Методы вычисления матричной экспоненты Метод Кэли-Гамильтона Метод

Методы вычисления матричной экспоненты

Метод Кэли-Гамильтона Метод на основе теоремы Сильвестра Метод комплексной переменной Метод передаточных функций Разложение в бесконечный ряд

Теорема Кэли-Гамильтона Обобщение матрицы А к диагональному виду Ap=MΛM-1 позволяет получить интересное соотношение. Если N(λ) – многочлен от λ, вида N(λ)=λn+c 1λn-1+…+cn-1λ+cn, тогда согласно обобщению многочлен с переменной А равен N(A)=MΛM-1 Если выбранный многочлен является характеристическим многочленом, т. е. N(λ)=P(λ), то N(λ)=N(λ 1)= N(λ 2)=…= N(λn)=0. Р(А)=0, то P(λ)=I λE-AI. Из теоремы следует, что матрица А удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению.

Теорема Кэли-Гамильтона

Метод на основе теоремы Кэли. Гамильтона

Теорема Сильвестра

Метод комплексной переменной (Частотный метод)

Метод комплексной переменной

Метод передаточных функций

Разложение в бесконечный ряд Рассмотрим бесконечный ряд по скалярной переменной x: S(x)=a 0+a 1 x+a 2 x 2+…= Если аргумент данного бесконечного ряда изменить квадратной матрицей А n-го порядка, то бесконечный ряд запишется по другому: S(A)=a 0 In+a 1 A+a 2 A 2+…= Можно показать, что при стремлении k к бесконечности данный ряд сходится, если сходятся соответствующие скалярные ряды S(λi), i=1, 2, …n где λi – характеристические числа.

Разложение в бесконечный ряд