Механические колебания
n В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими) процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными.
Механические колебания Свободные Вынужденные
Гармонические колебания
n ω0 – собственная частота колебательной системы
Энергия колебаний n В начальный момент полная механическая энергия системы: Еполная=Ек+Еп Ек=0, Еп=max
Математический маятник n На грузик действует результирующая сила: n Вращающий момент этой силы:
n Если углы малы, то решения ДУ имеют вид: n Период колебаний маятника:
Физический маятник n Физический маятник — твердое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр масс этого тела.
Затухающие колебания n n В реальных условиях любая колебательная система находится под воздействием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения атомов и молекул, и колебания становятся затухающими
n Уравнение движения будет иметь вид: n Скорость затухания колебаний зависит от величины сил трения. Интервал времени τ, в течении которого амплитуда колебаний уменьшается в e ≈ 2, 7 раз, называется временем затухания. n
n Декремент затухания n Логарифмический декремент затухания
n Важной характеристикой колебательной системы, совершающей свободные затухающие колебания, является добротность Q. Этот параметр определяется как число N полных колебаний, совершаемых системой за время затухания τ, умноженное на π: n Чем медленнее происходит затухание свободных колебаний, тем выше добротность Q колебательной системы. Понятие добротности имеет глубокий энергетический смысл. Можно определить добротность Q колебательной системы следующим энергетическим соотношением: n
Вынужденные колебания n Колебания, совершающиеся под воздействием внешней периодической силы, называются вынужденными. n Внешняя сила совершает положительную работу и обеспечивает приток энергии к колебательной системе. Она не дает колебаниям затухать, несмотря на действие сил трения. n После начала воздействия внешней силы на колебательную систему необходимо некоторое время Δt для установления вынужденных колебаний. Время установления по порядку величины равно времени затухания τ свободных колебаний в колебательной системе.
n В данном случае уравнение движения имеет вид n Установившиеся вынужденные колебания всегда происходят на частоте ω внешней силы. n Закон изменения координаты колеблющегося тела имеет вид
n Если частота ω внешней силы приближается к собственной частоте ω0, возникает резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. Это явление называется резонансом. n Зависимость амплитуды xm вынужденных колебаний от частоты ω вынуждающей силы называется резонансной характеристикой или резонансной кривой.
Резонансные кривые при различных уровнях затухания: 1 – колебательная система без трения; при резонансе амплитуда Xm вынужденных колебаний неограниченно возрастает; 2, 3, 4 – реальные резонансные кривые для колебательных систем с различной добротностью: Q 2 > Q 3 > Q 4. На низких частотах (ω << ω0) xm ≈ ym. На высоких частотах (ω >> ω0) xm → 0.
n Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. n Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. n Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями.
n Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом
Биения n Биения - явление, возникающее при наложении двух гармонических колебаний близкой частоты и выражающееся в периодическом уменьшении и увеличении амплитуды суммарного сигнала. при этом Δω «ω.
Сложение взаимноперпендикулярных колебаний n Пусть материальная точка участвует в колебаниях вдоль осей x и y:
n Пусть ωх=ωу=ω, тогда при Δφ=0: n при Δφ = π/2
n При 0<Δφ<π/2 n Если частоты двух взаимно-перпендикулярных колебаний не совпадают, но являются кратными, то траектории движения представляют собой замкнутые кривые, называемые фигурами Лиссажу. ωу=2ωх ωу=3ωх n Отношение частот колебаний равно отношению чисел точек касания фигуры Лиссажу к сторонам прямоугольника, в который она вписана: mωу=nωx
МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ
Уравнение одномерной волны n Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.
Механические волны Продольные Поперечные
n Продольные механические волны могут распространяться в любых средах – твердых, жидких и газообразных. n Поперечные волны не могут существовать в жидкой или газообразной средах.
n Смещение y(x, t) частиц среды из положения равновесия в синусоидальной волне зависит от координаты x на оси OX, вдоль которой распространяется волна, и от времени t по закону: где k=2π/λ – волновой вектор
Изображены «моментальные фотографии» поперечной волны в два момента времени: t и t + Δt. За время Δt волна переместилась вдоль оси OX на расстояние VΔt. Волны, все точки которых перемещаются с одной и той же скоростью, принято называть бегущими.
n Скорость смещения частиц в волне: n Уравнение волны в дифференциальной форме:
Отражение одномерной волны. Стоячие волны. n n Если волны, бегущие по струне во встречных направлениях, имеют синусоидальную форму, то при определенных условиях они могут образовать стоячую волну. По струне одновременно распространяются в противоположных направлениях две волны одной и той же частоты:
n В стоячей волне существуют неподвижные точки, которые называются узлами. Посередине между узлами находятся точки, которые колеблются с максимальной амплитудой. Эти точки называются пучностями. n Ближайшее расстояние между такими точками:
n Наименьшая частота ν 1 называется основной частотой, все остальные (ν 2, ν 3, …) называются гармониками.
