МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. Замена

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. 2. Несобственные интегралы.

Вопрос 1. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле 1. 1. Метод замены переменной Т. 1. 1. (замена переменной в определенном интеграле) Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда, если: 1) функция x = (t) и ее производная x′ = ′(t) непрерывны на отрезке [ ; ]; 2) множеством значений функции x = (t) является отрезок [a; b]; 3) ( ) = a, ( ) = b,

то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле: (1)

Замечание 1. При вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется. 2. Часто вместо подстановки x = (t) применяют подстановку t = g(x). 3. При использовании формулы (1) необходимо проверять выполнение перечисленных в теореме условий. Если эти условия нарушаются, то может быть получен и неверный результат.

Пример 1. Вычислить Решение

1. 2. Интегрирование по частям Т. 1. 2. (интегрирование по частям в определенном интеграле) Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b], то справедлива формула интегрирования по частям в определенном интеграле:

Пример 2. Вычислить интеграл Решение

Вопрос 2. Несобственные интегралы О. 2. 1. Определенный интеграл где промежуток интегрирования [a; b] конечен, а подынтегральная функция f(x) непрерывна (ограничена) на отрезке [a; b], называется собственным интегралом. Если хотя бы одно из двух выше указанных условий нарушается, то интеграл называется несобственным.

2. 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы I-го рода) Пусть функция y = f(x) непрерывна на полуинтервале [a; + ). О. 2. 2. Несобственным интегралом I-го рода от функции f(x) на промежутке [a; + ) называется предел интеграла при b + : (2)

Если предел (2) существует и конечен, то несобственный интеграл (3) называется сходящимся. Если предел (2) не существует или бесконечен, то интеграл (3) называется расходящимся.

Геометрический смысл несобственного интеграла Известно, что определенный интеграл представляет собой площадь S области, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и прямыми x = a, x = b.

По аналогии с определенным интегралом с геометрической точки зрения несобственный интеграл представляет собой площадь S бесконечной области, ограниченной кривой y = f(x), осью Ox и прямой x = a.

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции f(x) на промежутке (‒ ; b]: Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой где с – произвольное число. В этом случае интеграл слева сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Пример 3. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. предел существует интеграл сходится. предел не существует интеграл расходится.

Замечание Если F(x) - первообразная для функции f(x), то по основной формуле интегрирования можно записать:

2. 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы II-го рода) Пусть функция y = f(x) определена на промежутке [a; b). О. 2. 3. Точка x = b называется особой точкой для функции f(x), если f(x) не ограничена в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке, заключенном в полуинтервале [a; b).

Пусть функция y = f(x) не ограничена в окрестности точки b (т. е. в точке x = b имеет бесконечный разрыв), но при любом достаточно малом > 0 является ограниченной и интегрируемой на отрезке [a; b ‒ ].

О. 2. 4. Несобственным интегралом II-го рода от функции f(x) по отрезку [a; b], где x = b – особая точка, называется предел интеграла при 0+0: (4) Если предел (4) существует и конечен, то несобственный интеграл (5) называется сходящимся.

Если предел (4) не существует или бесконечен, то интеграл (5) называется расходящимся. Аналогично, если x = a - особая точка, то несобственный интеграл II-го рода определяется так: Если x = c - особая точка и c (a; b), то несобственный интеграл II-го рода определяется формулой (6)

Интеграл слева в формуле (6) сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба несобственных интеграла, стоящих справа. Если x = a и x = b - особые точки, то несобственный интеграл II-го рода так же определяется формулой (6), в которой с – любая точка из интервала (a; b). Замечание Особых точек может быть конечное число.

Пример 4. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. Интеграл сходится. Интеграл расходится.