Метрические задачи К метрическим относятся задачи связанные с

Метрические задачи К метрическим относятся задачи, связанные с определением истинных (натуральных) величин расстояний, углов и плоских фигур на комплексном чертеже. Можно выделить три группы метрических задач. 1. Группа задач, включающих в себя определение расстояний от точки до другой точки; от точки до прямой; от точки до плоскости; от прямой до другой прямой; от плоскости до плоскости. 2. Группа задач, включающая определение углов между пересекающимися или скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями. 3. Группа задач, связанная с определением истинной величины плоской фигуры и части поверхности (развертки).

Приведенные задачи могут быть решены с применением различных способов преобразования чертежа. • • Способ замены плоскостей проекций; Способ плоскопараллельного движения; Способ вращения вокруг проецирующей(перпендикулярной плоскости проекции) прямой; Способ вращения вокруг прямой уровня (параллельной плоскости проекции).

Способ замены плоскостей проекций Суть способа состоит во введении новой плоскости проекций П 4 перпендикулярной одной из исходных плоскостей П 1 либо П 2. Заданные геометрические фигуры ортогонально проецируют на новую плоскость проекций. Алгоритм графических построений: Провести ось проекций П 1 П 4 пока произвольно. С полученной нами осью проекций П 1 П 4 можно работать также, как и с привычной нам П 1 П 2; Провести новую линию проекционной связи из A 1 перпендикулярную оси П 1 П 4; Отложить от точки пересечения линии проекционной связи с осью П 1 П 4 высоту точки A, равную расстоянию от A 2 до оси П 1 П 2. Можно ввести новую плоскость П 4 перпендикулярную П 2, В новой системе плоскостей П 2 - П 4 новой осью является П 2 П 4.

Определение длины отрезка и угла его наклона к плоскости проекций • Определить длину отрезка AВ и угол его наклона к плоскости проекций можно способом введения новых плоскостей проекций • Плоскость П 4 может быть перпендикулярной к П 1 либо П 2, от этого зависит лишь угол наклона к какой плоскости проекций мы сможем определить. На рисунке П 4 перпендикулярна П 1. Алгоритм графических построений: Проводим ось проекций П 1 П 4 параллельно A 1 B 1 и на произвольном расстоянии от A 1 B 1; Проводим линии проекционной связи в системе плоскостей проекции П 1 П 4 перпендикулярно оси П 1 П 4; Откладываем на них от оси П 1 П 4 расстояния равные расстояниям от А 2 и B 2 до оси П 1 П 2; Соединяем А 4 и B 4. Длина проекции А 4 B 4 равна длине отрезка АВ. Угол a - угол наклона А 4 B 4 к оси П 1 П 4 равен углу наклона АВ к плоскости проекции П 1.

Способ прямоугольного треугольника (частный случай замены плоскостей проекции) • Определить длину отрезка АВ и угол его наклона к плоскости П 2 При определении длины отрезка за катет прямоугольного треугольника может быть выбрана любая проекция отрезка. Другое дело, если определяется угол наклона отрезка к той или иной плоскости проекций. Здесь выбор падает на проекцию отрезка, принадлежащую именно той же плоскости проекций. Решение: Строим прямоугольный треугольник, приняв за катет фронтальную проекцию отрезка А 2 В 2. Второй катет по длине равен разности координат точек А и В в направлении мнимой в данном случае оси y. На чертеже эта разница берется на другой плоскости проекций: на плоскости П 1. Из построенного треугольника делаем выводы:

Способ плоскопараллельного движения Плоскопараллельным перемещением фигур в пространстве называется такое ее перемещение, при котором все точки фигуры перемещаются в параллельном пространстве. При этом строят новые проекции на П 1 и П 2. Выполним плоскопараллельное движение прямой АВ относительно (горизонтальной плоскости проекций) П 1. Точки А и В перемещаются в горизонтальных плоскостях. Суть построений заключается в том, что мы перемещаем проекцию А 1 В 1 так, что бы она стала параллельна оси П 1 П 2 и затем достраиваем проекцию A'B' на П 2. Алгоритм графических построений: 1. Из произвольной точки A 1' параллельно оси П 1 П 2 откладываем расстояние равное длине проекции А 1 В 1; 2, Проводим линии проекционной связи; 3, Проводим вспомогательные линии на П 2. Эти линии символизируют горизонтальные плоскости, в которых перемещались точки A и B; 4. Находим проекции A 2'B 2' прямой A'B' на П 2. (НВ отрезка, т. к. она параллельна П 2).

Способ вращения вокруг проецирующей прямой • • Этот способ является частным случаем способа плоскопараллельного перемещения, когда точка фигуры описывает дугу окружности, плоскость которой также параллельна плоскости проекций. Графический алгоритм построения точек в способе вращения вокруг проецирующей прямой отличается лишь тем, что здесь траектория движения точки имеет вид окружности, а не произвольной прямой, как в плоскопараллельном проецировании. Алгоритм 1. 2. 3. 4. 5. графических построений: Проведем ось вращения i через точку B. Ось i перпендикулярна П 2; Повернем отрезок AB до состояния параллельности оси проекций П 1 П 2. Где A 1'B 1' - новая проекция AB; Проводим вспомогательную линию на П 2. Эта линия символизирует горизонтальную плоскость, в которой поворачивалась точка A; Проводим линию связи и находим новую проекцию A 2'B 2' отрезка AB на П 2; A 2'B 2' - натуральная величина отрезка AB.

Способ вращения вокруг линии уровня Этот способ применяется в основном для решения задачи преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня (II). Суть способа заключается в том, что плоскость общего положения, поворачивается вокруг прямой уровня до состояния, параллельного горизонтальной плоскости проекций П 1 либо фронтальной П 2.

Расстояние от точки до прямой определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Для того чтобы определить расстояние от точки А до прямой h необходимо опустить перпендикуляр из точки А на горизонталь h. На ортогональном чертеже строим отрезок A 1 M 1 перпендикулярно h 1. Далее на прямой h 1 откладываем отрезок M 1 M 0 равный А 2 В 2. Длину перпендикуляра АM можно найти способом прямоугольного треугольника А 1 M 1 M 0: |АM| = |А 1 M 0|.

Многогранники – замкнутые пространственные фигуры, ограниченные плоскими многоугольниками. Вершины и ребра многогранников образуют пространственную сетку. Если вершины и ребра многогранника находятся по одну сторону плоскости любой из его граней, то многогранник называют выпуклым. Из всего многообразия многогранников наибольший практический интерес представляют призмы, пирамиды, правильные многогранники и их разновидности. Многогранник, две грани которого n-угольники в параллельных плоскостях, а остальные n-граней - параллелограммы, называется n-угольной призмой. Многогранники являются основаниями призмы, а параллелограммы – боковыми гранями призмы.

Многогранник, у которого одна из граней – произвольный многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую (особую) вершину, называются пирамидой. Грань–многоугольник называют основанием призмы, а треугольники – боковыми гранями пирамиды. Если пирамиду отсечь плоскостью параллельной основанию, то получим усеченную пирамиду

Многогранник называется метрически правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками. К ним относятся куб, тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр.

Пересечение многогранника плоскостью • Геометрическая фигура, получающаяся в результате пересечения многогранника плоскостью, называется сечением многогранника. • Сечение представляет собой плоский многоугольник с внутренней областью. В частном случае эти многоугольники могут распадаться на несколько многогранников, вырождаться в прямые и точки. Сечение многогранника плоскостью можно построить двумя способами: 1. По точкам пересечения с плоскостью ребер многогранника. 2. По линиям пересечения граней многогранника с плоскостью. В первом случае задача сводится к определению точек пересечения прямой с плоскостью. Во втором случае - к определению линий пересечения плоскостей. В ряде случаев целесообразно комбинированное применение обоих способов.

Пример построения сечений многогранников проецирующими плоскостями Рассмотрим построение сечения пирамиды SABCDE фронтально проецирующей плоскостью . Фронтальная проекция А'2 B'2 C'2 D'2 E'2 сечения А'B'C'D'E' совпадает с выраженной проекцией секущей плоскости. Горизонтальные проекции А'1, B'1, C'1, D'1, E'1, вершин сечения принадлежат ребрам: А' SA, B' SB, C' SC, D' SD, E' SE. Алгоритм графических построений: 1. Отмечаем точки А'2, B'2, E'2, C'2, D'2 - точки пересечения плоскости 2 с ребрами пирамиды. 2. Проводим линии проекционной связи из точек А'2, B'2, E'2, C'2, D'2. 3. Отмечаем точки А'1, B'1, C'1, D'1, E'1 - точки пересечения линий связи с горизонтальными проекциями ребер S 1 A 1, S 1 B 1, S 1 C 1, S 1 D 1, S 1 E 1 и соединяем их. 4. Многоугольник А'1 B'1 C'1 D'1 E'1 - первая проекция сечения А'B'C'D'E' пирамиды фронтально проецирующей плоскостью .

