Механика вращательного движения Тема 4 Краснов Павел

Механика вращательного движения Тема № 4 Краснов Павел Олегович, доцент кафедры физики Сиб. ГТУ

Содержание темы 1. Что называется вращательным движением. 2. Кинематические характеристики вращательного движения (угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение). 3. Динамические характеристики вращательного движения (момент силы, момент импульса, момент инерции). 4. Закон сохранения момента импульса. 5. Энергетические характеристики вращательного движения.

Вращательное движение При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружностей и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами.

Угол поворота Характеристикой перемещения материальной точки при вращательном движении является угол поворота (φ) её радиус-вектора за некоторое время: Угол поворота измеряется в радианах (рад).

Угловая скорость Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью (ω), измеряемой в рад/с: Угловая скорость связана с линейной, как

Направление вращения Для описания направления вращения вводится векторная величина угловой скорости, модуль которой равен ω, а направление вращения и направление данного вектора образуют правовинтовую систему:

Нормальное ускорение Следовательно, связь линейной скорости и угловой можно представить в виде векторного произведения: Поскольку нормальное ускорение определяется величиной линейной скорости, получим выражения его связи с угловой скоростью:

Угловое ускорение Быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением (β), измеряемым в рад/с2: Угловое ускорение связано с линейным (тангенциальным), как

Направление углового ускорения Очевидно, связь тангенциального ускорения с угловым можно представить в виде векторного произведения: То есть направление β зависит от направления aτ:

Основной закон динамики Согласно второму закону Ньютона, угловое ускорение, которое приобретает вращающееся тело прямо пропорционально физической величине, определяющей силовое действие на это тело со стороны других тел, – моменту силы: Тогда основной закон динамики вращательного движения можно представить в виде

Момент силы определяется, как векторное произведение силы и радиус-вектора точки приложения силы, проведённого из точки, относительно которой определяется момент: где α – угол между векторами F и r, а l – плечо силы. Момент силы называют ещё вращающим моментом.

Момент инерции Физическая величина I является мерой инертности тела во вращательном движении и называется моментом инерции. Момент инерции материальной точки, определяется, как Момент инерции твёрдого тела равен сумме моментов инерции материальных точек, из которых состоит тело:

Момент инерции цилиндра Момент инерции полого тонкостенного цилиндра (или кольца) массой m и радиусом R относительно его оси может быть определён, как Момент инерции сплошного цилиндра (или диска) массой m и радиусом R относительно его оси может быть определён, как

Моменты инерции сферы и шара Моменты инерции тонкостенной сферы массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через центр, может быть определён, как Моменты инерции сплошного шара массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через центр, может быть определён, как

Теорема Штейнера Момент инерции тела I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела IC относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Теорема Штейнера для диска Рассмотрим ситуацию, когда необходимо определить момент инерции диска массой m и радиусом R относительно оси O, проходящей через его край параллельно оси OC:

Момент импульса Результат действия на вращающееся тело момента силы в течение некоторого времени определяется изменением его момента импульса, вводимого по аналогии с импульсом при поступательном движении: Тогда основной закон динамики вращательного движения можно представить в виде

Определение момента импульса Момент импульса материальной точки определяется как векторное произведение её импульса на радиус-вектор, проведённый из точки, относительно которой определяется момент: Если векторы p и r перпендикулярны, как, например, при движении по окружности, то

Закон сохранения момента импульса Векторная сумма всех моментов импульса относительно любой оси для замкнутой системы остается постоянной: В частности, момент импульса вращающегося тела в один момент времени будет равен моменту импульса в другой момент:

Работ и мощность момента силы Работа d. A, совершаемая вращающим моментом при повороте на угол dφ, определяется, как где Mω – проекция момента силы на направление угловой скорости ω. Тогда мощность P, развиваемая моментом:

Кинетическая энергия вращения Кинетическая энергия вращающегося тела определяется, как При сложном движении, когда тело принимает одновременно участие в поступательном и вращательном движениях, кинетическая энергия равна сумме энергий обеих составляющих:

Качение сплошного цилиндра Предположим, что сплошной цилиндр массой m катится по некоторой поверхности с постоянной скоростью v. Определим его полную кинетическую энергию: