Механические колебания лекция 5 Введение Два

Механические колебания лекция 5

§§ Введение Два признака колебательной системы: 1) наличие устойчивого состояния (упругость, возвращающая сила, жесткость системы) 2) «инертность» системы 02

Колебаниями – называются движения или процессы, характеризующиеся определенной повторяемостью во времени физических величин, описывающих процесс – смещение – давление – эл. ток – напряженность Колебания – движения «в ту и другую сторону» 03

§§ Свободные колебания – зависимость внешней (вынуждающей) силы от времени – зависимость упругой (возвращающей) силы – смещение точки из положения равновесия – диссипативные силы в системе Уравнение динамики для точки 04

Свободными называют колебания за счет первоначально сообщенной энергии, при отсутствии внешних воздействий на систему в последующие моменты времени При – колебания вынужденные Если затухание отсутствует , то свободные колебания называют собственными, иначе – затухающими – уравнение собственных колебаний точки 05

Рассмотрим типичную зависимость 0 А – область применимости закона Гука 0 B – область упругой деформации Далее происходит пластическая деформация и разрушение. 06

и При малых отклонениях колебания происходят по закону sin или cos, т. е. являются гармоническими При значительных отклонениях колебания будут ангармоническими. Уравнение – называется дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний. 07

Его решение: содержит две постоянные, которые определяются дополнительными условиями. – амплитуда колебаний, – фаза колебаний, – начальная фаза, 08

– циклическая частота собственных колебаний, – частота колебаний, – период колебаний 09

§§ Полная энергия Координата: Скорость: Ускорение: 10

Кинетическая энергия: Потенциальная энергия: нулевое – состояние равновесия Возвращающая сила: 11

Сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной сами слагаемые изменяются с удвоенной частотой 12

§§ Физический маятник Это а. т. т. , совершающее точка подвеса т. О – под действием силы тяжести колебания вокруг т. С – центр масс неподвижной оси, не проходящей через центр масс 13

Вычислим производную по времени: Замечание: с погрешностью в 1% 14

Для малых углов отклонения: – частота собственных колебаний физического маятника Если тело представляет собой м. т. , то частота (малых) собственных колебаний математического маятника 15

Период колебаний: Он не зависит от амплитуды только для очень малых углов отклонения 16

§§ Переворотный маятник Приведенная длина – длина нити математического маятника, который качается с частотой, равной частоте колебаний физического маятника: 17

Рассмотрим физический маятник Пусть тогда частоты колебаний относительно O и O’ будут одинаковы: т. О’ – называется центром качания Доказательство: 18

По теореме Штейнера: 19

Зная расстояние и период можно определить ускорение свободного падения. Измерение длины и времени не представляет сложности. На этом основан один из прецизионных методов измерения ускорения свободного падения. 20

Лабораторная работа № 7 21

§§ Сложение колебаний Пусть м. т. участвует в двух колебательных движениях: их можно представить как проекции векторов: тогда 22

Найдем результирующее колебание с помощью векторной диаграммы т. е. результирующее колебание – гармоническое с амплитудой: 23

Колебания близких частот: т. к. то 24

Колебания перпендикулярных направлений 25

§§ Затухающие колебания Причины уменьшения энергии: 1) излучение – отдача энергии в форме волн (полезный расход) 2) трение (сопротивление) – нагрев окружающей среды (потери) 26

Рассмотрим движение груза в жидкости r – коэффициент сопротивления в другом виде: его решение: 27

– начальная амплитуда, – коэффициент затухания – частота собственных колебаний – частота затухающих колебаний – период колебаний 28

Для – процесс периодический Для – процесс апериодический 29

логарифмический декремент затухания: Вычислим N – число колебаний, за которое амплитуда уменьшится в e = 2, 71828… раз 30

Для характеристики свойств системы (и отдельных ее элементов) также пользуются понятием добротности: запас энергии в системе потеря энергии за время 31

Поскольку то где N – число колебаний, совершаемых системой прежде, чем амплитуда уменьшится в e раз. 32

§§ Вынужденные колебания Вынужденными называют колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы) 33

Подвесной мост на реке Tacoma (Tacoma Narrows Bridge, Wash. , Nov 7, 1940) 34

Пусть вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону: это д. у. вынужденных гармонических колебаний Решение ищем в виде: 35

Подставим в исходное уравнение: Нарисуем векторную диаграмму, на которой три вектора из левой части, складываясь, дают f 0 из правой. 36