Сечение пирамиды на плоскость П 1 проецируется с искажением. Для нахождения истинной величины сечения пирамиды необходимо преобразование чертежа. Построим истинную величину сечения ABCDE способом совмещения (частный случай вращения вокруг линии уровня). За ось принимается горизонталь или фронталь. В качестве оси вращения примем горизонталь a 1. Горизонталь a 1 перпендикулярна П 2, Точка a 2 - точка пересечения плоскости с горизонталью a 1. Примем точку a 2 за центр вращения фронтальных проекций А 2, B 2, C 2, D 2, E 2. А"1 В"1 С"1 D"1 Е"1 – натуральная величина сечения пирамиды.

Кривые линии Кривая – это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной переменной. В начертательной геометрии кривую рассматривают как: • • • траекторию, описанную движущейся точкой, проекцию другой кривой, линию пересечения двух поверхностей. Кривые подразделяются на алгебраические и трансцендентные (кривые, уравнения которых содержат трансцендентные функции, например, логарифмы или тригонометрические функции, например, y = log x и y = tg x – уравнения трансцендентных кривых. ) в зависимости от того являются ли их уравнение алгебраическими или трансцендентными в прямоугольной системе координат.

Кривая называется плоской, если все ее точки принадлежат некоторой плоскости, в противном случае она называется пространственной. Кривая линия, представленная в декартовых координатах уравнением n ой степени, называется алгебраической кривой n го порядка. • • Порядок плоской алгебраической кривой линии определяется наибольшим числом точек её пересечения прямой линией. Любая прямая линия может пересекать алгебраическую кривую линию n-го порядка не более чем в n точках. Трансцендентные кривые в отличие от алгебраических могут иметь бесконечное количество точек пересечения с прямой, точек перегиба, вершин и т. п.

Рассмотрим несколько примеров алгебраической кривой линии: 1. Парабола – кривая второго порядка. Расстояние от Pn до фокуса F такое же, как и от Pn до Qn (на директрисе L)

2. Гипербола : - геометрическое место точек М плоскости, для которых абсолютное значение разности расстояний от М до двух выделенных точек F 1 и F 2 (фокусов гиперболы) постоянно: |F 1 M| |F 2 M|=2 а Середина 0 отрезка F 1 F 2 (фокусного расстояния) называется центром гиперболы;

3. Эллипс представляет собой множество точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная: |МF 1| + |MF 2| = 2 a. Окружность – частный случай эллипса, когда фокусы совпадают.

Пример трансцендентной кривой: Синусоида - трансцендентная плоская кривая линия. Синусоида – график функции у=sin x, непрерывная кривая линия с периодом Т=2 п.

Точки кривых разделяются на обыкновенные и особые. На рисунке а показана обыкновенная точка М, а на рисунке б, в, г, д, е – некоторые особые точки (точки перегиба N, точки возврата Р и Q (точка, в которой кривая линия разделяется на две (или более) ветви и имеют общую касательную), узловая точка R и точка излома Т (ветви кривой, на которые эта точка делит исходную кривую, имеют в этой точке различные (односторонние) касательные). При проецировании сохраняются все эти особенности точек кривой и поэтому по проекции плоской кривой можно судить о характере самой кривой.

Пример изображение кривой на ортогональном чертеже На чертеже задана пространственная кривая а. Пространственные кривые линии в начертательной геометрии обычно рассматриваются как результат пересечения поверхностей или траекторию движения точки. Пространственную, так же как и плоскую, кривую линию на чертеже задают последовательным рядом точек.

