) Линия, проведенная по отметкам гидродинамических напоров, называется напорной линией (линией энергий). Её уклон называется гидравлическим уклоном: Пьезометрический и гидравлический уклоны положительные, если они направлены в сторону движения жидкости. 36

2. 1. Основные уравнения динамики одномерных стационарных течений Гидравлический уклон мыслим только в вязкой жидкости. Он всегда направлен в сторону движения жидкости. Пьезометрический уклон может быть направлен как в сторону движения, так и в противоположную сторону. 37

2. 2. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ПОТЕРИ 38

2. 2. Гидравлические потери Потери при одномерном течении: 1) потери по длине; 2) местные потери. Иначе потери полного напора называют гидравлическими сопротивлениями. Природа гидравлических сопротивлений достаточно сложна. Они зависят от сил внутреннего и внешнего трения, от геометрии твердых границ. Их теоретическое исследование слишком сложно, поэтому на практике пользуются экспериментальными данными. Гидравлические потери самым существенным образом зависят от режима течения жидкости. Режимы движения жидкости: Ламинарный – режим, при котором частицы жидкости движутся слоями, без перемешивания. Турбулентный – режим с беспорядочным перемешиванием жидкости. 39

2. 2. Гидравлические потери Переход от ламинарного к турбулентному режиму происходит при критическом числе Рейнольдса. где v – средняя скорость, μ – коэффициент динамической вязкости, d – характерный размер (гидравлический диаметр сечения) Размерность коэффициента вязкости: • динамического [μ] = Н·с/м 2, • кинематического [ν] = [μ /ρ] = м 2/c. Обратный переход от турбулентного режима к ламинарному произойдет при гораздо меньшем числе Рейнольдса. Экспериментально установлены верхнее и нижнее числа Рейнольдса: 40

2. 2. Гидравлические потери Потери напора по длине круглого трубопровода вычисляют по формуле Дарси - Вейсбаха где – коэффициент потерь по длине, λ – коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси); v – средняя скорость. 41

2. 2. Гидравлические потери Коэффициент гидравлического трения: 1) при Re < 2300 (ламинарный режим) вычисляют по формуле Пуазейля : 2) при Re > 2300 (турбулентный режим) вычисляют по формуле Альтшуля : Здесь δ – средняя шероховатость (высота бугорков стенок) трубы (мм), значения δ приведены в таблице 1. 3) В области переходного режима для гладких труб имеем формулу Блазиуса: Потери напора по длине в единицах давления: 42

2. 2. Гидравлические потери Средняя шероховатость (высота бугорков стенок) трубы (мм) Таблица 1. 43

2. 2. Гидравлические потери Потери напора на местных сопротивлениях находятся по формуле Вейсбаха: где – коэффициент местных потерь напора, v – средняя скорость за сопротивлением (кроме случая резкого расширения). Потери напора на местных сопротивлениях в единицах давления: 44

2. 2. Гидравлические потери Коэффициенты потерь для некоторых местных сопротивлений Таблица 2. 45

2. 2. Гидравлические потери Коэффициенты потерь для некоторых местных сопротивлений Продолжение таблицы 2. 46

2. 2. Гидравлические потери Коэффициенты потерь для некоторых местных сопротивлений Продолжение таблицы 2. 47

2. 2. Гидравлические потери Коэффициенты потерь для некоторых местных сопротивлений Продолжение таблицы 2. Таблица 3 48

Задача 2. Динамика реальной жидкости Из резервуара, давление в свободном объеме, которого p 1 через водопроводную систему, состоящую из труб разного диаметра и длины, входа в трубопровод А, резкого расширения (или сужения) В, запорного вентиля С, и конфузора (диффузора) D вода выливается в атмосферу. Определить давление p 1, необходимое для обеспечения заданного расхода Q, а также построить графики пьезометрического и скоростного напоров. 49

Задача 2. Динамика реальной жидкости Дано: Определить давление p 1. Построить графики пьезометрического, скоростного напоров. 50

Задача 2. Динамика реальной жидкости Составим уравнение Бернулли в общем виде для сечения 1– 1 (уровень жидкости в резервуаре) и сечения 2– 2 на выходе потока из трубы. За плоскость сравнения принимаем нижнюю ось трубопровода. 1 1 2 2 51

Задача 2. Динамика реальной жидкости 52

Задача 2. Динамика реальной жидкости Тогда уравнение Бернулли принимает вид: Потери напора равны сумме потерь по длине и местных потерь: Потери напора по длине определяют по формуле Дарси: Потери напора в местных сопротивлениях вычисляют по формуле Вейсбаха: 53

Задача 2. Динамика реальной жидкости Cкорости движения воды на каждом участке определим c учетом постоянства расхода Q по формуле: Определим режим движения жидкости на каждом участке. Число Рейнольдса: 54

Задача 2. Динамика реальной жидкости Для стальных бесшовных новых труб (по табл. П. 2. 1)δ = 0, 014 мм = 0, 014·10 -3 м. Для удобства вычислений диаметр перевели в мм: d 1= 0, 04 м = 40 мм. Это турбулентный режим, поэтому коэффициент гидравлического трения определяем по формуле Альтшуля: 55

