Методы преобразования математических моделей v v v Идеализация модели Дискретизация модели Линеаризация модели
Методы преобразования математических моделей Математическая модель может подвергаться различным преобразованиям с целью её упрощения, пренебрежения несущественными деталями, сокращения множества исходных данных, перехода из одного математического пространства в другое, приведения к виду более удобному для экспериментирования и т. д. При этом преобразовываться может и модель в целом, и отдельные элементы модели. Любое преобразование модели обязано заканчиваться проверкой сохранения в преобразованной модели свойств полноты, непротиворечивости, корректности и проверкой адекватности модели своему назначению.
Идеализация модели В любой модели отображается лишь конечное число свойств объекта. Усложнение модели за счёт включения в неё большого числа параметров приводит к увеличению времени её реализации, затруднениям при интерпретации результатов моделирования, запаздыванию результатов и т. д. Упрощение может привести к потере содержательности и адекватности. Поэтому при построении модели необходимо установить равновесие между простотой модели и качеством отображения объекта. Нахождение такого состояния и представляет процедуру идеализации.
Идеализация модели Идеализированная модель должна: быть простой в обращении и доступной для пользователя: 1. быть представительной во всём диапазоне применения и с необходимой точностью отображать объект, 2. быть адекватной целям моделирования.
Дискретизация модели Процедура дискретизации модели состоит в преобразовании непрерывной информации в дискретную. При реализации этой процедуры обычно приходится решать три задачи: 1. разделить пространственные и временные области на конечное число элементарных участков, 2. представить значения переменных конечным числом значений в избранных узловых точках, принадлежащих элементарным участкам, преобразовать непрерывную информацию (сигналы) в цифровую форму.
Дискретизация модели Первая задача имеет два варианта решения. В первом варианте преобразуемая область покрывается сеткой, и область заменяется множеством точек - узлов сетки Дискретизация области с помощью сетки
Дискретизация модели Во втором варианте дискретизация области осуществляется её разделением на непересекающиеся подобласти - конечные элементы. В пределах каждого конечного элемента выбирают конечное число узловых точек Дискретизация области конечными элементами
Дискретизация модели Решение второй задачи дискретизации модели выполняется заменой непрерывных переменных конечным числом их значений в узловых точках. В дальнейшем эти значения используются для аппроксимации соответствующих переменных в каждом конечном элементе и решении разнообразных задач, обеспечивающих достижение целей моделирования. Дискретизация области широко используется, например, в цифровой картографии при моделировании рельефа.
Дискретизация модели Решение третьей задачи дискретизации модели связано с выполнением операции квантования сигнала по уровню. Каждое числовое значение должно быть выражено конечным числом цифр. Приближённо бесконечное множество возможных значений непрерывного сигнала можно описать с помощью конечного числа уровней квантования. Квантование сигнала по уровню
Дискретизация модели Примером квантования по уровню служит представление чисел в компьютере конечным набором цифр. Интервал квантования при этом составляет одну единицу последнего разряда в представлении числа, а процедура квантования состоит в округлении числа до ближайшего значения шкалы квантования. Представление чисел в компьютере конечным набором цифр является источником неконтролируемых погрешностей сложных вычислительных процессов. Поэтому при выборе уровня квантования для представления непрерывной информации конечным набором цифр необходимо получить результаты вычислений с нужной точностью, не слишком увеличивая объём вычислений.
Линеаризация модели Когда в математической модели содержатся нелинейные элементы (входные сигналы, функции перехода объекта из состояния в состояние, функции преобразования текущего состояния и входных сигналов в результат моделирования и т. д. ) практическая реализация модели может оказаться затруднительной. Чтобы избежать этих трудностей выполняют линеаризацию всех или некоторых нелинейных элементов модели. Методы линеаризации позволяют сводить решение нелинейных задач к последовательному решению родственных линейных задач. Метод линеаризации широко используется при обработке результатов геодезических измерений по методу наименьших квадратов. С вычислительной точки зрения методы линеаризации лучше применять после дискретизации модели. Во многих случаях линеаризацию выполняют, исходя из физических соображений.