Проекции на оси: выводы: 1) фаза колебаний отстает от фазы вынуждающей силы 2) установившиеся колебания происходят с частотой вынуждающей силы 37

3) Амплитуда колебаний зависит от частоты и носит резонансный характер 4) максимум амплитуды соответствует резонансной частоте 38

Значение амплитуды при этом Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте называют резонансом. У сложных колебательных систем может быть много резонансных частот 39

Примеры систем: 1) качели 2) ротор турбины 3) элементы оперения 4) атомы, молекулы, кристаллы 5) излучатели, антенны и усилители 6) детекторы сигналов и т. д. 40

§§ Дополнительные сведения Автоколебания – когда в системе самовозбуждаются колебания (даже если во внешнем воздействии отсутствуют колеб. составляющая) и при отсутствии колебаний, отсутствует и возбуждение. Примеры: часы, электрический звонок (–U) колебания скрипичной струны духовые инструменты, скрип двери 41

Шимми – колебания шасси при посадке 42

Параметрические колебания – когда за счет внешнего воздействия происходит периодическое изменение какого-либо параметра системы Примеры: Математический маятник переменной длины Маятник с переменным моментом инерции 43

§§ Волновой процесс Поверхность, разделяющая частицы среды, участвующие и не участвующие в колебательном движении, называется волновым фронтом Точки, колеблющиеся в одинаковых фазах, образуют волновые поверхности. 44

Периодический в пространстве и во времени процесс распространения колебаний в сплошной среде называется волновым процессом Частица среды – элементарный объем, содержащий большое количество атомов При распространении волны – частицы колеблются около своих положений равновесия. Основное свойство волн – перенос энергии (импульса) без переноса вещества 45

§§ Уравнение бегущей волны – амплитуда волны – начальная фаза – круговая частота, – период колебаний, – частота, Гц рад/с с – длина волны, – волновое число, м– 1 м 46

Монохроматическая волна – – это строго гармоническая волна с постоянной частотой, амплитудой и фазой. a) продольные волны – частицы среды смещаются вдоль направления распространения волны Такие волны существуют в средах, которые «сопротивляются» сжатию. 47

б) поперечные волны – колебания частиц происходят в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны Такие волны существуют в средах, которые «сопротивляются» изгибу. И для таких волн вводят понятие поляризации, которое характеризует тип и направление колебаний силового вектора или вектора смещения 48

воздух вода лед Al Fe Остальные типы волн (нормальные, поверхностные и др. ) представляют как комбинацию рассмотренных типов. 49

§§ Фазовая скорость Рассмотрим движение плоскости постоянной фазы: посчитаем производную по времени – фазовая скорость волны 50

§§ Групповая скорость Замечание о спектральном разложении 51

Большая часть реальных сигналов представима в виде суммы гармонических функций. Каждая имеет свою амплитуду, частоту и фазу (преобразование Фурье и Лапласа). Рассмотрим распространение импульса Импульс не будет изменять своей формы, если скорости для всех частот одинаковы. Скорость импульса = фазовой скорости 52

Если волны различных частот имеют различную скорость (дисперсия), то импульс изменяет свою форму Для характеристики скорости передачи энергии (информации) волновым пакетом вводят понятие групповой скорости Только гармонический сигнал сохраняет форму при распространении. 53

§§ Интерференция волн Амплитуда результирующего колебания – зависит от разности фаз 54

Там, где – следует ожидать усиления колебаний, а там, где – ослабления Явление взаимного усиления или ослабления волн, возникающее при наложении в пространстве когерентных волн называется интерференцией 55

§§ Дифракция волн дифракция – процесс распространения волн в неоднородной среде. Явления, которые наблюдаются как отклонения от закона прямолинейного распространения носят название явлений дифракции. Задача теории дифракции – при данном расположении источников и препятствий определить поле во всем пространстве 56

Решается задача теории дифракции с помощью а) уравнений Максвелла (оптика) б) с помощью уравнений теории упругости (акустика) Часто пользуются приближенными методами. Например, принципом Гюйгенса–Френеля и представлением о вторичных волнах. 57

§§ Применение Волны применяются 1) для передачи энергии и информации 2) определение физических характеристик сред и излучения 3) точное измерение расстояний и геометрии (интерференция) 4) дефектоскопия и контроль, спектроскопия (дифракция) 58