Свойства ортогональных проекций пространственной кривой 1. Проекцией кривой линии является кривая линия. 2. Касательная к кривой линии проецируется в касательную к её проекции. 3. Несобственная точка кривой и бесконечно удаленная проецируется в несобственную точку её проекции. 4. Порядок алгебраической кривой равен порядку самой кривой в частных случаях проекция может распадаться и иметь меньший чем у кривой, порядок. 5. Число узловых точек (в которых кривая пересекает сама себя) проекции равно числу узловых точек самой кривой.

Классическим примером пространственных кривых линий являются цилиндрическая винтовая линия. Цилиндрическую винтовую линию можно рассматривать как траекторию движения точки, равномерно вращающейся вокруг оси и одновременно равномерно перемещающейся в направлении этой оси. Винтовая линия может быть правой или левой

Величину Н перемещение точки в направлении оси, соответствующего одному полному обороту вокруг оси, называют шагом винтовой линии. Описываемая при этом точкой дуга называется витком. Радиус R цилиндрической поверхности, называется радиусом винтовой линии.

Кривые поверхности. Образование поверхностей Поверхность - это непрерывное одномерное множество линий, перемещающихся в пространстве. Эта линия может быть прямой или кривой и называется она образующей поверхности. В зависимости от вида линий, закона их образования и распределения получаем различные поверхности. Например, плоскость может рассматриваться как множество прямых, цилиндрическая поверхность как множество прямолинейных или кривых образующих и т. п. Множество точек, определяющих поверхность, называется ее точечным каркасом. Множество линий, определяющих поверхность, называется ее линейным каркасом. Если множество элементов (точек, линий), определяющих поверхность непрерывно, то каркас называется непрерывным, в противном случае он называется дискретным.

В линейчатых поверхностях выделяют поверхности развертывающиеся (например, поверхности всех многогранников), совмещаемые всеми своими точками с плоскостью без разрывов, и неразвертывающиеся, которые нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок. Определением кинематической поверхности (поверхность образующая непрерывным перемещением в пространстве линии (образующей) по определенному закону), называют совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту поверхность. Условиями могут быть: задание образующей поверхности, закон ее изменения, закон движения образующей и др. Некоторые из них могут быть выражены графически. Совокупность основных параметров поверхности, которые определяют ее задание, называют определителем поверхности.

Для придания чертежу большей наглядности в большинстве случаев строят на нем еще и очерк поверхности, а также ее наиболее важные линии и точки. Когда какая-нибудь поверхность Ω проецируется параллельно на плоскость проекции П' , то проецирующие прямые, касающиеся поверхности Ω, образуют цилиндрическую поверхность. Эти проецирующие прямые касаются поверхности Ω в точках, образующих некоторую линию L, называемую контурной линией. Очерком поверхности и является проекция контурной линии. Таким образом, очерком поверхности называется граница, которая отделяет проекцию поверхности от остальной части плоскости проекции.

Поверхности можно разбить на следующие классы: • Поверхности вращения, образуемые вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси. • Линейчатые поверхности, образуемые движением прямой линии, в частности, винтовые поверхности, образуемые движением прямой линии по винтовым направляющим. • Циклические окружности. поверхности, образованные движением

Поверхности вращения общего вида Образование и задание на чертеже

Поверхностью вращения общего вида называют поверхность, которая образуется произвольной кривой (плоской или пространственной) при ее вращении вокруг неподвижной оси. Каждая точка образующей l (А, В, С, D, Е) при вращении вокруг оси i описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называют параллелями. Наибольшую и наименьшую параллель называют экватором и горлом. Плоскость a проходящую через ось i называют меридиальной, а линии по которым эта плоскость пересекает поверхность называются меридианом. Меридиан, расположенный в плоскости b , параллельной плоскости проекций, называется главным меридианом q. Главный меридиан q делит поверхность на две части: видимую и невидимую относительно той плоскости, которой параллельна плоскость главного меридиана.

При задании поверхности на ортогональном чертеже ось вращения обычно располагают перпендикулярно одной из плоскостей проекций. На рисунке ось i перпендикулярна П 1. В этом случае все параллели поверхности, горло и экватор проецируются на П 1 в истинную величину, а на П 2 в отрезки прямых, перпендикулярные i 2 – проекции оси i. Задание поверхности осью i и образующим полумеридианом l ненаглядно. Поэтому на чертеже строят проекции главного меридиана q 1 и q 2, проводят проекции горла, экватора и двух параллелей, образованных вращением верхней точки А и нижней – Е.

