методы оптимизации Научно-технический прогресс привел к возникновению

методы оптимизации

Научно-технический прогресс привел к возникновению таких понятий, как сложные экономические системы, обладающие специфическими для них проблемами. Необходимость исследования этих проблем способствовала появлению особых подходов и методов, образующих особую науку - системный анализ. n Экономическая система - это комплекс взаимосвязанных элементов вместе с отношениями между ними и их атрибутами. n Множество L элементов образует систему, если оно характеризуется 1) целостностью (несводимостью свойств системы к сумме свойств составляющих её элементов); 2) наличием цели и критерия исследования данного множества; 3) наличием более крупной по отношению к L внешней системы, называемой средой. 4) возможностью выделения в L взаимосвязных частей (подсистем).

n n Самая важная и сложная часть системного анализа - это отделение важного от несущественного, поиск правильной формулировки для каждой из возникающих проблем, т. е. «постановка задачи» . Самый эффективный метод системного анализа метод математического моделирования, основной раздел которого составляют методы оптимизации.

Задачей оптимизации называется задача о поиске экстремума функции или функционала на заданном множестве допустимых решений. n Для применения теории оптимизации к решению конкретных задач нужно выполнить определённую последовательность действий, которая называется постановкой задачи оптимизации. Она включает: 1) установление границ подлежащей оптимизации системы; 2) выбор характеристического критерия, позволяющего выявить наилучший вариант решения проблемы; 3) определение внутрисистемных переменных, через которые выражается характеристический критерий; 4) построение модели, которая описывает взаимосвязь внутрисистемных переменных. n

Характеристический критерий. n Критерии (целевые функции) выбираются в зависимости от конкретной задачи, экономического или технологического её характера (минимальная стоимость, максимальный крутящий момент). n Независимо от того, какой критерий принят в качестве характеристического, он должен принимать максимальное (или минимальное) значение для наилучшего варианта. n Критериев может быть много, тогда задача становится многокритериальной. Существуют различные методы решения многокритериальных задач, но иногда можно привести многокритериальную задачу к однокритериальной.

Независимые переменные и модель системы Выбор независимых переменных осуществляется с учётом следующих рекомендаций: n Разделить переменные, которые меняются в широком диапазоне и фиксированные или слабо изменяющиеся переменные. Первые – независимые, вторые – параметры задачи. n Выбрать только те переменные, которые оказывают наибольшее влияние на характеристический критерий. n Модель системы описывает взаимосвязь между переменными и отражает степень влияния этих переменных на характеристический критерий. n Модель включает в себя основные уравнения материальных и энергетических балансов; уравнения, описывающие физические процессы в системе; неравенства, определяющие области допустимых значений переменных. Таким образом, задача в виде, пригодном для решения методом оптимизации, объединяет характеристический критерий, множество независимых переменных и модель, отражающую взаимосвязь этих переменных.

Математическая модель задачи имеет следующий вид: Здесь Х – область допустимых решений, a - параметры модели. Решить задачу - значит найти такое оптимальное решение x 0 X, чтобы при данных фиксированных значениях параметра a значения критерия эффективности f (x, a) было максимальным (минимальным): f 0= f (x 0 , a) = max (min) f (x, a) x X Таким образом, оптимальное решение - это решение, предпочтительное перед другими по определенному критерию эффективности.

Необходимо найти такое х0 , которое доставляет максимальное (минимальное) значение функции f(x, а) при всех ограничениях, причем Такая задача называется задачей условной оптимизации. Если J=K=0 и пределы безусловной оптимизации. n n n , равны Если и пределы , то это задача безусловной оптимизации. , то задача называется задачей

n Задачи оптимизации классифицируются в соответствии с видом функций f(x) , , n и размерностью вектора i. Задачи без ограничений с N=1 называются задачами одномерной оптимизации (при N> 1– задачами многомерной оптимизации). n Если в задаче функции и линейны, то это - задача с линейными ограничениями. При этом целевая функция может быть как линейной, так и нелинейной. Задача условной оптимизации, в которой все функции линейны, называется задачей линейного программирования. n Задача с нелинейной целевой функцией называется задачей нелинейного программирования. n Если f(x) квадратичная функция, то это - задача квадратичного программирования. Если f(x) - отношение линейных функций, то задача называется задачей дробно-линейного программирования. n В соответствии с классификацией задач оптимизации классифицируются и методы оптимизации. n