Методы вычислительного эксперимента Введение Технология вычислительного эксперимента

Методы вычислительного эксперимента

Введение. Технология вычислительного эксперимента

0. Введение. Общие сведения. l Объем курса – 34 часа лекции 72 часа лабораторные занятия l Лабораторные занятия проводятся в классе ПЭВМ и выполняются в среде пакета Mathematica l Форма отчетности – экзамен (5 семестр) l Преподавание обеспечивает кафедра кибернетики l Лектор – Воротницкий Юрий Иосифович

0. Введение. Цели и задачи дисциплины. Ознакомить с фундаментальными основами дисциплины «Методы вычислительного эксперимента» l Дать необходимые знания в области построения конструктивных вычислительных алгоритмов для решения типовых задач математического моделирования в радиофизике и электронике l Сформировать навыки формализации, разработки математических моделей и реализации вычислительных алгоритмов задач поиска оптимальных решений l

0. Введение. Литература. Основная 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Зализняк В. Е. Основы вычислительной физики: учебное пособие для студ. вузов. М. : Техносфера, 2008. Мулярчик С. Г. Вычислительная электроника: Конспект лекций. Мн. : БГУ, 2003. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие. М. : Наука, 1980. Полак Е. Численные методы оптимизации. Единый подход. М. : Мир, 1974. Зенкевич О. , Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М. : Мир, 1986. Ильин В. П. Численные методы решения задач электрофизики. М. : Наука, 1985. Самарский А. А. Теория разностных схем. М. : Наука, 1977. Сильвестер П. , Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М. : Мир, 1986. Власова Е. А. , Зарубин В. С. , Кувыркин Г. Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов. М. : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. Формалев В. Ф. , Ревизников Д. Л. Численные методы. М. : Физматлит, 2004.

0. Введение. Литература. Дополнительная 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Тихонов А. H. , Самарский А. А. Уравнения математической физики. М. : Наука, 1972. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М. : Наука, 1976. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М. : Мир, 1975. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М. : Радио и связь, 1988. Калиткин Н. Н. Численные методы. М. : Наука, 1978. Реклейтис Г. Оптимизация в технике. Книга 1. M. : Мир, 1986. Тарасик В. П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. Мн. : Дизайн. ПРО, 1997. Турчак Л. И. , Плотников П. В. Основы численных методов. М. : Физматлит, 2002. Davidson D. B. Computational Electromagnetics for RF and Microwave Engineering. Cambridge University Press, 2005. Bondeson А. , Rylonder Т. , Ingelstrom Р. Computational Electromagnetics. Springer, 2005.

0. Введение. 0. 1. Предмет дисциплины. Вычислительный эксперимент – методология исследования сложных научных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемых объектов. l Суть эксперимента: исследование объекта с целью изучения его характеристик в зависимости от условий эксперимента. l Цели эксперимента: l l l Проверка гипотез, установление новых законов и закономерностей окружающего нас мира. Целенаправленный поиск параметров объекта, обеспечивающих наилучшие (заданные) характеристики

0. Введение. 0. 1. Предмет дисциплины. l Что позволяет вычислительный эксперимент: l Расширение области экспериментальных исследований l l Исследование недоступных объектов Исследование несуществующих объектов Возможность изменения физических законов Расширение сферы теоретических исследований: l l Новые методы описания моделей (алгоритмическое описание) Применение методов оптимального проектирования для поиска параметров объекта исследования с наилучшими характеристиками

0. Введение. 0. 2. Схема вычислительного эксперимента Абстрагирование объекта исследования Построение математической модели Построение вычислительного алгоритма Разработка программного обеспечения Проведение вычислений и анализ результатов

0. Введение. 0. 2. Схема вычислительного эксперимента l Абстрагирование объекта исследования: l l l Определение главных (учитываемых) и второстепенных (отбрасываемых) факторов. Формулировка физических законов, на основании которых будет строиться модель. Оценка границ применимости модели. l Результат - физическая модель l Построение математической модели: l l Формализация – представление модели в математической форме Предварительное исследование математической модели (корректность, существование и единственность решения). Оценка границ применимости модели. Результат - математическая модель

0. Введение. 0. 2. Схема вычислительного эксперимента l Построение вычислительного алгоритма: l l l Дискретизация математической модели Разработка алгоритма Предварительное исследование алгоритма (выполнимость, конечность, вычислительная сложность, устойчивость и др. ) l Результат – алгоритмическая модель l Разработка программного обеспечения: l l l Выбор технологий и средств проектирования и программирования Проектирование Кодирование (написание текста программы) Верификация, отладка, тестирование. Результат - программная модель