Частные случаи поверхности вращения. Линейчатые поверхности вращения При вращении прямой вокруг другой неподвижной прямой – оси i можно получить три вида поверхностей: – Цилиндроид- Цилиндроид, образуется в том случае если образующая прямая l параллельна оси вращения i. – Конус вращения, образуется в том случае если образующая l пересекает ось вращения i. _ Однополостный гиперболоид вращения, образуется в том случае если образующая l и ось i скрещивающиеся прямые.

Цилиндроид Конус вращения

Однополостный гиперболоид вращения

Торовые поверхности При вращении окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости образующей окружности, образуются торовые поверхности. Произвольная прямая пересекает тор в четырех точках, следовательно, это поверхность четвертого порядка. В зависимости от соотношения знаний радиуса образующей окружности R и расстояния r от центра окружности до оси вращения i возможны три разновидности поверхностей:

Примеры поверхности вращения 2 -го порядка Поверхности вращения 2 -го порядка образуются при вращении кривой 2 -го порядка вокруг своей оси. Эллипсоид вращения При вращении эллипса вокруг малой оси получается сжатый эллипсоид вращения. Параболоид вращения Эта поверхность образуется при вращении параболы вокруг своей оси

Линейчатые поверхности Линейчатая поверхность в общем случае однозначно определяется тремя направляющими линиями. Пусть даны три пространственные кривые а, b, с. Возьмем на кривой а произвольную точку М, примем ее за вершину конической поверхности , а за направляющую этой поверхности примем дугу кривой c. Если N – точка пересечения дуги кривой b с поверхностью , то прямая МN пересечет дугу кривой с в точке L. Прямая МN и кривая с принадлежат одной конической поверхности, поэтому МN пересекает с = L, МNL – образующая поверхности , заданной тремя кривыми. Зададим другую точку М 1, примем ее за вершину новой конической поверхности 1, которую дуга кривой b пересекает в точке N 1. Точки М 1 и N 1 определяют положение второй конструируемой поверхности и прямой М 1 N 1 L 1.

Винтовые поверхности Винтовая поверхность образуется винтовым перемещением линии (образующей). Поверхность можно задать начальным положением образующей и направляющей – цилиндрической винтовой линией, которая называется гелисой. Если образующей винтовой поверхности является прямая линия, то поверхность называется линейчатой винтовой поверхностью или геликоидом. Геликоид называется прямым или наклонным в зависимости от того, перпендикулярна образующая к оси геликоида или наклонна.

Прямой геликоид образуется движением прямолинейной образующей l по двум направляющим: винтовой линии т и ее оси i; при этом образующая l пересекает винтовую ось под прямым углом. Наклонный геликоид отличается от прямого тем, что его образующая l пересекает ось под постоянным углом, отличным от прямого. Образующая геликоида пересекая две направляющие ось i и направляющую гелису m на цилиндре, остается параллельной образующим некоторого конуса вращения (направляющего конуса) с вершиной S имеющего общую ось с винтовой линией и угол между образующей и осью, равный углу ф.

Циклические поверхности Циклической поверхностью называется поверхность, образованная непрерывным каркасом круговых сечений. • На циклической поверхности расположено, по крайней мере, одно семейство круговых образующих (постоянного или переменного радиуса).

Каналовая поверхность (разновидность циклической) образуется движением окружности переменного радиуса. При этом центр окружности О перемещается по заданной кривой t (направляющей), а ее плоскость остается перпендикулярной к этой кривой.

• Трубчатая поверхность отличается от каналовой тем, что ее образующая окружность т имеет постоянный радиус.

Если направляющая t трубчатой поверхности является цилиндрической винтовой линией, то образуется трубчатая винтовая поверхность.

Построение разверток поверхностей • • Разверткой поверхности тела называется фигура, полученная путем совмещения его поверхности с плоскостью. При этом каждой точке поверхности соответствует единственная точка на развертке. Если рассматриваемая поверхность может быть совмещена с плоскостью без разрывов, то она называется развертывающейся (точной), если нет, то такая поверхность относится к неразвертываемой (приближенной). Точные развертки имеют все многогранники (призмы, пирамиды), цилиндрические и конические поверхности. Приближенные развертки имеют шар, и другие поверхности вращения с криволинейной образующей. Основные свойства развертки: • Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой; • Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке; • Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке; • Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке; Для построения развёрток используют следующие графические способы: • способ нормальных сечений • способ раскатки • способ триангуляции (метод треугольника)

Развертки гранных поверхностей Процесс получения развертки гранной поверхности сводится к совмещению с плоскостью ее граней. Для гранной поверхности всегда можно построить развертку. К наиболее распространенным многогранным поверхностям следует отнести призмы и пирамиды. Развертка поверхности призмы строится в основном двумя способами, с помощью треугольников (триангуляции) и нормальных сечений.

Метод треугольника (триангуляции) Сущность способа треугольников состоит в том, что каждая грань призмы разбивается диагональю на два треугольника, затем определяются истинные величины всех сторон треугольников, которые последовательно вычерчиваются в истинную величину на свободном поле чертежа. На рисунке этот способ применен для построения развертки боковой поверхности трехгранной наклонной призмы. Грань a 1 b 1 b′ 1 a′ 1 диагональю а 1 b′ 1 разделена на два треугольника. Для построения истинной величины треугольника a 1 a′ 1 b′ 1 надо определить истинную величину только одной его стороны - стороны а 1 b′ 1, так как в приведенном примере две другие стороны этого треугольника расположены относительно плоскостей проекций так, что одна из их проекций является истинной величиной: истинная величина стороны а′ 1 b′ 1 - ее горизонтальная проекция a′ 1 b′ 1, стороны а 1 b′ 1 - фронтальная a 2 a′ 2. Истинная величина стороны a 1 b′ 1 определена вращением ее вокруг оси перпендикулярной к плоскости проекций П 2 и проходящей через точку а 1.

Метод нормального сечения По способу нормальных сечений призма пересекается плоскостью Δ, перпендикулярной ее боковым ребрам. Затем определяются длины сторон ломаной линии (сечения), и она (ломаная) развертывается в отрезок прямой. Через точки, соответствующие положению вершин, проводятся прямые, перпендикулярные к развертке ломаной. На построенных перпендикулярах откладываются натуральные длины, соответствующих отрезков ребер (на П 2, т. к. ребра на П 1 параллельны П 2). Концы ребер последовательно соединяются отрезками прямых.

Метод раскатки применим тогда, когда ребра призмы параллельны одной из плоскостей проекции, например, плоскости проекции П 2. При этих условиях каждую грань призмы последовательно поворачивают вокруг одного из ребер, как вокруг фронтали, до положения, параллельного плоскости проекции П 2; все грани призмы спроецируются на плоскость проекции П 2 в натуральную величину. Построение: из фронтальных проекций точек a 2, b 2, c 2, a′ 2, b′ 2, c′ 2 проводят перпендикуляры к ребрам призмы. В рассматриваемом примере раскатка боковой поверхности призмы начата с грани a 2 b 2 b′ 2 a′ 2. Чтобы повернуть ее вокруг ребра AA′ до положения, параллельного плоскости проекций П 2, из точек a 2 и a′ 2 на перпендикулярах, выходящих из точек b 2 и b′ 2, сделаны засечки раствором циркуля, равным истинной величине стороны AB (A′B′) основания призмы (истинной величиной стороны AB основания призмы является ее горизонтальная проекция a 1 b 1). Параллелограмм a 2 b 0 b′ 0 a′ 2 есть истинная величина грани ABB′A′. Фигура a 2 b 0 c 0 a 0 a′ 0 c′ 0 b′ 0 a′ 2 развертка боковой поверхности призмы

Построение условной развертки Развертку неразвертывающейся поверхности построить нельзя. Для построения условной развертки такой поверхности применяют метод аппроксимации, который заключается в следующем. Данная неразвертываюшаяся поверхность Ф разбивается на некоторые отсеки. Каждый из этих отсеков заменяется отсеком кривой развертывающейся поверхности. Совокупность всех отсеков развертывающихся поверхностей называется обводом Ф' поверхности Ф. С помощью триангуляции обвод Ф' заменяется обводом Ф" гранных поверхностей. Развертка гранных поверхностей, образующих обвод Ф", принимается за условную развертку поверхности Ф.

Рассмотрим применение этого способа на примере построения условной развертки сферы. Разделим поверхность сферы (рис. а) на некоторое число (например, шесть) одинаковых отсеков при помощи осевых плоскостей , , . Поверхность каждого отсека сферы заменим отсеком описанной цилиндрической поверхности. В результате поверхность сферы заменяется обводом (составной поверхностью), составленным из отсеков прямых круговых цилиндров. Поверхность каждого отсека цилиндрической поверхности заменим отсеком вписанной призматической поверхности (рис. б). В результате обвод, составленный из отсеков цилиндров, заменяется обводом, составленным из гранных поверхностей (отсеков прямых призм). Строим развертку каждого отсека призматической поверхности. На чертеже (рис. в) показана развертка одного из них. Затем ломаная 1 - 3 - 5 - 7. . . заменяется плавной кривой, проходящей через те же точки (рис. г). Полученная фигура принимается за условную развертку отсека сферы. Полная развертка будет состоять из шести таких фигур (рис. д).

Прямые и плоскость, касательная к поверхности Построение касательной плоскости к поверхности представляет частный случай пересечения поверхности плоскостью Плоскость, касательная к поверхности, имеет общую с этой поверхностью точку, прямую или плоскую кривую линию. Плоскость в одном месте может касаться поверхности, а в другом пересекать эту поверхность. Линия касания может одновременно являться и линией пересечения поверхности плоскостью. Плоскость α, представленная двумя касательными, проведенными в точке А поверхности Ф, называется касательной плоскостью к поверхности в данной ее точке. Любая кривая поверхности проходящая через точку А, имеет в этой точке касательную прямую, принадлежащую плоскости α. Не в каждой точке поверхности можно провести касательную плоскость. В некоторых точках касательная плоскость не может быть определена или не является единственной. Такие точки называются особыми точками поверхностей, например вершина конической поверхности. Прямую линию, проходящую через точку касания и перпендикулярную касательной плоскости, называют нормалью поверхности в данной точке.

Аксонометрические проекции Аксонометрия дает представление о форме изображаемого предмета, по ней также можно определить основные размеры предмета. Таким образом, аксонометрические проекции – это наглядные изображения предмета, получаемые параллельным проецированием его на одну плоскость вместе с осями прямоугольных координат, к которым этот предмет отнесен. Прямые линии и плоские фигуры предмета, параллельные между собой, изображаются параллельными и в аксонометрии. Аксонометрические проекции называют прямоугольными если направление проецирования и проецирующие прямые перпендикулярны плоскости, на которую они проецируются, и косоугольными если направление проецирования не перпендикулярно плоскости аксонометрических проекций. Проекции аксонометрических осей на плоскость называют аксонометрическими осями, а проекции единицы измерения по осям – аксонометрическими единицами измерения. В зависимости от положения предмета и осей координат относительно плоскости проекций, а также в зависимости от направления проецирования, единицы измерения проецируются в общем случае с искажением. Искажаются и размеры проецируемых предметов. Отношение длины аксонометрической единицы к ее истинной величине называют показателем или коэффициентом искажения для данной оси координат.

• Аксонометрические проекции называют изометрическими, если коэффициенты искажения по всем осям равны; диметрическими, если коэффициенты искажения равны по двум осям и триметическими, если все коэффициенты искажения различны. • Для аксонометрических изображений предметов применяют пять видов аксонометрических проекций: прямоугольные – изометрические и диметрические, косоугольные – фронтальные диметрические, фронтальные изометрические и горизонтальные изометрические.

Прямоугольная изометрическая проекция В прямоугольной изометрии аксонометрические оси OX, OY, OZ расположены под углами 1200 одна к другой, ось OZ – вертикальная. Коэффициент искажения по всем осям одинаковый и равен 0, 82. Чтобы упростить построение прямоугольной изометрии, применяют приведенный коэффициент искажения, равный единице. При этом увеличение изображения предмета составляет 1/0, 82 = 1, 22 (раза). Масштаб такого изображения будет равен 1, 22: 1. Малые оси направленный по осям x, y, z параллельны им, большие оси – перепендикулярны. Расположение осей

Изображения эллипсов, расположенных в различных гранях куба, и величины осей эллипсов для прямоугольной изометрии Окружности, вписанные в прямоугольную изометрию – трех видимых граней куба, представляют собой эллипсы. Большая ось эллипсов равна 1, 22 D, а малая – 0, 71 D ( ) , (где D – диаметр изображаемой окружности). Чтобы упростить построения, можно заменять эллипсы овалами, оси которых равны осям эллипса.