Методы реализации математических моделей v Аналитический метод v Численный метод
Методы реализации математических моделей зависят от формы представления модели, цели моделирования, чёткости определения цели, определённости условий, которым должны удовлетворять результаты, имеющихся технических и временных ресурсов и т. д. Существует два наиболее общих метода реализации математических моделей: аналитический и численный.
Методы реализации математических моделей Аналитический метод применяется к моделям, представленным в аналитической или инвариантной форме, когда установлена аналитическая зависимость искомых результатов от множества исходных данных, состояний объекта и других его характеристик. Эта зависимость чаще всего выражена явной или неявной функцией и может быть исследована методами математического анализа, в результате которого формулируются выводы о существовании решения, его единственности, корректности, диапазоне использования и другие, главным образом, качественные характеристики самой модели и результатов моделирования.
Методы реализации математических моделей Пример : Пусть модель представлена системой линейных уравнений, из решения которой определяются координаты пункта. Аналитический метод реализации в данной ситуации состоит в исследовании свойств этой системы: совместна ли система, имеет ли система решение, единственное ли это решение, устойчиво ли решение, можно ли получить аналитическое решение этой системы, какие имеются данные и критерии для выбора метода решения и оценки эффективности решения и т. д.
Методы реализации математических моделей Количественные характеристики находят при численной реализации математической модели. Численные методы реализации модели основаны на выполнении вычислительного эксперимента, т. е. совместном использовании математического анализа, вычислительной математики и технических средств для получения ответов на разумно поставленные вопросы математического и физического содержания.
Методы реализации математических моделей Технология вычислительного эксперимента делится на ряд этапов. На первом этапе намечается план вычислительного эксперимента, разрабатывается вычислительный алгоритм, т. е. совокупность алгебраических формул, по которым будут выполняться вычисления, и логических условий, устанавливающих необходимую последовательность применения этих формул, и предусматриваются меры промежуточного контроля самой модели и вычислительного процесса. На втором этапе на одном из языков программирования пишется и отлаживается программа для выполнения вычислений на компьютере по алгоритму созданному на первом этапе.
Методы реализации математических моделей На третьем этапе выполняются вычисления, результат которых и является результатом вычислительного эксперимента. Этот этап имеет наибольшее сходство с физическим экспериментом. Отличие их состоит в том, что в физическом эксперименте вопросы задаются природе, а в вычислительном математической модели. Вычисления ведутся по плану, предусматривающему возможность проверки и программы вычислений и алгоритма и результатов. Для этого должны использоваться избыточные данные, полученные из независимых источников. На четвёртом этапе осуществляется обработка и анализ результатов вычислений. Итог этого этапа - принятие решения о приемлемости результатов или необходимости внесения изменений в модель, алгоритм или программу.
Методы реализации математических моделей В настоящее время появляется всё больше задач, которые решаются с применением математического моделирования и вычислительного эксперимента. В геодезии к таким задачам, например, относятся: 1. расчёт траекторий искусственных спутников Земли, 2. определение параметров гравитационного поля и фигуры Земли, 3. цифровая обработка изображений, 4. определение параметров движений и деформаций различных объектов, 5. цифровое картографирование местности, 6. моделирование эволюции состояния объектов и многие другие. Общим для всех этих задач является постоянно возрастающая сложность и объём вычислений, которые не компенсируются возрастающей мощностью компьютеров и постоянно требуют совершенствования математических моделей, алгоритмов и программ. Это привело к созданию качественно новой методологии исследования объектов методом математического моделирования, которая получила название имитационное моделирование.
Скачать презентацию Методы преобразования математических моделей v v v Идеализация
Лекция ММ 7.pptx