0. Введение. 0. 2. Схема вычислительного эксперимента l Проведение вычислений и анализ результатов: l l l Планирование вычислительного эксперимента. Проведение расчётов на ЭВМ. Анализ расчётов с целью установления новых следствий из законов поведения объекта, оптимизация его параметров. Уточнение границ применимости физической и математической моделей, алгоритмов и программных средств Результат - завершение исследований, либо корректировка физической, математической, алгоритмической, программной моделей и повторение цикла вычислительного эксперимента

0. Введение. 0. 3. Прямая и обратная задачи вычислительного эксперимента Существенные параметры объекта: Входные Выходные: • Прямая задача: по известным входным параметрам найти значения выходных

0. Введение. 0. 3. Прямая и обратная задачи вычислительного эксперимента • Обратная задача: по известным выходным параметрам восстановить значения выходных - известны - полностью или частично неизвестны • При невозможности построения обратного оператора B -1 обычно строится итерационный процесс

0. Введение. 0. 3. Прямая и обратная задачи вычислительного эксперимента • Задача оптимизации: найти значения независимых внутренних параметров, приближающих выходные характеристики к заданным - известны - заданы - требуется найти

0. Введение. 0. 3. Прямая и обратная задачи вычислительного эксперимента k f

1. Уравнения и краевые задачи радиофизики и электроники

1. Уравнения и краевые задачи 1. 1. Стационарные процессы l Модель стационарных процессов, описывающая сохранение физической величины в отсутствие источников и стоков – эллиптическое уравнение +

1. Уравнения и краевые задачи 1. 1. Стационарные процессы l Модель стационарных процессов, описывающая сохранение физической величины при наличии источников и стоков +

1. Уравнения и краевые задачи 1. 1. Стационарные процессы l В проводящей среде в отсутствие объемных источников тока из закона сохранения заряда:

1. Уравнения и краевые задачи 1. 2. Условия для разрывных коэффициентов l Условия на границе раздела диэлектриков (в отсутствие поверхностных зарядов на границе)

1. Уравнения и краевые задачи 1. 3. Граничные условия l Условия на границе раздела диэлектрик – идеальный металл

1. Уравнения и краевые задачи 1. 3. Граничные условия l Условия Дирихле

1. Уравнения и краевые задачи 1. 3. Граничные условия l Стационарное поле температуры в отсутствие внутренних источников – температура – температуропроводность Граничные условия: l l l Поверхность тела поддерживается при заданной температуре – условие Дирихле Обеспечен постоянный приток и отвод тепла через поверхность – условие Неймана На поверхности происходит теплообмен согласно закону Ньютона со средой, находящейся при постоянной температуре - условие Робена

1. Уравнения и краевые задачи 1. 3. Граничные условия l Условия Неймана Постоянный приток и отвод тепла Условия Неймана позволяют найти решение с точностью до константы. Для существования стационарного решения необходимо, чтобы

1. Уравнения и краевые задачи 1. 3. Граничные условия l Условия Робена Теплообмен с окружающей средой

1. Уравнения и краевые задачи 1. 4. Нестационарные процессы переноса l Обозначим l Процессы переноса массы, заряда, энергии описываются уравнениями параболического типа: l В случае установившегося процесса получаем уравнение Пуассона:

1. Уравнения и краевые задачи 1. 4. Нестационарные процессы переноса l Уравнение диффузии l Уравнение теплопроводности (процесс теплопередачи в сплошных средах)

1. Уравнения и краевые задачи 1. 5. Краевая задача для уравнения параболического типа l Начальные условия: l Граничные условия:

1. Уравнения и краевые задачи 1. 6. Волновые процессы l Волновое уравнение – уравнение гиперболического типа l Начальные условия: l Граничные условия – см. предыдущий слайд

1. Уравнения и краевые задачи 1. 6. Волновые процессы l l Уравнения Максвелла Каждое из этих уравнений для электрически однородной среды приводится к системе волновых уравнений:

1. Уравнения и краевые задачи 1. 6. Волновые процессы l Вводя электростатический и векторный потенциалы: l для однородных сред можно получить уравнения Д’Аламбера:

1. Уравнения и краевые задачи 1. 6. Волновые процессы l Для численных расчетов остановимся на модели, основанной на непосредственном численном решении уравнений Максвелла: l Внутренние задачи: l Внешние задачи:

