Методы решения обратных задач Содержание курса 1

Методы решения обратных задач

Содержание курса 1. Введение. Повторение основных понятий. 2. Специфика прямых и обратных задач для различных геофизических методов 3. Интерпретационная модель 4. Классификация операторов прямой задачи 5. Линеаризация. Дискретизация. 6. Методы решения линейной дискретной обратной задачи 7. Томографическая инверсия

Литература • • • Яновская Т. Б. Обратные задачи геофизики / Т. Б. Яновская, Л. Н. Прохорова. Л. : Изд-во Ленингр. ун-та, 2004. Старостенко В. И. Устойчивые численные методы в задачах гравиметрии / В. И. Старостенко. Киев, 1978. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи / С. И. Кабанихин. Новосибирск: Изд-во Ленингр. ун-та, 2007.

Интернет-источники Malcolm. Sambridge@anu. edu. au

Лекция 1 Специфика прямых и обратных задач для различных геофизических методов

Содержание лекции 1. Введение. 2. Особенности решения прямых и обратных задач • сейсмологии • гравиметрии • магнитометрии • геоэлектрики

Некорректные задачи • Подобные задачи известны с глубокой древности • Систематически изучаться стали с середины 20 в • В настоящее время - перспективная область современной науки • Человек постоянно сталкивается с некорректными задачами при попытке решения любой сложной проблемы

Необходимость решения обратных задач Физика Медицина Геофизика Экология Экономика

Прямые задачи В математической физике под прямыми задачами понимаются задачи моделирования • физических процессов • Физических полей • Физических явлений

Прямые задачи Для решения прямой задачи в общем случае необходимо задать: • область изучения • уравнение, описывающее процесс (поле) • начальные условия • условия на границе

Прямая задача Геофизическое поле Модель Обратная задача

Геофизика Цели геофизических исследований Изучение физических свойств вещества Изучение физических и физико-геологических процессов Изучение пространственного распределения вещества

Разработка методов решения обратных задач – важнейшая задача теоретической физики Теоретическая геофизика Исследование математических постановок геофизических задач Совершенствование математических методов обработки и интерпретации Разработка алгоритмов их решения

Законы математической физики • закон всемирного тяготения Ньютона, • законы Фарадея и Ома, • уравнения электромагнитного поля Максвелла • Закон Гука, принцип Гюйгенса, уравнения Ламе

Особенности прямых задач • Доказаны фундаментальные теоремы существования и единственности решений краевых задач • Численное решение прямых задач геофизики может представлять значительные трудности • Численное решение этих задач важно для правильного понимания и оценки эффективности результатов геофизических наблюдений

Особенности обратных задач • При решении обратной задачи происходит обращение причинно-следственных связей • Каждой прямой задаче может быть сопоставлено много вариантов обратных задач. • Теория обратных задач (как в геофизике, так и вообще в дифференциальных уравнениях) развита значительно меньше, чем теория прямых задач.

Особенности решения прямых и обратных задач сейсмологии Физико-математической основой решения сейсмических задач – взаимно-однозначное соответствие между внутренним механическим строением среды и режимом колебаний ее поверхности при заданных источниках зондирующего сигнала. Математически формулируется через системы дифференциальных уравнений динамической теории упругости – уравнений Ламе.

Основные закономерности, связывающие строение исследуемой среды с регистрируемым зондирующим волновым полем и такие важные физические процессы, как рефракция, преломление, отражение и дифракция волн описываются волновым уравнением

Прямые задачи В прямых задачах Известны источники колебаний, строение и состав среды Определяются режимы колебаний точек внутри и на поверхности исследуемой среды

• Прямые и обратные задачи подразделяются на кинематические и динамические • Кинематические ОЗ - исходными данными являются времена распространения волн того или иного класса и типа, • Динамические OЗ - к кинематическим исходным данным добавляются величины амплитуд, а также характеристики импульсов используемого излучения.

• Обратные задачи относятся к некорректным задачам, требуют разработки специальных алгоритмов решения, включающих регуляризирующие процедуры, существенным является учет априорной информации

Особенности решения прямых и обратных задач геоэлектрики Физико-математической основой решения геоэлектрических задач является связь между характером электромагнитных полей, обусловленных как искусственными, так и естественными источниками и геоэлектрическим строением изучаемого объекта.

Особенность современной геоэлектрики 1. Большое разнообразие методов (более 50) • Методы классической геоэлектрики • Методы неклассической геоэлектрики

• Методы классической геоэлектрики базируется на строгой физико-математической основе электродинамике сплошных сред, что позволяет вывести интерпретацию полученных ими результатов на количественный уровень.

Основная математическая модель теории геоэлектрики - уравнения Максвелла. Они включают в себя все основные законы электромагнетизма (законы Ома, Ампера, Кирхгофа и др. ) и описывают поля в разных средах.

Телеграфное уравнение Получаем электрическую (E) компоненту поля в средах вдали от источника с электромагнитными параметрами ρ, ε, μ:

Прямые задачи классической геоэлектрики. • Если геоэлектрический разрез известен, то с помощью телеграфного уравнения и физических условий задачи, называемых условиями сопряжения, решаются прямые задачи электроразведки, т. е. получаются аналитические или численные значения E и H , которые соответствуют заданному геоэлектрическому разрезу. • В теории электроразведки прямые задачи решаются для разных геофизических моделей сред.

Прямые задачи классической геоэлектрики. Сложность решения прямых задач зависит • от выбора моделей, близких к реальным, моделей чтобы удалось получить хотя бы приближенное решение для E или H. • от выбора структуры первичных полей

При решении прямых задач используются следующие методы: Методы математического моделирования. Методы физического моделирования на объемных или плоскостных моделях сред.

структура первичных полей по возрастанию сложности Поля точечных и дипольных источников постоянного тока Плоские гармонические электромагнитные волны сферические волны дипольных гармонических или импульсных источников цилиндрические волны длинного кабеля

Обратные задачи геоэлектрики • Накопленный материал по физическому и математическому моделированию прямых задач электроразведки привел к созданию методов решения обратных задач, которым свойственно обращение причинно-следственных связей, • Решение обратных задач неоднозначно в силу их некорректности, свойственной обратным задачам математической физики

Методы решения обратных задач геоэлектрики Метод подбора: • Подбор и сравнение полевых графиков и кривых с теоретическими, полученными в результате решения прямых задач.

Неклассическая геоэлектрики изучаются экспериментально наблюдаемые явления, не вписывающиеся в рамки электродинамики. Решение прямых и обратных задач затруднено.

Гравиметрия • Прямые задачи –корректны • поля, созданные телами правильной геометрической формы, можно рассчитать аналитическими способами Особенность – в уравнения описывающие гравитационное поле (интегральные выражения для производных гравитационного потенциала) плотность входит линейным образом

Обратная задача • Обратная задача гравиметрии некорректна и для ее решения необходимо привлекать специальные методы решения

Магнитометрия • по природе и характеру магнитные аномалии оказываются более сложными, чем аномалии силы тяжести. • Эти методы характеризуются различной глубиной изучения разреза.

Прямая задача. • Магнитные поля, созданные однородно намагниченными телами правильной геометрической формы, можно рассчитать аналитическими способами, . В некоторых случаях решение прямой задачи проще получить, используя формулу Пуассона, Пуассона путем пересчета гравитационных эффектов в магнитные.

Обратная задача магнитометрии • Общий характер поля магнитных аномалий определяется не только величиной, но и направлением интенсивности намагничивания горных пород. • Аномалии составляющих геомагнитного поля более зависят от глубины залегания магнитовозмущающих масс, чем аномалии силы тяжести, поскольку магнитные аномалии подобны аномалиям вторых производных потенциала силы тяжести. • Необходимо учитывать специфику выбора магнитной модели геологического разреза, заключающуюся в том, что осадочные породы считаются немагнитными, а магнитные свойства изверженных пород, которые очень сильно зависят от содержания в них ферромагнитных минералов, могут оказаться (как и направление намагниченности) довольно неопределенными.

Вывод • Обратная задача магнитометрии некорректна и для ее решения необходимо привлекать специальные методы решения

Заключение: • Все геофизические методы характеризуются общим методом исследования – наблюдение геофизических полей, анализу их структуры и заключении о глубинном распределении соответствующих физических параметров. • Прямые задачи имеют свою специфику, обусловленную природой изучаемых полей • Главные особенности обратных задач геофизики и методы их решения имеют много общего для разных областей геофизики, что позволяет рассматривать их в целом как обратные задачи геофизики