Звуковые колебания и волны n Звуковыми волнами или просто звуком принято называть волны, воспринимаемые человеческим ухом. n Диапазон звуковых частот лежит в пределах приблизительно от 20 Гц до 20 к. Гц. n Волны с частотой менее 20 Гц называются инфразвуком, а с частотой более 20 к. Гц – ультразвуком. n Волны звукового диапазона могут распространяться не только в газе, но и в жидкости (продольные волны) и в твердом теле (продольные и поперечные волны). n Изучением звуковых явлений занимается раздел физики, который называют акустикой.
При восприятии различных звуков человеческое ухо оценивает их прежде всего по уровню громкости, зависящей от потока энергии или интенсивности звуковой волны. n Воздействие звуковой волны на барабанную перепонку зависит от звукового давления, т. е. амплитуды p 0 колебаний давления в волне. n Порог слышимости соответствует значению p 0 порядка 10– 10 атм, т. е. 10– 5 Па. При таком слабом звуке молекулы воздуха колеблются в звуковой волне с амплитудой всего лишь 10– 7 см! n Болевой порог соответствует значению p 0 порядка 10– 4 атм или 10 Па. При таком звуке молекулы воздуха колеблются в звуковой волне с амплитудой 10– 4 см (0, 01 мм)! n Интенсивность звуковой волны измеряют в Вт/м 2. n
n n n Александр Грехэм Белл обнаружил, что порог слышимости ребенка составляет около 10 -12 Вт/м 2, а уровень, при котором возникают болевые ощущения - около 10 Вт/м 2. Таким образом, диапазон громкости, нормально воспринимаемой человеком, составляет 13 порядков! Исходя из полученных значений, Белл определил шкалу звуковой мощности от 0 до 13. Единицы громкости этой шкалы называются белами. Поскольку ощущение громкости базируется на логарифмической шкале уровня мощности, то преобразование между мощностью и громкостью по шкале Белла выглядит следующим образом: громкость (в белах) = log(P 1/P 0), где P 0 - порог слышимости звука.
Интенсивность типичных шумов Примерный уровень звукового давления, д. Б Источник звука и расстояние до него 80 Крик, мотоцикл с глушителем 80 Звон будильника, 1 м 35 Комната в тихой квартире 25 Сельская местность, расположенная вдали от дорог 70 В салоне небольшого автомобиля, движущегося со скоростью 50 км/ч; квартирный пылесос, 3 м 65 Обычный разговор, 1 м 140 Взлет реактивного самолета, 25 м 45 Обычный разговор 15 шелест листвы
n n n Еще одной характеристикой звуковых волн, определяющей их слуховое восприятие, является высота звука. Колебания в гармонической звуковой волне воспринимаются человеческим ухом как музыкальный тон. Колебания высокой частоты воспринимаются как звуки высокого тона, колебания низкой частоты – как звуки низкого тона. Звуки, издаваемые музыкальными инструментами, а также звуки человеческого голоса могут сильно различаться по высоте тона и по диапазону частот. Так, например, диапазон наиболее низкого мужского голоса – баса – простирается приблизительно от 80 до 400 Гц, а диапазон высокого женского голоса – сопрано – от 250 до 1050 Гц.
n Диапазон звуковых колебаний, соответствующий изменению частоты колебаний в два раза, называется октавой. n Голос скрипки, например, перекрывает приблизительно три с половиной октавы (196– 2340 Гц), а звуки пианино – семь с лишним октав (27, 5– 4186 Гц). n Когда говорят о частоте звука, издаваемого струнами любого струнного музыкального инструмента, то имеется в виду частота ν 1 основного тона. n Но в колебаниях струн могут присутствовать и гармоники, частоты νn которых удовлетворяют соотношению: νn = nν 1, (n = 1, 2, 3. . . ).
n n n Поэтому звучащая струна может излучать целый спектр волн с кратными частотами. Амплитуды An этих волн зависят от способа возбуждения струны (смычок, молоточек); они определяют музыкальную окраску звука или тембр. Аналогично обстоит дело с духовыми музыкальными инструментами. Трубы духовых инструментов являются акустическими резонаторами. При определенных условиях в воздухе внутри труб возникают стоячие звуковые волны.
Стоячие волны в органной трубе, закрытой с одного конца и открытой с другого. Стрелками показаны направления движения частиц воздуха в течение одного полупериода колебаний.
Скорость звука n Скорость звука в газе: где γ – коэффициент Пуассона, γ=cp/cv R – газовая постоянная μ – молярная масса n В воздухе: V≈330 м/с
n Скорость звука в твердых телах: где Е – модуль Юнга n В дереве: V≈4 км/с n В металле: V≈5 км/с n В воде: V≈1, 4 км/с n При наличие препятствий звук отражается от них, возникает эхо. n При τ < 0, 1 отраженный звук сливается с произносимым, наблюдается явление – реверберации.
Эффект Доплера n n Если источник звука и наблюдатель движутся друг относительно друга, частота звука, воспринимаемого наблюдателем, не совпадает с частотой источника звука. Это явление носит название эффекта Доплера (1842 г. ). Звуковые волны распространяются в воздухе (или другой однородной среде) с постоянной скоростью, которая зависит только от свойств среды.
Эффект Доплера. Случай движущегося источника.
n Источник приближается к наблюдателю: n Источник удаляется от наблюдателя: n При приближении поезда звук гудка выше, а сразу после того, как гудящий локомотив минует нас и начнет удаляться, звук становится ниже тоном.
Молекулярнокинетическая теория вещества и начала термодинамики
n n 1. 2. 3. Молекулярная физика и термодинамика - разделы физики, изучающие макроскопические процессы в телах, состоящих из огромного числа частиц - атомов и молекул. В основе молекулярно-кинетической теории лежат три основных положения: Все вещества – жидкие, твердые и газообразные – образованы из мельчайших частиц – молекул, которые сами состоят из атомов. Молекулы химического вещества могут быть простыми и сложными и состоять из одного или нескольких атомов. Молекулы и атомы представляют собой электрически нейтральные частицы. Атомы и молекулы находятся в непрерывном хаотическом движении. Частицы взаимодействуют друг с другом силами, имеющими электрическую природу. Гравитационное взаимодействие между частицами пренебрежимо мало.
Размеры и масса молекул n n n Для построения молекулярно-кинетической теории надо знать размеры атомов. Оценки показывают, что размеры атомов порядка нескольких ангстрем. Ангстрем - это внесистемная единица длины, 1Ǻ=10 -10 м. Один моль - это количество вещества, в котором содержится столько же молекул (или атомов), сколько атомов содержится в углероде массой 0, 012 кг. Отсюда следует: в одном моле любого вещества содержится одинаковое число атомов или молекул, это число называется числом Авогадро:
n Так как массы атомов очень малы, удобно использовать в расчетах не массы, измеренные в килограммах, а относительные массы. n Относительной молекулярной (или относительной атомной) массой называют отношение массы молекулы (или атома) вещества к 1/12 массы атома углерода. Относительные атомные массы указаны в таблице Менделеева. n Наряду с относительной молекулярной массой в физике и химии используется понятие молярная масса. Молярная масса вычисляется как масса одного моля вещества, выраженная в килограммах (в системе СИ).
Основное уравнение МКТ газов n n Идеальным газом называется газ, в котором собственными размерами молекул и взаимодействием между молекулами можно пренебречь. Пусть скорость молекулы: V, а импульс p=m. V. После удара молекула имеет импульс: p= - m. V. Изменение импульса молекулы: z l n Подставим во 2 закон Ньютона: х у
n n n Время удара молекулы о стенку: δt Время пролета молекулы: Средняя сила давления на стенку будет во столько раз меньше, во сколько δt меньше, чем Δt:
n Необходимо учесть, что молекул много и они движутся с разными скоростями: n Средняя квадратичная скорость: n Средняя арифметическая скорость:
n n n Необходимо учесть, что в единице объема n 0 молекул, в сосуде объемом l 3, будет n 0 l 3 молекул. Вдоль оси ОХ движется 1/3 n 0 l 3 Давление – это сила, действующая на единицу площади стенки: где Ек – средняя кинетическая энергия молекул
Следствия из основного уравнения МКТ. Температура n Основное уравнение МКТ можно записать в виде: n Помножим обе части на Vμ n Средняя кинетическая энергия молекул зависит от степени нагретости тела.
n Температура с молекулярно-кинетической точки зрения — физическая величина, характеризующая интенсивность хаотического, теплового движения всей совокупности частиц системы и пропорциональная средней кинетической энергии поступательного движения одной частицы. n Закон Менделеева – Клайперона для одного моля газа:
n Для измерения температуры выбирается некоторый термодинамический параметр термометрического вещества. Изменение этого параметра однозначно связывается с изменением температуры. n На практике для измерения температуры используют: - жидкостные и механические термометры, - термопары, - термосопротивления, - пирометр.
Сравнение температурных шкал Описание Кельвин Цельсий Фаренгейт Реомюр Абсолютный ноль 0 - 273, 15 - 459, 67 - 218, 52 Температура таяния смеси Фаренгейта (соль и лед в равных долях) 255, 37 - 17, 78 0 - 14, 22 Температура замерзания воды 273, 15 0 32 0 Температура кипения воды 373, 15 100 212 80 Средняя температура человека 310, 0 36, 6 98, 2 29, 6
T K = t °C + 273. 15 n T K = (t °F - 32)/1. 8 n t °R = t°C· 4/5 n
n Общий объем для любого количества газа можно найти, умножив Vμ на число молей в данном газе:
Распределение молекул по скоростям n n Функция распределения – плотность вероятности распределения частиц макроскопической системы по координатам или импульсам. Функция распределения является основной характеристикой самых разнообразных (не только физических) систем, которым свойственно случайное поведение, т. е. случайное изменение состояния системы и, соответственно, ее параметров.
Рассмотрим в пространстве скоростей шаровой слой толщины d. V. n Число молекул в нем равно d. NV. n С другой стороны, это число можно найти как произведение плотности молекул в пространстве скоростей n. V на весь объем слоя, равный 4 V 2 d. V, т. е. : Vz n Nf(V) – плотность молекул. n Разделим на N, получим вероятность того что скорость молекулы лежит в пределах от V до V+d. V: 0 Vx d. V Vy
n Функция распределения имеет вид: n Вид функции теоретически был установлен Максвеллом в 1860 г: n Желательно запомнить ее структуру: ~
n Вид распределения молекул газа по скоростям для каждого газа зависит от рода газа (m) и от параметра состояния (Т). n Давление P и объём газа V на распределение молекул не влияют.
n Величину скорости, на которую приходится максимум зависимости f(V) , называют наиболее вероятной скоростью. n Найдем эту скорость из условия равенства нулю производной: n Наиболее вероятная скорость одной молекулы n Для одного моля газа:
n Среднюю квадратичную скорость найдем, используя соотношение: n для одной молекулы n Для одного моля газа
n Средняя арифметическая скорость: где число молекул со скоростью от V до V+d. V. n Для одной молекулы n Для одного моля газа
n Соотношение между средней, наиболее вероятной и средне-квадратичной скоростями для идеального газа
Барометрическая формула n Известно, что атмосферное давление убывает с высотой. n Плотность идеального газа: р+dp р h+dh h
n Для изотермической атмосферы: барометрическая формула
Распределение Больцмана n Заменим в барометрической формуле: р=nk. T, p 0=n 0 k. T г де n – плотность молекул в том месте пространства, где потенциальная энергия имеет значение Еп, n 0 – плотность молекул в том пространства, где потенциальная энергия молекулы равна нулю. n Закон Больцмана дает распределение частиц по значениям потенциальной энергии.
Зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.
Закон Дальтона для смеси газов n На практике чаще встречаются не чистые газы, а их смеси. Компоненты смеси занимают один и тот же объем и имеют одинаковую температуру. Концентрация смеси равна сумме концентраций компонентов смеси, т. е. n Парциальным давлением называется давление, которое производит на стенки сосуда данная компонента смеси. Тогда давление смеси равно
Элементы термодинамики n Термодинамика – учение о превращении одного вида энергии в другой, о передаче энергии от тела к телу. Энергия Потенциальная Кинетическая Внутренняя
Начала термодинамики n Тела и системы могут обмениваться энергией Обмен энергией Передача тепла Работа
n Нулевое начало термодинамики (общее начало термодинамики) — физический принцип, утверждающий, что вне зависимости от начального состояния изолированной системы в конце концов в ней установится термодинамическое равновесие, а также что все части системы при достижении термодинамического равновесия будут иметь одинаковую температуру.
Первое начало термодинамики: n Количество теплоты, полученное системой, идет на изменение ее внутренней энергии и совершение работы над внешними телами. n В случае изолированной системы:
n . . демонстрации по физикепервое начало термодинамики. avi
n n Второе начало термодинамики — физический принцип, накладывающий ограничение на направление процессов передачи тепла между телами. Постулат Клаузиуса: «Невозможен процесс, единственным результатом которого являлась бы передача тепла от более холодного тела к более горячему» (такой процесс называется процессом Клаузиуса).
Работа расширения идеального газа при различных процессах n Газ, находясь в цилиндре под поршнем, может совершать работу, если к нему подводить тепло: Q dx
Работа газа при расширении
Изохорный процесс n Газ работу не совершает n Семейство изохор на плоскости (p, T). V 3 > V 2 > V 1.
Скачать презентацию Механические колебания n В технике и окружающем
лекция 3мех.ppt