1. Уравнения и краевые задачи 1. 7. Граничные и начальные условия для внутренних задач l Граничные условия: или l На границе с идеальным проводником: или l Источники колебаний

1. Уравнения и краевые задачи 1. 7. Граничные и начальные условия для внутренних задач l Начальные условия:

1. Уравнения и краевые задачи 1. 8. Решение внешних задач l Источники излучения:

2. Методы дискретизации

2. Методы дискретизации 2. 1. Метод сеток

2. Методы дискретизации 2. 2. Проекционные методы l Метод конечных элементов

3. Метод сеток: разностная аппроксимация на прямоугольной сетке

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 1. Сетки и сеточные функции l Одномерная область: 0 0 1 i-1 xi i hi xi+1 L N-1 N x

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 1. Сетки и сеточные функции l l Сетка по временной переменной: Произведение сеток:

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 1. Сетки и сеточные функции t 1 x 0 1

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 1. Сетки и сеточные функции l Двумерная область: l Сетка:

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 1. Сетки и сеточные функции y x

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 1. Сетки и сеточные функции l l Обозначим внутренние узлы, принадлежащие G: Узлы на границе Г– граничные узлы : - дискретная модель области

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 1. Сетки и сеточные функции

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 1. Сетки и сеточные функции l Пространственно-временная сетка для двумерных нестационарных краевых задач: l Точки l-го временного слоя:

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 1. Сетки и сеточные функции l Двумерная область произвольной формы: П Г G x y

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 2. Разностная аппроксимация: основные понятия l Разностная аппроксимация линейного оператора L: Определение 1. Погрешностью разностной аппроксимации линейного дифференциального оператора будем называть сеточную функцию:

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 2. Разностная аппроксимация: основные понятия Определение 2. Конечно-разностный оператор аппроксимирует дифференциальный оператор сетке , если при Определение 3. аппроксимирует на сетке дифференциальный оператор с порядком на , если

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 3. Аппроксимация производных hk=h 0 0 1 k-1 xk k xk+1 L N-1 N x

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 3. Аппроксимация производных

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 3. Аппроксимация производных -

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 3. Аппроксимация производных

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 3. Аппроксимация производных 3 u 4 1 2 0 xk-1 xk xk+1 x

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 3. Аппроксимация производных +

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 3. Аппроксимация производных

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 3. Решение краевой задачи для ОДУ методом сеток h=L/N x 0 X=0 x 1 … xk-1 xk xk+1 … x. N X=L x

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 3. Решение краевой задачи для ОДУ методом сеток

3. Метод сеток 3. 2. Решение краевой задачи для ОДУ методом сеток

3. Разностная аппроксимация на прямоугольной сетке 3. 2. Разностная аппроксимация: основные понятия Определение 4. Конечно-разностный оператор аппроксимирует дифференциальный оператор сетке , если при Определение 3. аппроксимирует на сетке дифференциальный оператор с порядком на , если

3. Метод сеток 3. 4. Решение стационарных (эллиптических) уравнений Рассмотрим задачу Дирихле для двумерного уравнения Лапласа в декартовой системе координат y 1 1 х

3. Метод сеток 3. 4. Решение стационарных (эллиптических) уравнений y h=1/n yn=1 yj (k, j) Uk, j y 1 y 0=0 Х 1 Хk Хn=1 х

3. Метод сеток 3. 4. Решение стационарных (эллиптических) уравнений

3. Метод сеток 3. 4. Решение стационарных (эллиптических) уравнений Разностное уравнение – уравнение, полученное путем замены производных в исходном ДУ конечно-разностными аппроксимациями Вычислительный шаблон – совокупность узлов сетки, участвующих в аппроксимации производных в одном из узлов Разностная схема – разностное уравнение + дискретные аналоги граничных (и начальных) условий

3. Метод сеток 3. 5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби Обозначим Ukj (s) - приближенное значение функции на s-й итерации в узле (k, j). Ukj (0) - начальное приближение в этом узле. Метод Якоби (метод одновременных смещений): Начальные значения на 0 -й итерации:

