Методы сравнения нескольких совокупностей данных более 2 х

Методы сравнения нескольких совокупностей данных (более 2 х) ANOVA Многофакторный дисперсионный анализ

Основные положения Многофакторный дисперсионный анализ используется для анализа факторных экспериментов (ФЭ). В ФЭ исследуется не одна, а несколько причинных переменных (независимых переменных), в том числе их взаимодействие (совокупное влияние – сложные, комбинаторные гипотезы). Например, многофакторная ANOVA позволяет проверить следующую комбинаторную гипотезу: повышение вознаграждения увеличивает скорость решения задач у высокоинтеллектуальных испытуемых и снижает у низкоинтеллектуальных (Сидоренко Е. , 2003).

Основные положения • Результирующая переменная (зависимая переменная) должна быть метрической, иметь нормальный закон распределения и равные дисперсии • В многофакторной ANOVA принято анализировать: o Основные эффекты каждого фактора в отдельности (как в однофакторной ANOVA) o Взаимодействие факторов (факторные схемы) • Если по факторам обнаруживаются различия, тогда переходят к плановым сравнениям (Turkey, Scheffe , …) • У каждого фактора должно быть не менее 2 х градаций. Например, 1) 2) 3) фактор А / интеллект: низкий – высокий (2 градации); фактор В / статус: низкий – средний – высокий (3 градации); Фактор С / пол: мужской – женский (2 градации).

фактор В В 1 В 2 В 3 Основные положения фактор А А 1 А 2 Комбинация факторов образует ячейки. Например, в двухфакторной схеме, если фактор А (интеллект) имеет 2 градации, а фактор В (статус) имеет 3 градации, тогда количество ячеек (комбинаций) будет равно 2*3 = 6 Комплекс должен быть полным: каждому условию фактора А должно соответствовать одинаковое количество условий В, С … (если фактор А имеет 2 градации, В – 4, С – 5, D -2, тогда кол-во сочетаний = 2*4*5*2 = 80; все комбинации должны присутствовать в анализе) Количество наблюдений в факторных ячейках равны и не меньше 2 х

взаимодействие факторов / факторные схемы Взаимодействие факторов (совокупное сложное влияние) может быть выражено по-разному в каждом конкретном случае. Взаимодействие может быть нулевым (нет совокупного влияния), пересекающимся и расходящимся. Его можно представить в виде факторной схемы:

взаимодействие факторов / факторные схемы Изменения показателей Доминантности в зависимости от порядка рождения у мужчин и женщин (Harris А. К. , Morrow К. В. , 1992, р. 115) В этом исследовании доминантность у мужчин снижалась с увеличением порядка рождения, а у женщин – повышалась. В общем, влияние фактора «пол» = 0, влияние фактора «порядок рождения» = 0, а взаимодействие факторов ≠ 0 (пересекающееся взаимодействие).

взаимодействие факторов / факторные схемы

двухфакторный дисперсионный анализ для независимых совокупностей данных

Двухфакторный дисперсионный анализ основные положения В двухфакторном дисперсионном анализе общая вариативность раскладывается на вариативность обусловленную действием фактора А, фактора В, их сочетанием АВ и случайную (внутригрупповую, остаточную): Qо QА QВ QАВ = + общая вариативность Фактор А Qвн Фактор В Взаимодействие факторов АВ случайная вариативность

Двухфакторный дисперсионный анализ основные положения N - общее количество наблюдений n - количество наблюдений (испытуемых) в отдельно взятой подгруппе a - количество уровней (градаций) фактора A (i уровни) b - количество уровней (градаций) фактора B (j уровни)

Двухфакторный дисперсионный анализ основные положения В двухфакторном дисперсионном анализе формулируются три пары статистических гипотез СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ (1): Н 0: все уровни условий фактора A имеют одинаковые эффекты обработки (т. е. a 1 = a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = ai) Н 1: не все уровни условий фактора A имеют одинаковые эффекты СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ (2): Н 0: все уровни условий фактора B имеют одинаковые эффекты обработки (т. е. b 1 = b 2 = b 3 = b 4 = b 5 = bj) Н 1: не все уровни условий фактора B имеют одинаковые эффекты СТАТИСТИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ (3): Н 0: уровни фактора А при каждом В имеют одинаковые эффекты АВ=0 (ab 11=ab 12=ab 13. . =ab 21. . =ab 32. . abij) Н 1: уровни фактора А при каждом В имеют не одинаковые

Двухфакторный дисперсионный анализ этапы вычислений фактор В В 1 В 2 В 3 фактор А А 1 А 2 15 16 21 18 14 25 25 13 26 17 18 12 21 26 28 11 10 15

Двухфакторный дисперсионный анализ этапы вычислений Qо QА ? 6086, 7 QВ 6086, 7 ? ? 6086, 7 фактор В В 1 В 2 В 3 фактор А А 1 А 2 15 +16+21+ 15 16 21 +18+14+25+ 18 14 25 15 +16+21+18+14+25 +25+13+26+ 17+18+12 +21+26+28+11+10+15 +25+13+26+ 25 13 26 +17+18+12+ 17 18 12 =331 (331)2 = 109561 +21+26+28+ 21 26 28 +11+10+15 11 10 15 109561 = 6086, 7 18

Двухфакторный дисперсионный анализ этапы вычислений Qо 554, 3 6641 ? 6086, 7 фактор В В 1 В 2 В 3 фактор А А 1 А 2 2 +162 21 1515 16 +212+ +182+142+252+ 18 14 25 +252+132+262+ 25 13 26 +172+182+122+ 17 18 12 +212+262+282+ 21 26 28 +112+102+152 11 10 15 225+256+441+324+196+625+1 69+676+289+324+144+441+676+78 4+121+100+225= 6641

Двухфакторный дисперсионный анализ этапы вычислений QА 144, 5 6231, 2 ? 6086, 7 фактор В В 1 В 2 В 3 фактор А А 1 А 2 15 +16+21+ 15 16 21 18+14+25+ 18 14 25 +25+13+26+ 25 13 26 +17+18+12+ 17 18 12 (191)2 + (140)2 = 56081 +21+26+28 21 26 28 +11+10+15 11 10 15 56081 = 6231, 2 3*3 191 140

Двухфакторный дисперсионный анализ этапы вычислений QВ 0, 5 ? 6087, 2 6086, 7 фактор В В 1 В 2 В 3 фактор А А 1 А 2 15 16 21 15 +16+21+ 18 14 25 +18+14+25 109 25 13 26 25+13+26+ 17 18 12 +17+18+12 111 21 26 28 21+26+28+ 11 10 15 +11+10+15 111 (109)2 + (111)2 = 36523 = 6087, 2 3*2

Двухфакторный дисперсионный анализ этапы вычислений QАВ 161, 3 6393 ? 6086, 7 144, 5 0, 5 фактор В В 1 В 2 В 3 фактор А А 1 А 2 15 +16+21 15 16 21 52 18+14+25 18 14 25 25+13+26 25 13 26 64 17+18+12 17 18 12 75 11+10+15 11 10 15 21+26+28 21 26 28 57 47 36 (52)2 + (64)2 + (75)2 + (57)2 + (47)2 + (36)2 = 19179 = 6393 3

Двухфакторный дисперсионный анализ этапы вычислений Qвн 248 554, 3 144, 5 0, 5 161, 3

Двухфакторный дисперсионный анализ этапы вычислений степени свободы QА QВ QАВ 144, 5 Qa dfa = a – 1 1 0, 5 dfb = b – 1 dfab = (a – 1)(b – 1) 2 Qвн 248 MSA= df a Qb 2 161, 3 дисперсии MSB= df b Qab MSAB= df ab Qвн dfвн = N – ab 12 MSвн= df вн 144, 5 0, 25 80, 65 20, 67

Двухфакторный дисперсионный анализ этапы вычислений QА QВ dfa = 1 MSA= 144, 5 MSа F(df ; df ) = MS a dfb = 2 MSB= 0, 25 QАВ dfab = 2 MSAB= 80, 65 Qвн dfвн = 12 MSвн= 20, 67 вн вн F(2; 12) = 6, 99

Двухфакторный дисперсионный анализ этапы вычислений QА dfa = 1 MSA= 144, 5 QВ dfb = 2 MSB= 0, 25 MSb F(df ; df ) = MS b QАВ dfab = 2 MSAB= 80, 65 Qвн dfвн = 12 MSвн= 20, 67 вн вн F(1; 12) = 0, 01

Двухфакторный дисперсионный анализ этапы вычислений QА dfa = 1 MSA= 144, 5 QВ dfb = 2 MSB= 0, 25 QАВ dfab = 2 MSAB= 80, 65 Qвн dfвн = 12 MSвн= 20, 67 F(df ab; dfвн = MSab ) MS вн F(2; 12) = 3, 90

Двухфакторный дисперсионный анализ этапы вычислений F(2; 12)0, 05= 3, 89 F(1; 12)0, 05= 4, 76 F(2; 12)0, 01= 6, 93 F(1; 12)0, 01= 9, 33

Двухфакторный дисперсионный анализ этапы вычислений фактор A фактор В F(1; 12) = 6, 99 F(2; 12) = 0, 01 Н 0 взаимодействие AВ F(2; 12) = 3, 90 Н 0 F(1; 12)0, 05= 4, 76 F(1; 12)0, 01= 9, 33 F(2; 12)0, 05= 3, 89 F(2; 12)0, 01= 6, 93

Двухфакторный дисперсионный анализ этапы вычислений / факторная схема фактор В В 1 В 2 В 3 фактор А А 1 А 2 52 57 80 75 70 65 64 47 60 A 1 55 A 2 50 45 75 36 40 35 30 B 1 B 2 B 3

Двухфакторный дисперсионный анализ задача Исследователь изучал мотивационные особенности в зависимости от пола и статуса (руководитель – исполнитель) испытуемых. Зависимая переменная: Ex – потребность привлекать к себе внимание (PRF Джексона) Статистические гипотезы (А - пол): o Н 0: выраженность потребности привлекать к себе внимания одинакова в группах мужчин и женщин o Н 1: …. различна в группах мужчин и женщин Статистические гипотезы (В - статус): o Н 0: выраженность потребности привлекать к себе внимания одинакова в группах руководителей и исполнителей o Н 1: …. различна в группах руководителей и исполнителей Статистические гипотезы (АВ - взаимодействие): o Н 0: выраженность потребности привлекать к себе внимания одинакова в группах руководителей мужчин и женщин и исполнителей мужчин и женщин o Н 1: выраженность потребности привлекать к себе внимания по разному выражена в зависимости от сочетания пола и статуса

Двухфакторный дисперсионный анализ задача Фактор A – пол a = 2 Фактор B – статус b = 2 n = 12 N = 48 Руководители (B 1) Исполнители (B 2) Мужчины (А 1) 14 12 16 9 15 6 10 9 10 14 12 16 10 15 14 20 9 16 11 11 20 3 Женщины (А 2) 19 18 12 10 12 14 16 16 15 16 8 15 12 9 10 10 5 12 9 2 10 16 6 9

Двухфакторный дисперсионный анализ задача

Двухфакторный дисперсионный анализ задача 16. 0 15. 0 14. 0 13. 0 12. 0 11. 0 10. 0 9. 0 8. 0 Ex исп рук муж 12, 8 11, 9 исп рук муж жен 9, 2 пол 14, 3 стат пол*ст дисп 5, 33 52, 08 108, 00 жен F 0, 37 3, 59 7, 44 знач 0, 547 0, 065 0, 009 Tukey женщ исп/рук мужч исп/рук руков женщ/мужч испол женщ/мужч знач 0, 011 0, 935 0, 446 0, 101

ANOVA В зависимости от экспериментального плана принято различать 4 разновидности ANOVA: Однофакторный дисперсионный анализ / One-Way ANOVA Однофакторный дисперсионный анализ с повторными измерениями (зависимые выборки) / Repeated Measure ANOVA Многофакторный дисперсионный анализ (двух, трех – и т. д. ) / 2 -Way ANOVA, 3 -Way ANOVA, 4 -Way ANOVA …. Многомерный дисперсионный анализ / MANOVA + Фиксированные и случайные эффекты

ANOVA Комментарии к допущениям и ограничениям: 1. Соответствие выборочных данных нормальному закону распределения. - Нарушение этого условия (когда выборки не соответствуют закону нормального распределения) не оказывает существенного влияние на качество дисперсионного анализа [Гласс, Стэнли, 1977]. Следовательно, проверка на соответствие закону нормального распределения не требуется. 2. Равенство дисперсий между условиями фактора (факторов) - Критично в случае, когда объемы выборок существенно отличаются - Влияет на выбор критерия для множественных парных сравнений (при равных дисперсиях – Sheffe, при неравных – Dunnett’s

Однофакторный дисперсионный анализ / One-Way ANOVA

Многофакторный дисперсионный анализ (двух, трех – и т. д. ) 2 -Way ANOVA, 3 -Way ANOVA, 4 -Way ANOVA …. Все факторы Проф. группы Фактор пола взаимодействие

Многофакторный дисперсионный анализ (двух, трех – и т. д. ) 2 -Way ANOVA, 3 -Way ANOVA, 4 -Way ANOVA ….

Многофакторный дисперсионный анализ (двух, трех – и т. д. ) 2 -Way ANOVA, 3 -Way ANOVA, 4 -Way ANOVA …. взаимодействие

Многофакторный дисперсионный анализ (двух, трех – и т. д. ) 2 -Way ANOVA, 3 -Way ANOVA, 4 -Way ANOVA ….

Теппинг тест Однофакторный дисперсионный анализ с повторными измерениями (зависимые выборки) / Repeated Measure ANOVA

Однофакторный дисперсионный анализ с повторными измерениями (зависимые выборки) / Repeated Measure ANOVA Соматические расстройства при адаптации к службе экспериментальная Тест 1 контрольная Тест 1 1 год Тест 2 Фактор 1: экспериментальная – контрольная группа Фактор 2: первое тестирование – повторное тестирование

Однофакторный дисперсионный анализ с повторными измерениями (зависимые выборки) / Repeated Measure ANOVA Соматические расстройства при адаптации к службе Многомерный поход и одномерный Использование многомерного подхода корректно

Однофакторный дисперсионный анализ с повторными измерениями (зависимые выборки) / Repeated Measure ANOVA Соматические расстройства при адаптации к службе