МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ ЗАДАЧ Самойлова Людмила Олеговна МАГИСТРАНТ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ ЗАДАЧ Самойлова Людмила Олеговна МАГИСТРАНТ, 1 КУРС

Регрессионный анализ - статистический метод исследования влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную. Событие — всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта как результат предпринятого действия (действий). Признаком отнесенности факта к разряду событий является ответ «да» либо «нет» на вопрос: «Произошло ли событие? » Событиями можно назвать как падение монеты гербом вверх при бросании ( «орел» или «решка» ? ), так и своевременную поставку сырья и др.

События могут быть достоверными, возможными и невозможными. Достоверное событие — событие, которое непременно должно произойти, например выпадение любого количества очков на игральной кости, расход ресурсов при выпуске продукции. Возможное — событие, которое может произойти или не произойти: падение монеты гербом вверх, выполнение плана на 100% и др. Невозможное — событие, которое не может произойти: появление (у игрока) двух тузов при вытаскивании одной карты, выпуск сверхплановой продукции без использования дополнительных ресурсов и др.

Для выражения возможности используют численную меру. события Численную меру возможности события называют вероятностью. Вероятность события A, т. е. P(A), можно вычислить: Р*(А) = m/n Г де m — число случаев, когда событие A может произойти; n — общее число случаев. Вероятность P(A) характеризует возможность появления события А в будущем. Для оценки того, как часто события уже происходили, используют понятие частоты. Частоту события А обозначают Р*(А) = m*/n где m* показывает, сколько раз событие произошло; n — общее число произведенных испытаний. Несовместными называют события, исключающие друга. Так, падение монеты вверх гербом и цифрами — это два несовместных события. Очевидно, что сумма вероятностей всех несовместных событий равна 1. Случайные события можно характеризовать числами. Такие числа называют случайными величинами. Случайная величина может принять то или иное значение, заранее не известное. Например, случайными величинами являются объем поставленных материалов, трудоемкость операции или работы.

Регрессионный анализ представляет собой статистическую процедуру для математического расчета среднего соотношения зависимой и независимой переменных. Выделяют два вида регрессии — простую и множественную. Простая регрессия включает одну независимую переменную, множественная — две и более.

Метод Лагранжа Вся совокупность методов решения управленческих задач делится на две группы: аналитические и численные. При выборе метода решения конкретной задачи следует учесть, что аналитическое решение всегда предпочтительнее численного, так как оно позволяет исследовать влияние различных факторов на оптимальное решение. Однако при решении практических задач не всегда удается получить аналитическое решение. Общего метода решения всех управленческих задач не существует.

Аналитические методы решения управленческих задач опираются на дифференциальное исчисление. Наиболее универсальными среди численных методов являются методы линейного и динамического программирования. Для численных методов решения необходимо иметь четкую область ограничений. Чем меньше эта область, тем проще поиск оптимального решения. Дифференциальное исчисление — метод поиска оптимального решения через вычисление производных оптимизируемой функции. Для отыскания экстремума (максимума, минимума) функции одной переменной J(x) необходимо найти решение уравнения d. J/dx = 0. Если вторая производная меньше нуля, то имеет место максимум функции, если вторая производная больше нуля, то имеет место минимум функции. В случае функции нескольких переменных задача оптимизации сводится к решению систем уравнений, каждое из которых является производной по одной из переменных. Необходимым условием применения метода дифференциального исчисления является дифференцируемость выражения J(x) и в общем случае — отсутствие ограничений.

Метод Лагранжа — метод дифференциального исчисления, применяемый при наличии ограничивающих условий. Этот метод позволяет перейти от оптимизационной задачи с ограничениями к альтернативной оптимизационной задаче без ограничений при совпадении решений. Фактически математическая задача на условный экстремум заменяется задачей на безусловный экстремум, но с увеличением числа неизвестных.

Метод Гаусса — это последовательное изменение состава опорного решения до получения оптимального варианта, не допускающего улучшения, это способ решения оптимизационной задачи, у которой оценка и ограничения являются линейными функциями. Рассмотрим алгоритм метода Гаусса на числовом примере. Постановка задачи: максимизировать 2 x(1) + 3 x(2) + 7 x(3) + 9 x(4) при ограничениях: x(1) + x(2) + x(3) + x(5) = 9; x(1) + 2 x(2) + 4 x(3) + 8 x(4) + x(6) = 24. Это классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Линейное программирование — математический метод, предназначенный для выявления оптимального решения из большого числа возможных вариантов решения задачи, у которой условия позволяют запись в виде линейных соотношений. Линейное программирование применяется для решения задач следующего типа: распределение ресурсов, формирование комбинации кормов, составление портфеля инвестиций, выбор производственной программы. Для постановки задачи линейного программирования необходимо ввести переменные (определяемые) величины, выразить через эти переменные ограничивающие условия и целевую функцию. Для решения задач линейного программирования используют симплекс-метод или графический метод (при наличии двух переменных в решаемой задаче).

Целочисленное программирование Под целочисленным или дискретным программированием понимают задачи, в которых искомые переменные могут принимать только целые значения: число рабочих, разделяемых по рабочим местам, количество единиц оборудования, устанавливаемых на заданной площади, и т. п. Метод ветвей и границ Задача линейного программирования решается без учета целочисленности. На основе полученного решения составляют дополнительные ограничения. Полученное решение новых задач проверяют на целочисленность переменных. Если решение не удовлетворяет требованию целочисленности, на основе каждой из задач составляют две новые аналогично предыдущим и т. д.

Задачи с булевыми переменными В частном случае искомая переменная хj в результате решения может принимать не любое целое значение, а только одно из двух: 0 либо 1. Чтобы такие переменные отличать от обычных, будем их вместо хj обозначать δj. И это уже будет означать, что в результате решения задачи δj может быть равным или 0, или 1, т. е. всегда δj [0; 1]. Такие переменные обычно называют булевыми в честь предложившего их английского математика Джорджа Буля (1815– 1864). С помощью булевых переменных можно решать самые различные по содержанию задачи, в которых надо выбирать из имеющихся различных вариантов.

Дискретное программирование В этих задачах результатом решения должны быть целые, но не любые целые. Пример. Мебельная фабрика выпускает диваны, кресла и стулья. Требуется определить, сколько можно изготовить спинок диванов, подлокотников кресел и ножек стульев при известном удельном расходе ресурсов, чтобы доход был максимальным. Причем выпуск спинок дивана может принимать любое значение, подлокотники изготавливаются парами, т. е. они должны быть кратны двум, а ножки стульев — четырем. Введение булевых переменных дает возможность обеспечить выпуск изделий в кратном заданном количестве. Так, для подлокотников х2 может принимать следующие значения: если в результате решения будет получено δ 21 = 1, а остальные δ 22 = δ 23 = δ 24 = 0, то х2 = 2; если δ 22 = 1, а остальные δ 21 = δ 23 = δ 24 = 0, то х2 = 4 и т. д.

Параметрическое программирование Может быть поставлена и обобщенная параметрическая задача, в которой от параметра t линейно зависят коэффициенты при неизвестных в целевой функции (цены изделий от спроса на них), в системе уравнений (нормы расхода ресурсов от применяемых технологий), свободные члены системы уравнений (наличие ресурсов от предложений поставщиков) Задача параметрического программирования имеет следующий вид:

Дробнолинейное программирование Решение задачи определяется допустимых вариантов из Блочное программирование области В решении экономических задач часто появляются математические модели, в которых отдельные ограничивающие условия содержат все переменные (ограничения, образующие блок-связку), а другие — только часть переменных (ограничения, образующие блоки).

Теория графов Наглядность геометрии широко используют при анализе больших технических и организационных систем. Граф — универсальное средство наглядного представления достаточно разнообразных задач в виде совокупности вершин и ребер. Варианты сочетаний различных ребер и вершин представляют многообразие возможных графов и способов их применения. Сетями представляют различные задачи, в которых исследуют перемещение или выполнение работ во времени. Характеристиками сети являются ее структура и параметры дуг. Структура (топология) сети демонстрирует взаимосвязь различных вершин и направление связывающих их дуг. Каждую вершину сети нумеруют порядковым номером. Начальную вершину в описании движения потоков называют источником, конечную — стоком.

Динамическое программирование – это математический метод поиска оптимального управления, специально приспособленный к многошаговым процессам. Метод динамического программирования опирается на условие отсутствия последействия и условие аддитивности целевой функции. Динамическое программирование дает возможность принять ряд последовательных решений (многошаговый процесс), обеспечивающих оптимальность развития процесса в целом.

Принцип оптимальности Беллмана: на каждом этапе необходимо так распределять ресурс, чтобы от начала данного этапа и до конца процесса распределения доход был максимальным.

Стохастическое программирование Задачи, в которых cj, aij, bi — случайные величины, относят к задачам стохастического программирования. Случайный характер величин указывают различными способами: а) реализацией случайных величин; б) законом распределения случайных величин. Стохастическая постановка целевой функции может быть двух видов: М-постановка и Р-постановка. При М-постановке случайная величина заменяется ее математическим ожиданием: Для решения задачи стохастического программирования в Р-постановке и с вероятностными ограничениями переходят к детерминированному эквиваленту.

Теория игр Методами обоснования решений в условиях неопределенности и риска занимается математическая теория игр. В теории игр рассматриваются такие ситуации, когда имеются два участника выполнения операции, каждый из которых преследует противоположные цели. В качестве участников могут выступать коллективы, конкурирующие предприятия и т. д. Во всех случаях предполагается, что операция проводится против разумного противника (конкурента), преследующего свои собственные цели и сознательно противодействующего достижению цели другим участником. Так как цели противоположны, а результат мероприятия каждой из сторон зависит от действий конкурента, то эти действия называют конфликтными ситуациями. В конфликтной ситуации сталкиваются противоположные интересы двух участников.

Формализованная (схематизированная) модель конфликтной ситуации называется игрой. Результат игры — победа или поражение, которые не всегда имеют количественное выражение, можно выразить (условно) числами (например, в шахматах: 1, 0, 1/2).

Игра называется игрой с нулевой суммой, если один из игроков выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой. Развитие игры во времени представляется как ряд последовательных ходов. Ходы могут быть сознательными и случайными. Случайный ход — результат, получаемый не решением игрока, а каким либо механизмом случайного выбора (покупательский спрос, задержка с поставкой материалов и т. п. ). Сознательный ход —выбор игроком одного из возможных вариантов действия (стратегии) и принятие решения об его осуществлении. Возможные варианты (исходы) игры сводятся в прямоугольную таблицу — платежную матрицу, в которой строки соответствуют различным стратегиям игрока А, столбцы — стратегиям игрока В, – называется ценой игры. Цель теории игр — выработка рекомендаций для различного поведения игроков в конфликтной ситуации, т. е. выбор оптимальной стратегии для каждого из них.

«Игры с природой» В случае, когда между сторонами (участниками) отсутствует «антагонизм» (например, в процессе работы предприятий и торговых посредников), такие ситуации называют играми с природой. Здесь первая сторона принимает решение, а вторая сторона — «природа» — не оказывает первой стороне сознательного, агрессивного противодействия, но ее реальное поведение неизвестно.

Решения могут приниматься по результатам анализа ряда критериев. 1. Критерий, основанный на известных вероятностных состояниях «природы» (например, спроса по данным анализа за прошлые годы)

2. Максиминный критерий Вальда. Здесь выбирается решение торговой организации, при котором гарантируется максимальный выигрыш в наихудших условиях внешней среды (состояния «природы» ). 3. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица. Здесь представляется логичным, чтобы при выборе решения вместо двух крайностей в оценке ситуации (оптимум-пессимизм) придерживаться некоторого компромисса, учитывающего возможность как наихудшего, так и наилучшего поведения «природы» . В соответствии с этим компромиссным критерием для каждого решения будет линейная комбинация минимального и максимального выигрышей и выбирается тот, для которого эта величина окажется наибольшей.

4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа. Здесь выбирают ту стратегию, при которой величина риска имеет минимальное значение в самой неблагоприятной ситуации, чтобы избежать слишком большого риска при выборе решения.

Пример. Рассмотрим игровую следующей платежной матрице Старые товары ситуацию Новые товары Н 1 С 2 С 3 при Н 2 Н 3 9 (0, 6) 6 (0, 3) 4 (0, 6) 8 (0, 2) 3 (0, 7) 7 (0, 2) 5 (0, 1) 5 (0, 4) 8 (0, 5) Известна матрица условных вероятностей Pij продажи старых товаров С 1, C 2, C 3 при наличии новых товаров Н 1, Н 2, H 3. Определить наиболее выигрышную политику продаж. Решение. Минимальный выигрыш

Эвристическое программирование — методы решения задач, опирающиеся на опыт принятия решений.

Применительно к задачам управления эвристическое программирование реализуется через: • использование интуитивного метода. Метод решения может вытекать из практики прошлых действий, которая себя оправдала в большинстве случаев; • задание экспертного варианта. Задача управления облегчается, если специалист предлагает опорный вариант решения задачи. Вблизи его можно проверить изменение критерия эффективности при варьировании отдельных параметров; • замену одной задачи на другую. В этом случае модель не будет строго отражать существо рассматриваемой ситуации, но для выработки решения можно использовать алгоритм решения выбранной задачи; • сужение области исследования. Поиск оптимального варианта может упроститься, если ввести дополнительные ограничивающие условия.

Эвристическое программирование не является строгим методом решения управленческих задач. При составлении эвристической программы используется опыт специалистов в данной области, формализуемой в виде правил, эмпирических зависимостей, вычислительных алгоритмов. Эвристическое программирование дает возможность найти решение в тех случаях, когда классические методы оптимизации бессильны. Методы эвристического программирования применяют в задачах большой размерности, в ситуациях с малым резервом времени.

ИСТОЧНИКИ: 1. Глухов В. В. Менеджмент: Учебник для вузов. 3 -е изд. — СПб. : Питер, 2008. — 608 с. : ил. — (Серия «Учебник для вузов» ). С. 139 -190 Глава 8. Методы решения управленческих задач. 2. Иллюстрации по теме из интернет-источников

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!