3. Метод сеток 3. 5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби 1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массивы Ua[0. . n, 0. . n], Ub[0. . n, 0. . n]. 2. Положить v: =0; 3. Для i=1. . n-1 выполнить x: =i*h; y: =i*h; Ua[0, i]: =g(0, y); Ua[n, i]: =g(1, y); Ua[i, 0]: =g(x, 0); Ua[i, n]: =g(x, 1); Ub[0, i]: =g(0, y); Ub[n, i]: =g(1, y); Ub[i, 0]: =g(x, 0); Ub[i, n]: =g(x, 1); v: =v+g(0, y)+g(1, y)+g(x, 0)+g(x, 1); 4. Положить v: = v/4/(n-1) 5. Для k=1. . n-1, j=1. . n-1 выполнить Ua[k, j]: =v

3. Метод сеток 3. 5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби Ua Ub

3. Метод сеток 3. 5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби 1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массивы Ua[0. . n, 0. . n], Ub[0. . n, 0. . n]. 2. Положить v: =0; 3. Для i=1. . n-1 выполнить x: =i*h; y: =i*h; Ua[0, i]: =g(0, y); Ua[n, i]: =g(1, y); Ua[i, 0]: =g(x, 0); Ua[i, 1]: =g(x, 1); Ub[0, i]: =g(0, y); Ub[n, i]: =g(1, y); Ub[i, 0]: =g(x, 0); Ub[i, 1]: =g(x, 1); v: =v+g(0, y)+g(1, y)+g(x, 0)+g(x, 1); 4. Положить v: = v/4/(n-1) 5. Для k=1. . n-1, j=1. . n-1 выполнить Ua[k, j]: =v

3. Метод сеток 3. 5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби 6. Выполнять в цикле Положить δ: =0; Для k=1. . n-1, j=1. . n-1 выполнить Ub[k, j]: =(Ua[k-1, j]+ Ua[k+1, j]+Ua[k, j-1]+ Ua[k, j+1])/4; Для k=1. . n-1, j=1. . n-1 выполнить Ua[k, j]: =(Ub[k-1, j]+ Ub[k+1, j]+Ub[k, , j-1]+ Ub[k, , j+1])/4. Если δ<| Ua[k, j]-Ub[k, j]|, положить δ: =| Ua[k, j]-Ub[k, j]| До тех пор, пока δ> ε 7. Вывести массив Ua 8. Завершить работу

3. Метод сеток 3. 5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби Ua 0 -я итерация Ub

3. Метод сеток 3. 5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби Ua Ub

3. Метод сеток 3. 5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби Ua 0 -я итерация Ub 1 -я итерация

3. Метод сеток 3. 5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби Ua Ub

3. Метод сеток 3. 5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби Ua Ub δ

3. Метод сеток 3. 5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби Ua Ub

3. Метод сеток 3. 5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби Ua 2 -я итерация Ub 1 -я итерация

3. Метод сеток 3. 6. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Либмана Обозначим Ukj (s) - приближенное значение функции на s-й итерации в узле (k, j). Ukj (0) - начальное приближение в этом узле. Метод Либмана (метод последовательных смещений): Начальные значения на 0 -й итерации:

3. Метод сеток 3. 6. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Либмана 1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массив U[0. . n, 0. . n], 2. Положить v: =0; 3. Для i=1. . n-1 выполнить x: =i*h; y: =i*h; U[0, i]: =g(0, y); U[n, i]: =g(1, y); U[i, 0]: =g(x, 0); U[i, 1]: =g(x, 1); v: =v+g(0, y)+g(1, y)+g(x, 0)+g(x, 1); 4. Положить v: = v/4/(n-1) 5. Для k=1. . n-1, j=1. . n-1 выполнить U[k, j]: =v

3. Метод сеток 3. 5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби U

3. Метод сеток 3. 6. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Либмана 1. Задать n, ε, положить h=1/n. Разместить в памяти массив U[0. . n, 0. . n], 2. Положить v: =0; 3. Для i=1. . n-1 выполнить x: =i*h; y: =i*h; U[0, i]: =g(0, y); U[n, i]: =g(1, y); U[i, 0]: =g(x, 0); U[i, 1]: =g(x, 1); v: =v+g(0, y)+g(1, y)+g(x, 0)+g(x, 1); 4. Положить v: = v/4/(n-1) 5. Для k=1. . n-1, j=1. . n-1 выполнить U[k, j]: =v

3. Метод сеток 3. 5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби 6. Выполнять в цикле Положить δ: =0; Для k=1. . n-1, j=1. . n-1 выполнить Положить q: =U[k, j]: =(U[k-1, j]+ U[k+1, j]+U[k, j-1]+ U[k, j+1])/4 Если δ<| U[k, j]-q|, положить δ: =| U [k, j]-q]| До тех пор, пока δ> ε 7. Вывести массив U 8. Завершить работу.

3. Метод сеток 3. 5. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод Якоби U

3. Метод сеток 3. 7. Итерационные методы решения разностных уравнений. Метод последовательной верхней релаксации (ПВР) Обозначим Ukj (s+1) - приближенное значение функции на s+1 -й итерации в узле (k, j), полученное по методу Либмана. Приближенное значение функции на s+1 -й итерации в узле (k, j), полученное по методу ПВР: Uk, j s

3. Метод сеток 3. 7. Экстраполяция по Ричардсону

3. Метод сеток 3. 8. Неоднородное стационарное уравнение и область решения произвольной формы y х

3. Метод сеток 3. 8. Неоднородное стационарное уравнение и область решения произвольной формы h=1/n y yn yj (k, j) Uk, j y 1 y 0=0 Х 1 Хk Хn=1

3. Метод сеток 3. 9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности t x

3. Метод сеток 3. 9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности

3. Метод сеток 3. 9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности k=1, 2. . n-1; j=0, 1, 2, , ,

3. Метод сеток 3. 9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности

3. Метод сеток 3. 9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности j=0, k=1, 2, , , n-1

3. Метод сеток 3. 9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности

3. Метод сеток 3. 9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности j=1, k=1, 2, , , n-1

3. Метод сеток 3. 9. Явная разностная схема для уравнения теплопроводности

3. Метод сеток 3. 10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость

3. Метод сеток 3. 10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость Разностная схема называется корректной, если: 1. её решение существует и оно единственно при любых ограниченных правых частях. 2. такое m > 0, m m(h), что для любой

3. Метод сеток 3. 10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость Теорема: Пусть исходная задача поставлена корректно, разностная схема корректна, и аппроксимирует исходную задачу. Тогда решение разностной задачи сходится к решению исходной задачи (1), причём порядок малости погрешности совпадает с порядком аппроксимации (2).

3. Метод сеток 3. 10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость Доказательство (1):

3. Метод сеток 3. 10. Аппроксимация, устойчивость, сходимость Доказательство (2):

3. Метод сеток 3. 11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник k=1, 2. . n-1; j=0, 1, 2, , ,

3. Метод сеток 3. 11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник

3. Метод сеток 3. 11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник Условие устойчивости: |ql| 1.

3. Метод сеток 3. 11. Исследование устойчивости явной разностной схемы методом гармоник

3. Метод сеток 3. 12. Схема Кранка-Никольсона. 0 < x < 1, t > 0

3. Метод сеток 3. 12. Схема Кранка-Никольсона. k-1, j+1 k, j k+1, j+1

3. Метод сеток 3. 12. Схема Кранка-Никольсона.

3. Метод сеток 3. 12. Схема Кранка-Никольсона. где 0 1

3. Метод сеток 3. 12. Схема Кранка-Никольсона. При = 1/2 k, j+1 k, j

3. Метод сеток 3. 13. Метод прямых с конечно-разностной аппроксимацией 0 < x < 1, t > 0

3. Метод сеток 3. 13. Метод прямых с конечно-разностной аппроксимацией

4. Проекционные методы 4. 1. Аппроксимация и интерполяция

4. Проекционные методы 4. 1. Аппроксимация и интерполяция ,

4. Проекционные методы 4. 1. Аппроксимация с помощью взвешенных невязок

4. Проекционные методы 4. 2. Аппроксимация функций методом Галеркина

4. Проекционные методы 4. 3. Аппроксимация функций методом коллокаций

4. Проекционные методы 4. 4. Аппроксимация решений дифференциальных уравнений

4. Проекционные методы 4. 5. Кусочные аппроксимации U(x), 0 ≤ x ≤ l в N точках x 1, x 2, …, x. N, U(xj)=Uj.

4. Проекционные методы 4. 5. Кусочные аппроксимации U(x) x 1 x 2 x N - 1 x l = N x

4. Проекционные методы 4. 5. Кусочные аппроксимации

4. Проекционные методы 4. 5. Кусочные аппроксимации x 3

4. Проекционные методы 4. 5. Кусочные аппроксимации В методе коллокаций

4. Проекционные методы 4. 5. Кусочные аппроксимации

4. Проекционные методы 4. 6. Вариационный подход к приближенному решению ДУ