Задача 2. Динамика реальной жидкости Это область гидравлических гладких труб, поэтому коэффициент гидравлического трения определяем по формуле Блазиуса: 56

Задача 2. Динамика реальной жидкости Найдем потери напора по длине по формуле Дарси (3): 57

Задача 2. Динамика реальной жидкости Найдем местные потери напора по формуле Вейсбаха (4): Коэффициент сопротивления на входе в трубопровод (табл. П 2. 2): ξвх = 0, 5 Коэффициент сопротивления на внезапное расширение (табл. П 2. 2): 58

Задача 2. Динамика реальной жидкости Коэффициент сопротивления при прохождении через вентиль (табл. П 2. 2): ξвен = 4 Коэффициент сопротивления диффузора: , где α – угол конусности 0, 5 d 3 α x L 4 0, 5 d 4 59

Задача 2. Динамика реальной жидкости Найдем α – угол конусности 0, 5 d 3 α x L 4 0, 5 d 4 60

Задача 2. Динамика реальной жидкости Потери напора на выход из трубы в атмосферу. Коэффициент сопротивления на выходе (табл. П 2. 2): ξвых = 1 Общие потери напора: Все скоростные напоры: 61

Задача 2. Динамика реальной жидкости В уравнение Бернулли (2) подставим найденные значения и вычислим давление p 1: Находим высоту, обусловленную избыточным давлением в резервуаре hп: 62

Задача 2. Динамика реальной жидкости Напорная и пьезометрическая линии Напорная линия показывает, как изменяется полный напор (полная удельная энергия) по длине потока. При построении напорной линии значения высот (гидродинамических напоров) откладывают вертикально вверх от осевой линии трубопровода. По ходу движения напорная линия всегда падает, то есть имеет уклон, так как потери напора не обратимы. 63

Задача 2. Динамика реальной жидкости Напорная и пьезометрическая линии 64

3. ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДКОВ 65

3. Истечение жидкости из отверстий и насадков В гидравлике различают большие и малые отверстия. Отверстие называют малым, если его вертикальный размер не превышает 0, 1 напора. При истечении из малого отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре скорость v и расход Q жидкости определяются по формулам: где μ, φ – коэффициенты скорости и расхода, значения которых приведены в таблице; S – площадь отверстия; H – геометрический напор над центром тяжести отверстия; p 1 – давление на свободной поверхности жидкости; p 2 – давление в среде, в которую происходит истечение 66

3. Истечение жидкости из отверстий и насадков Значения коэффициентов сжатия струи скорости и расхода Таблица 3. 67

3. Истечение жидкости из отверстий и насадков Связь между коэффициентами μ и φ: где ε – коэффициент сжатия струи, равный отношению площади струи в сжатом сечении к площади отверстия. Коэффициент скорости φ находится через коэффициент ξ потерь местного сопротивления и коэффициент α кинетической энергии по формуле 68

3. Истечение жидкости из отверстий и насадков При истечении жидкости из открытого резервуара в атмосферу (p 1 = p 2 = pа) формулы для скорости v и расхода Q жидкости принимают простой вид: 69

3. Истечение жидкости из отверстий и насадков При истечении под уровень (в этом случае отверстие называется затопленным) скорость и расход находятся по формулам: где ΔH – разность уровней. Если резервуары являются открытыми (p 1 = p 2 = pа), то формулы упрощаются: 70

3. Истечение жидкости из отверстий и насадков Насадком называется короткая трубка (длиной 3– 4 диаметра), прикрепленная к отверстию. В зависимости от формы насадки делятся на • цилиндрические: внешние и внутренние (а, б), • Конические: сходящиеся и расходящиеся (в, г). 71

3. Истечение жидкости из отверстий и насадков Скорость и расход при истечении из насадка определяются по тем же формулам, что и при истечении через малое отверстие. Значения коэффициентов сжатия струи, скорости и расхода Таблица 4. 72

Задача 3. Истечение жидкости из отверстий и насадков Истечение воды из закрытого резервуара происходит через насадок, а из открытого – через отверстие в тонкой стенке. Диаметры выходного отверстия насадка и отверстия в тонкой стенке одинаковы. Определить расход воды через систему и избыточное давление p 0 в закрытом резервуаре. Дано: 73

Задача 3. Истечение жидкости из отверстий и насадков d = 10 мм = 0, 01 м < 0, 1·H 2 = 0, 21 м Следовательно, отверстие является малым. По таблице П 3. 1 для малого незатопленного отверстия принимаем коэффициент расхода μ 0 = 0, 62. Расход жидкости при истечении из отверстия из открытого резервуара в атмосферу определяется по формуле: где S – площадь отверстия, , Н = Н 2 – действующий напор над центром отверстия. (Для другой схемы для первого отверстия Н = Н 2, для второго Н = Н 3) 74

Задача 3. Истечение жидкости из отверстий и насадков Расход из отверстия равен: При истечении жидкости через насадок при затопленном отверстии расход определяется по формуле: 75

Задача 3. Истечение жидкости из отверстий и насадков Тогда Избыточное давление в резервуаре 76