Механика Физические величины Аддитивные m масса

Механика

Физические величины • Аддитивные m, масса e, заряд V, объем А, работа Е, энергия Неаддитивные T, температура Твердость материалов

Векторы •

Произведение векторов • •

Геометрическое значение производной Рассмотрим график функции y=f(x). Возьмем точку M (x, y) и близкую к ней точку N (x+Δx, y+Δy). Следовательно, производная fˈ(x) равна тангенсу угла α, образованного касательной к кривой в точке M (x, y) с положительным направлением оси OX, т. е. равна угловому коэффициенту этой касательной.

Физический смысл производной Рассмотрим движущуюся по направленной прямой линии точку. Путь, пройденный точкой, есть функция времени s=f(t) Всякому определенному моменту времени t соответствует определенное значение s. Пусть моменту времени t соответствует определенное значение s, тогда моменту времени t+Δt соответствует значение s+Δs.

Производная • Производная вектора •

Производная произведения функций •

Неопределённый интеграл Определённый интеграл В интервале [a, b] определена непрерывная функция f(x). Разобьем интервал на n частичных интервалов точками xi так, что xi< xi+1, x 0=a, xn=b, и выберем произвольные значения ξi из каждого интервала. Рассмотрим сумму произведений значений функции f(ξi) в точке ξi (i+1)-го интервала на длину этого интервала. Определенным интегралом называется предел, к которому стремится n-я интегральная сумма при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала

Механическое движение Система отсчета – это совокупность системы координат, связанной с телом отсчета, и системы отсчета времени. Материальная точка – тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь: - когда размеры тела очень малы и несущественны для данной задачи, - когда движение тела является поступательным Виды движения твердого тела: - поступательное, вращательное, плоское, вокруг неподвижной точки, - свободное Поступательное движение – движение, при котором любая прямая, связанная с телом, остается параллельной самой себе

Скорость •

Вычисление пройденного пути 2 1 Путь – расстояние между точками 1 и 2, отсчитанное вдоль траектории Перемещение – прямолинейный отрезок, проведенный из точки 1 в точку 2.

Ускорение

Ускорение при криволинейном движении

Кинематика вращательного движения Правило правого винта

Движение тела, брошенного под углом к горизонту или брошенного горизонтально с некоторой высоты

Законы Ньютона 1. Всякое тело находится в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения, пока на него не действуют силы или равнодействующая сил, действующих на тело, равна нулю. 2. Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует. (Скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе). 3. Силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению.

Первый закон Ньютона Всякое тело находится в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения, пока на него не действуют силы или равнодействующая сил, действующих на тело, равна нулю. Иначе, скорость тела остается постоянной, пока воздействие других тел на это тело не вызовет ее изменения. Первый закон Ньютона выполняется в инерциальных системах отсчета. Существуют такие системы отсчета, в которых тело движется прямолинейно и равномерно, если оно не подвержено действию других тел. Системы отсчета, движущиеся относительно инерциальных систем с ускорением, называются неинерциальными.

Второй закон Ньютона

Третий закон Ньютона Выполняется в случае контактных взаимодействий, а также при взаимодействии находящийся на расстоянии друг от друга покоящихся тел.

Принцип относительности Галилея К и К’ – инерциальные системы отсчета. Система К’ двигается прямолинейно и равномерно со скоростью v 0 относительно системы К. Связь между координатами точки P (х, y, z) в системе К и ее координатами x’, y’, z’ в системе координат К’

Силы

Законы сохранения Система – совокупность тел, выбранных для рассмотрения. Внутренние силы – силы, с которыми остальные тела системы взаимодействуют с данным телом. Внешние силы – силы, обусловленные действием на тело не принадлежащих системе тел. Система тел, взаимодействующих только между собой и не взаимодействующих с другими телам, называется замкнутой. Для замкнутых систем остаются неизменными: энергия, импульс, момент импульса, откуда следуют три закона сохранения.

Кинетическая энергия Уравнение движения частицы F – результирующая всех действующих на частицу сил Умножим правую и левую части уравнения на перемещение частицы ds=vdt Так как система замкнута, то F=0 Кинетическая энергия

Работа, совершаемая силой F на пути ds Работа характеризует изменение энергии, обусловленное действием силы на движущуюся частицу Величина A есть работа силы F на пути 1 -2 Работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы

Работа, совершаемая силой F на пути ds где α – угол между направлением силы и перемещения точки приложения силы. Работа, совершаемая за единицу времени, называется мощностью Единица работы – джоуль – это работа, совершаемой силой в 1 Н на пути 1 м. Единица мощности – ватт – мощность, при которой за единицу времени совершается работа, равная единице (1 Вт=1 Дж/с)

Консервативные силы Полем сил называют область пространства, в каждой точке которого на помещенную туда частицу действует сила, закономерно меняющаяся от точки к точке. Поле сил, величина которой зависит только от расстояния до неподвижного центра F=F(r), называется центральным. Если во всех точках поля силы, действующие на частицу, одинаковы по величине и направлению, поле называется однородным. Поле, изменяющееся со временем, называется нестационарным. Поле, остающееся постоянным во времени, называется стационарным. Если для стационарного поля работа сил поля зависит только от начального и конечного положения частицы, но не зависит от пути, такое поле называется консервативным. Для консервативных сил работа на замкнутом участке пути равна нулю.

Консервативные силы : 1). Силы, для которых работа на замкнутом участке пути равна нулю. 2). Силы, для которых работа не зависит от пути, по которому частица переходит из одного положения в другое. Сила тяжести является консервативной.

Потенциальная энергия Поле называется потенциальным, если его можно описать с помощью функции П(x, y, z, t), называемой потенциалом, градиент которой определяет силу поля в каждой его точке Градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой скалярной величины П, значение которой меняется от точки к точке. Если потенциал явно не зависит от времени, т. е. П=П(x, y, z), то потенциальное поле оказывается стационарным, а силы поля – консервативными. П(x, y, z)= – U(x, y, z)

Закон сохранения механической энергии Полная механическая энергия системы невзаимодействующих тел, на которые действуют лишь консервативные силы, остается постоянной В поле сил тяжести потенциальная энергия имеет вид Закон сохранения механической энергии Полная механическая энергия системы тел, на которые действуют лишь консервативные силы, остается постоянной

Закон сохранения импульса Импульс системы Для полного импульса системы При отсутствии внешних сил dp/dt = 0 Закон сохранения импульса Импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным

Центр масс (центр инерции) системы – точка, положение которой задается радиус-вектором, определяемым формулой Скорость центра масс Импульс системы частиц Для замкнутой системы т. е. центр замкнутой системы или движется прямолинейно и равномерно или покоится

Соударение двух тел Абсолютно упругий удар – удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие, немеханические виды энергии. Уравнения сохранения импульса и энергии Скорости шаров после удара т. е. шары при ударе Если массы шаров равны, то обмениваются скоростями.

Закон сохранения момента импульса Моментом импульса частицы относительно точки О называется псевдовектор Моментом импульса системы относительно точки О называется векторная сумма моментов импульсов частиц, входящих в систему Модуль вектора момента импульса частицы относительно точки О Длина перпендикуляра l, опущенного из точки О на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы, называется плечом импульса относительно точки О.

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы материальных точек остается постоянным. Моментом сил относительно точки называется псевдовектор Модуль момента сил Проекция вектора N на некоторую ось z, проходящую через точку O, называется моментом силы относительно этой оси

Две равные по величине противоположно направленные силы, не действующие по одной прямой, называют парой сил. Плечо пары – расстояние l между прямыми, вдоль которых действуют силы. Суммарный момент пары сил

Рассмотрим движение точки тела вокруг точки O на оси вращения Тангенциальная составляющая скорости Момент импульса системы Величина I, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно данной оси Проекция момента импульса системы

Момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр Теорема Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции Ic относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями Момент инерции диска относительно оси ОˈОˈ равен

Момент инерции тонкого стержня произвольного сечения относительно оси, проходящей через его середину (l» b) Момент инерции диска или цилиндра при любом отношении R к l относительно оси, совпадающей с геометрической осью цилиндра Момент инерции тонкого диска (толщина диска много меньше радиуса диска b «R) Момент инерции шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр

Уравнение динамики вращающегося тела где Iz – момент инерции относительно оси z, β – уголовое ускорение тела, Nz – результирующий момент всех сил, действующих на тело Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Кинетическая энергия тела при плоском движении складывается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс