Механические колебания Физический и математический маятники Колебания

Механические колебания Физический и математический маятники

Колебания физического маятника Физический маятник произвольное массивное тело, имеющее неподвижную ось вращения и совершающее малые колебания вокруг этой оси.

Колебания физического маятника (1) Основной закон динамики вращательного движения : Момент силы тяжести Проекция момента силы тяжести на ось OZ: Уравнение основного закона динамики вращательного движения в проекциях на OZ:

Колебания физического маятника (2) Проекцию углового ускорения можно представить как (векторы углового перемещения и углового ускорения направлены в противоположные стороны) Теперь уравнение движения маятника принимает вид: При малых углах отклонения маятника a можно считать, что sina=a, поэтому

Колебания физического маятника (3) Уравнение аналогично дифференциальному уравнению колебаний груза на пружине, следовательно, его решение можно записать в виде Убедимся, что эта функция является решением дифференциального уравнения, для чего найдем ее вторую производную:

Колебания физического маятника (4) Подстановка функции и ее второй производной в дифференциальное уравнение дает: Гармоническая функция является решением дифференциального уравнения, если Период гармонических колебаний физического маятника

Колебания физического маятника (5) Физический маятник совершает гармонические колебания вблизи положения равновесия. Период таких колебаний равен I - момент инерции маятника, m - масса маятника, r - расстояние от оси вращения до центра масс маятника.

Колебания математического маятника Математическим маятником называется точечное тело, подвешенное на невесомой и нерастяжимой нити и совершающее малые колебания. Очевидно, что математический маятник является частным случаем физического маятника. Момент инерции математического маятника равен где l - длина нити (расстояние от точки подвеса до центра масс).

Колебания математического маятника (2) Так как математический маятник есть частный случай физического, воспользуемся дифференциальным уравнением колебаний физического маятника: Момент инерции математического маятника равен следовательно, Дифференциальное уравнение колебаний принимает вид:

Колебания математического маятника (3) Решением этого уравнения, как было показано ранее, является функция где a - угол отклонения маятника от вертикали, - максимальный угол отклонения нити, - начальная фаза колебаний. Следовательно, математический маятник совершает малые гармонические колебания с циклической частотой и периодом

Колебания математического маятника (4) Формула периода колебаний математического маятника впервые была получена Х. Гюйгенсом и носит его имя. Гюйгенс Христиан (1629 – 1695), нидерландский ученый. Изобрел (1657) маятниковые часы, установил законы колебаний математического и физического маятников. Создал (1678, опубликовал 1690) волновую теорию света, Совместно с Р. Гуком установил постоянные (реперные) точки термометра. Усовершенствовал телескоп. Открыл кольцо у Сатурна и его спутник Титан. Автор одного из первых трудов по теории вероятностей (1657).

Приведенная длина физического маятника Период колебаний математического маятника определяется по формуле Период колебаний физического маятника равен Пусть , тогда откуда Если длина математического маятника то периоды математического и физического маятников совпадают.

Приведенная длина физического маятника (2) Приведенной длиной физического маятника называется длина такого математического маятника, у которого период колебаний равен периоду колебаний данного физического маятника. I - момент инерции физического маятника относительно его оси вращения, m - масса физического маятника, r - расстояние от оси вращения до центра масс физического маятника.

Электромагнитные колебания Незатухающие колебания в колебательном контуре

Физические процессы в колебательном контуре 1. Конденсатор заряжен. Возникает разность потенциалов. Начинает течь ток. 2. Ток разрядки конденсатора нарастает. В катушке возникает ЭДС самоиндукции. Ток можно представить, как разность токов разрядки и индукционного тока. Заряд конденсатора уменьшается.

Физические процессы в колебательном контуре 3. Конденсатор разрядился. В катушке возникает индукционный ток, приводящий к перезарядке конденсатора. 4. Конденсатор начинает заряжаться зарядом противоположного знака. Индукционный ток уменьшается.

Физические процессы в колебательном контуре 5. Конденсатор перезарядился. Процесс начинается в обратном направлении. Последовательность процессов в колебательном контуре за половину периода незатухающих колебаний

Дифференциальное уравнение незатухающих колебаний в колебательном контуре Когда конденсатор заряжен, напряжение на нем можно выразить, используя закон Ома: где ε - ЭДС самоиндукции, возникающая в катушке, i - сила тока, R сопротивление катушки. Как правило, R мало и им можно пренебречь.

Дифференциальное уравнение незатухающих колебаний в колебательном контуре Напряжение на конденсаторе Знак «-» означает, что протекание тока в цепи связано с убыванием заряда конденсатора (по цепи проходит тот заряд, который ушел с обкладок конденсатора)

Уравнение незатухающих электромагнитных колебаний Дифференциальное уравнение можно переписать в виде Или где Полученное уравнение аналогично уравнениям колебаний пружинного маятника, физического маятника и т. д. Его решением тоже должна быть гармоническая функция

Уравнение незатухающих электромагнитных колебаний Заряд конденсатора изменяется по гармоническому закону, q 0 максимальный заряд конденсатора. Ток в цепи Напряжение на конденсаторе

Формула Томсона. Циклическая частота всех этих гармонических колебаний одинакова. Она равна Колебания тока и напряжения отличаются по фазе на

Формула Томсона. Период колебаний (формула Томсона). Джозеф Джон Томсон Уильям Томсон (лорд Кельвин)

Изменение тока и напряжения в процессе незатухающих колебаний в колебательном контуре. Моменты времени t 1, t 2, t 3, t 4 и t 5 на графике соответствуют рисункам 1 -5.

Изменение энергии электрического и магнитного полей в процессе незатухающих колебаний в колебательном контуре. Напряжение на конденсаторе изменяется по закону Потенциальная энергия электрического поля конденсатора

Изменение энергии электрического и магнитного полей в процессе незатухающих колебаний в колебательном контуре. Сила тока в катушке изменяется по закону Потенциальная энергия магнитного поля катушки

Изменение энергии электрического и магнитного полей в процессе незатухающих колебаний в колебательном контуре. Так как

Аналогия между механическими и электромагнитным колебаниями