Механика лекции Смирнов Виталий Васильевич Литература

Механика: лекции Смирнов Виталий Васильевич

Литература • 1. Олофинская В. П. Техническая механика: Курс лекций, М. : 2009 • 2. Мовнин М. С. Основы технической механики, Л. : 2009 • 3. Опарин И. С. Основы технической механики, М. : 2010 • и др.

Введение • Греческое слово "механе" означало орудие, приспособление, осадную или театральную машину, а также уловку, ухищрение. Deus ex machina механизированное явление богов в древнегреческом театре «Театрум махинарум» – первая в России книга по машиностроению (А. К. Нартов, 1755 г. )

• Меха ника — раздел физики, наука о движении и силах, вызывающих движение. • Техническая механика — это наука об общих законах механического движения и применения их в современной технике.

Некоторые известные механики • • • • АРХИМЕД (ОК. 287 212 ДО Н. Э. ) ЛЕОНАРДО ДА ВИНЧИ (1452 1519) ГАЛИЛЕЙ (1564— 1642) КЕПЛЕР (1571 1630) ПАСКАЛЬ (1623 – 1662) ГЮЙГЕНС (1629 1695) ГУК (1635— 1703 НЬЮТОН (1643 1727) ПОЛЗУНОВ И. И. (1729 – 1766) ЭЙЛЕР (1707— 1783) КУЛИБИН И. П. (1735 1818) ЧЕБЫШЕВ П. Л. ( 1821 – 1894) АЛЬБЕРТ ЭЙНШТЕЙН (1879 1955) Часы Лазаря Сербина на великокняжеском дворе в Москве, 1404 год

Векторные и скалярные величины в механике • Скалярными называют величины, характеризующиеся числовым значением и знаком. • Скаляры: длина − l, масса − m, путь − s, время − t, температура − T, энергия − W, координаты и т. д. • К скалярным величинам применяются все алгебраические действия (сложение, вычитание, умножение и т. д. ). • Векторными называют величины, характеризующиеся числовым значением и направлением. • Векторы: ускорение a, скорость v, сила F и др. • Операции с векторами производят по правилам векторной алгебры

• Вектор можно охарактеризовать его проекциями на координатные оси

Синус, косинус, тангенс, котангенс Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе (рис. 1): sin = b/c. Косинус острого угла t прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к гипотенузе (рис. 1): cos = a/c. Тангенс – это отношение синуса к косинусу. Котангенс – это отношение косинуса к синусу.

Косинус и синус основных точек числовой окружности •

Раздел 1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

1 Статика 1. 1 Основные понятия статики • Статика – раздел теоретической механики, в котором изучают свойства сил, условия их одновременного действия на тело и условия равновесия тел под действием приложенных к ним сил • Абсолютно твердым (недеформируемым) называют тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остаётся постоянным. • Материальная точка – тело размерами и формой которого можно пренебречь, но обладающее массой • Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных.

• Сила – мера механического взаимодействия материальных тел между собой. Единица измерения силы – Ньютон(Н). • Сила как векторная величина характеризуется модулем (величиной), линией действия, направлением и «точкой» приложения силы. • Система сил – совокупность сил, действующих на тело • Равновесие – под действием сил тело остается в покое или движется равномерно и прямолинейно по отношению к другим телам

Проекции сил на координатные оси

Важное упрощение: • При изучении равновесия тел их считают абсолютно твёрдыми (жёсткими). В действительности все тела под воздействием силовых факторов изменяют свои размеры

• Две системы сил называются эквивалентными, если их замена одна на другую не изменяет механического состояния тела. • Равнодействующей силой называют силу, действие которой на твердое тело или материальную точку эквивалентно действию рассматриваемой системы сил. Силы бывают: • Внутренние – характеризуют взаимодействие частиц (элементов) данного тела • Внешние – характеризуют взаимодействие данного тела с другими телами • Сосредоточенные – приложены в точке • Распределённые – действуют на часть поверхности (поверхностные), линии (погонная нагрузка), в объёме (объёмные)

• Поверхностные, погонные и объёмные силы

1. 2 Аксиомы статики – устанавливают основные свойства сил, приложенных к абсолютно твёрдому телу. I. Аксиома инерции. Под действием взаимно уравновешенной системы сил тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

II. Аксиома равновесия под действием двух сил • Если тело под действием двух сил находится в равновесии, то эти силы равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Такие две силы представляют собой простейшую взаимно уравновешенную систему сил.

III. Аксиома присоединения и отбрасывания уравновешивающих сил • Если к заданной системе сил присоединить (или изъять) взаимно уравновешенную систему сил, то кинематическое состояние тела не изменится

• Следствие из аксиомы присоединения – Кинематическое состояние тела не изменится, если силу перенести по линии ее действия.

IV. Аксиома сложения двух сил (аксиома параллелограмма). Равнодействующая двух пересекающихся сил равна диагонали параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.

V. Аксиома действия и противодействия – Всякому действию соответствует равное и противоположное противодействие (III закон Ньютона).

VI. Аксиома отвердевания. Равновесие деформируемого тела сохраняется при его затвердевании (обратное справедливо не всегда).

VII. Аксиома связей. Движение несвободного тела ограничено другими телами Свободное тело – свобода перемещений тела не ограничивается никакими другими телами. Несвободное тело – его движение ограничено другими телами.

1. 3 Связи и реакции связей Связь – тело, ограничивающее свободу перемещений объекта. Реакция связи – сила, действующая на объект со стороны связи. Принцип освобождаемости от связи – несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие соответствующими реакциями.

Типовые связи и их реакции 1. Нить, шарнирный стержень: Реакция нити (стержня) направлена по нити (по стержню). 2. Абсолютно гладкая поверхность: Реакция гладкой поверхности направлена перпендикулярно общей касательной плоскости, проведенной к соприкасающимся поверхностям тела и связи.

3. Неподвижный цилиндрический шарнир: Реакция неподвижного шарнира проходит через центр шарнира перпендикулярно оси шарнира и имеет произвольное направление. Реакцию неподвижного шарнира можно разложить на две составляющие, например, Rx и Ry, параллельные координатным осям. 4. Подвижный цилиндрический шарнир: Реакция подвижного шарнира проходит через центр шарнира перпендикулярно оси шарнира и плоскости опирания.

5. Жесткая плоская заделка: A В жесткой плоской заделке возникает три реактивных усилия: две составляющие реактивные силы Rx и Ry, а также реактивный момент (пара сил) MA. 6. Неподвижный сферический шарнир: Реакция неподвижного сферического шарнира проходит через центр шарнира и имеет произвольное направление в пространстве. Момент силы относительно точки Реакцию неподвижного сферического шарнира можно разложить на три составляющие, например, Rx, Ry, Rz, параллельные координатным осям.

Общее правило для связей любого вида: Если связь препятствует одному или нескольким перемещениям (максимальное число перемещений – три поступательных и три вращательных), то по направлению именно этих и только этих перемещений возникают соответствующие реакции (силы и моменты).

1. 4 Система сходящихся сил Силы называют сходящимися, если их линии действия пересекаются в одной точке Теорема: Система сходящихся сил (Fn) приводится к одной равнодействующей силе R. Для равновесия тела, находящегося под действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы их равнодействующая равнялась нулю. Теорема о трёх силах. Если твёрдое тело находится в равновесии под действием трёх непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке Пример

1. 5 Пара сил и момент сил относительно точки • Пара сил – это две силы, равные по абсолютному значению, противоположные по направлению и имеющие разные линии действия. • Пара сил не имеет равнодействующей, создаёт вращающий момент • Момент пары равен произведению одной из её сил на плечо пары. M=F h, [Н/м] • Плечо пары – кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары • Момент пары будем считать положительным, если пара, в плоскости ее действия, стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным, если, по ходу.

• На плоскости пару сил изображают в любом месте твердого тела, задавая величину и направление вращающего действия (см. на рисунке изображение пар сил M 1 и M 2 ).

• Моментом силы относительно любой точки О называется произведение модуля силы на плечо, взятое со знаком плюс или минус. M 0(F)=±F h • Плечо - кратчайшее расстояние от точки поворота О до линии действия силы. Если линия действия силы пересекает точку О, то ее момент относительно этой точки равен нулю, так как h=0.

Теорема Вариньона Момент равнодействующей силы относительно точки О равен алгебраической сумме моментов составляющих ее сил относительно той же точки О.

1. 6 Две основные задачи статики 1) Приведение сложной системы сил к простейшему виду 2) Установление условий равновесия тела План решения задач по статике 1. Выбрать объект, равновесие которого необходимо рассмотреть 2. Выбрать систему координат 3. Изобразить все активные силы и моменты, приложенные к телу. 4. Мысленно отбросить связи и заменить их действие реакциями этих связей 5. Для полученной системы сил записать условие её уравновешенности 6. Решить систему уравнений , определив искомые неизвестные Связи (повторение)

1. 7 Теорема Пуансо: Силу можно перенести параллельно линии ее действия, при этом нужно добавить пару сил с моментом, равным произведению модуля силы на расстояние, на которое перенесена сила.

• Следствие: любую плоскую систему сил можно представить как сходящуюся систему сил и сумму моментов пар сил. • Действие сходящейся системы сил заменяют действием суммарной силы, действие моментов – суммарным моментом. Суммарный вектор называют главным вектором системы сил, суммарный момент – главным моментом системы сил. Точка приведения

1. 8 Плоская произвольная система сил - система сил, как угодно расположенных, в одной плоскости • Для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно любого центра О были равны нулю, то есть чтобы выполнялись условия Отсюда вытекают три аналитических условия (уравнения) равновесия плоской произвольной системы сил, которые можно записать в трех различных формах.

• Первая (основная) форма условий равновесия: Для равновесия плоской произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на каждую из координатных осей и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки О, лежащей в плоскости действия сил, были равны нулю, то есть Вторая форма условий равновесия: Прямая АВ не должна быть перпендикулярна оси. Третья форма условий равновесия: Точки А, В, С не должны лежать на одной прямой.

1. 9 Силу распределенную вдоль отрезка прямой АВ в статике можно заменить равнодействующей сосредоточенной силой Примеры: 1. Сила тяжести, равномерно действующая на однородную балку Балка – прямой брус, а) закреплённый на опорах. b) 2. Сила распределенная вдоль отрезка прямой по линейному закону (сила давления воды на стенку).

1. 10 Балочные системы • Балка — конструктивная деталь в виде прямого бруса, закрепленная на опорах и изгибаемая приложенными к ней силами. (Вторая форма уравнений равновесия) • Шарнирно-подвижная опора допускает поворот вокруг шарнира и перемещение вдоль опорной поверхности. Реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности. • Шарнирно-неподвижная опора допускает поворот вокруг шарнира и может быть заменена двумя составляющими силы вдоль осей координат. • Жесткая заделка (защемление) – не допускает перемещений и поворотов. Заделку заменяют двумя составляющими силы RAx и RAy и парой с моментом MR. (ПЕРВАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ)

1. 11 Пространственная система сил В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно перпендикулярные оси координат. Момент силы относительно оси равен моменту проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересече ния оси с лоскостью. п МОО (F) = пр F а , где а — расстояние от оси до проекции F; пр F — проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси 00. пр F = F cos a; MОO (F) = F cos α · a

Момент относительно точки Момент силы относительно оси

1. 12 Сила тяжести •

Методы вычисления координат центра тяжести • Метод симметрии – центр тяжести симметричных фигур находится на оси (в плоскости) симметрии. • Метод разделения фигур сложной формы на несколько простых частей (с вычитанием пустот), положение центров тяжести которых известно • Вычисление интегралов • Пример

Центр тяжести стандартных фигур • Центр тяжести симметричной фигуры находится на оси симметрии. • Центр тяжести стержня находится на середине высоты. • Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по известным формулам

Ферменные конструкции Центры тяжести (и другие геометрические характеристики) стандартных прокатных профилей приводятся в справочниках Фе рма (фр. ferme, от лат. firmus прочный), в строительной механике стержневая система, остающаяся геометрически неизменяемой после замены её жёстких узлов шарнирными. В элементах фермы, при отсутствии расцентровки стержней и внеузловой нагрузки, возникают только усилия растяжения-сжатия. Фермы образуются из прямолинейных стержней, соединенных в узлах. [1] Ферма состоит из элементов: пояс, стойка, раскос, шпренгель (опорный раскос).

1. 13 Трение • Процесс, возникающий при соприкосновении тел. • Силы трения – реактивные силы, препятствующие движению одного тела по поверхности другого • В зависимости от характера движения различают трение скольжения и трение качения • Пример 1. Трение скольжения • Пример 2. Трение качения • Трения покоя (для того чтобы сдвинуть с места любое тело, необходимо приложить какую либо силу)