Прямоугольная диметрическая проекция Аксонометрические оси располагаются следующим образом: ось 0 Z направлена вертикально вверх, а оси ОХ и ОУ составляют с горизонтальной линией, проведенной через начало координат (точку О), углы соответственно 70 и 410. Приближённо аксонометрические оси стандартной диметрической проекции можно построить, если принять tg 7° 10'=1/8, а tg 41° 25'=7/8. Коэффициент искажения по оси Y' равен 0, 47, а по осям X' и Z' 0, 94. На практике используют приведённые коэффициенты искажения kx = kz = 1 и ky = 0, 5. В этом случае изображение получается увеличенным в 1/0, 94=1, 06.

1 -эллипс (большая ось расположена под углом 900 к оси y); 2 -эллипс (большая ось расположена под углом 900 к оси z); 3 -эллипс (большая ось расположена под углом 900 к оси x). Если димметрическую проекцию выполняют без искажения по осям x и z то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна 1, 06 диаметра окружности, а малая ось эллипса 1 - 0. 95 D, эллипсов 2 и 3 - 0. 35 D диаметра окружности. Если диметрическую проекцию выполняют с искажения по осям x и z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая ось эллипса 1 - 0. 9 D, эллипсов 2 и 3 - 0, 33 D диаметра окружности.

Косоугольные аксонометрические проекции • Косоугольные аксонометрические проекции характеризуются двумя основными признаками: плоскость аксонометрических проекций располагаются параллельно одной из граней предмета, которая изображается без искажения; направление проецирования выбирается косоугольное (составляет с плоскостью проекций острый угол), что дает возможность спроецировать и две другие грани или стороны предмета, но уже с искажением. • Название фронтальная или горизонтальная определяет положение плоскости аксонометрических проекций относительно основных сторон или граней предмета. Изображения в косоугольной аксонометрии обладают важным преимуществом, которое довольно часто используют в техническом черчении: плоские элементы предмета, параллельные плоскости аксонометрических проекций, проецируются без искажения.

Фронтальная диметрическая проекция Аксонометрические оси фротальной диметрии располагают следующим образом: ось ОХ — горизонтальная, ось ОY делит угол ZОХ пополам и направлена вправо вниз. Ось ОY можно построить, отложив от горизонтали угол 45°. По осям ОХ и ОZ, размеры изображения проецируются в истинную величину, а по оси ОY сокращаются вдвое.

1 -окружность; 2 -эллипс (большая ось расположена под углом 70 14/ к оси x); 3. эллипс (большая ось расположена под углом 70 14/ к оси z) Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций, в эллипсы. Большая ось эллипсов 2 и 3 равна 1, 07 D, а малая ось 0, 33 D диаметра окружности.

Фронтальная изометрическая проекция Во фронтальной изометрии положение осей аналогично положению осей во фронтальной диметрии. По всем осям размеры откладывают без сокращений, в истинную величину.

1 -окружность; 2 -эллипс (большая ось расположена под углом 220 30’ к оси x); 3 эллипс (большая ось расположена под углом 220 30’ к оси z). Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекции, — в эллипсы. Большая ось эллипсов 2 и 3 равна 1, 3 D, а малая ось — 0, 54 D диаметра окружности.

Горизонтальная изометрическая проекция Аксонометрические оси горизонтальной изометрии располагают следующим образом: ось 0 Z — вертикальная, угол между осями ОХ и ОY равен 90°, ось ОY составляет с горизонталью угол 30°. ГОСТ 2. 317— 69* допускает применять и другие углы между горизонталью и осью ОY — 45 и 60°, при этом угол 90° между осями ОХ и ОY сохраняется.

1 -эллипс (большая ось расположена под углом 150 к оси z); 2 -окружность; 3. -эллипс (большая ось расположена под углом 300 к оси z) Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям х, у и z. Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в окружности, а окружности лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной и профильной плос костям роекций— в п эллипсы. Большая ось эллипса 1 равна 1, 37 D, а малая ось — 0, 37 D диаметра окружности. Большая ось эллипса 3 равна 1, 22 D, а малая ось — 0, 71 D диаметра окружности.

Линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из диагоналей проекций квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям