Методы оптимальных решений • Лекция 1 • 1. Связь с курсами «Исследование операций» и «Математическое моделирование» • 2. Примеры задач • 3. Математические модели операций • 4. Понятие случайного процесса 5. Простейшая классификация случайных процессов. • • Литература 1. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. 2. Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике. 3. Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. 4. Охорзин В. А. Прикладная математика в системе MATHCAD 5. Справочники по MATHCAD Учебные пособия ВГАУ: 6. Слиденко А. М. , Буховец А. Г. Практикум по математическому моделированию (заказ № 3849)
n 1. Связь с курсами «Исследование операций» и «Математическое моделирование» Задачи, возникающие в практической деятельности, привели к созданию специальных математических методов. Эти методы служат для обоснования решений, которые принимаются во всех областях целенаправленной человеческой деятельности. Под принятием решений понимают какой-то выбор из ряда возможностей. Решения могут быть плохими и хорошими. Методы, которые позволяют оценивать последствия принимаемых решений, получили название «исследование операций» . Известна пословица «Семь раз примерь - один отрежь» . Прежде, чем принимать решение относительно некоторого мероприятия: 1) выбор технологической линии; 2) проведение денежной реформы; 3)начало военной операции; 4) распределение средств между предприятиями; 5) распределение трудовых ресурсов и т. д. необходимо провести определенное исследование (измерение и расчеты). Термин «Исследование операций» появился в годы второй мировой войны (1939 -1945). В вооруженных силах США и Англии были организованы специальные группы научных работников (физики, математики, инженеры). Эти группы занимались подготовкой проектов решений для командующих боевыми действиями. Решались задачи распределения сил и средств по различным объектам.
Под операцией понимают управляемое мероприятие, направленное на достижение некоторой цели. 2. Примеры задач 1. План снабжения предприятий. Требуется разработать такой план снабжения предприятий сырьем, чтобы потребность в сырье была обеспечена при минимальных затратах на перевозки (рис. 1) Транспортная задача 2. План строительства магистрали. Необходимо выбрать путь из пункта А в пункт В, чтобы затраты на строительство магистрали были минимальными (рис. 2). Рис. 1. Динамическое программирование Рис. 2.
Пример решения задачи динамического программирования 4 13 4 1 12 9 4 11 А 4 7 8 8 1 16 4 5 1 1 1 2 14 4 9 8 6 1 7 1 11 Оптимальное управление Y*=(с, с, в, в) 15 1 11 2 9 8 10 8 3 9 8 8 18 север восток Рис. 3 В 1 1 1 8 9 8 8 17
3. Проектирование ремонтной мастерской. Имеется ремонтная мастерская, в которой n рабочих мест. Поток автомобилей, требующих ремонта является случайными. Время обслуживания одного автомобиля также величина случайная. Необходимо выбрать количество рабочих мест таким, чтобы они были загружены на 80% -90%. 4. Выборочный контроль продукции. Завод выпускает некоторую продукцию. Для обеспечения высокого качества организуется система выборочного контроля. Требуется так организовать контроль (размер выборочной партии, контрольные тесты, правила браковки), чтобы обеспечить заданный уровень качества при минимальных затратах на контроль. 5. Распределение ресурсов на предприятии. Предприятие выпускает продукцию А и В из трех видов сырья: Запасы сырья ограничены. Одно изделие А приносит прибыль C 1, изделие В –C 2. Требуется составить такой план производства, при котором суммарная прибыль от реализации изделий будет максимальной.
3. Математические модели операций Исследуемой практической задаче соответствует некоторая математическая задача: система уравнений, система неравенств, система дифференциальных уравнений и т. д. При этом сохраняются существенные особенности данного явления. В этих условиях следует выделить ряд параметров: α - известные параметры (известные факторы); x- параметры, подлежащие определению, εнеизвестные параметры (неизвестные факторы). Под параметрами следует понимать набор чисел, функцию или вектор и т. д. Z=F(α, ε, x) - показатель эффективности или целевая функция.
Математическая модель операции (уравнение, система уравнений, система неравенств, дифференциальное уравнение, … ) - заданные параметры - параметры, подлежащие определению - неизвестные параметры Детерминированная модель Х –множество решений Стохастическая модель Х –множество решений Игровая модель Х –множество решений Прямая задача вычислить показатель эффективности Обратная задача найти с большой вероятностью
4. Понятие случайного процесса. Рассмотрим применение стохастической модели. Неопределенные факторы могут быть разными: стохастическими (вероятностными) и не вероятностными. Случайный процесс. Пусть имеется некоторая физическая система и S - состояние этой системы. Если с течением времени система меняет свои состояния (т. е. переходит из одного состояния в другое), то говорят, что в системе протекает процесс. Если система меняет свои состояния заранее неизвестным, случайным образом, то говорят, что в системе протекает случайный процесс. 1. Расчетное напряжение в сети равно 220 в. Подключение нагрузки в случайные моменты времени приводит к колебаниям этого напряжения. U(t) - случайная функция (или случайный процесс) u 1(t), u 2(t), u 3(t)…- реализации случайного процесса (обычные функции). Если зафиксировать время t=t 0 , то получаем сечение случайного процесса U(t 0) -это случайная величина. Рис. 6.
2. Рассмотрим некоторое техническое устройство, пусть -число отказов устройства к моменту времени Рис. 6. Реализации процесса 3. Сеть состоит из двух компьютеров: K 1 и K 2. Возможные состояния этой системы: S 0 - K 1 и K 2 исправны; S 1 - K 2 -исправен, K 1 ремонтируется; S 2 – K 1 -исправен, K 2 ремонтируется; S 3 – K 1 и K 2 ремонтируются; Граф состояний системы представлен на рис. 7. Рис. 7. Граф состояний 4. Физическая система – космический корабль. Процесс вывода космического корабля на орбиту – случайный процесс. 5. Физическая система – частицы в поле зрения микроскопа. Броуновское движение – случайный процесс.
6. Биологическая популяция. Численность биологической популяции меняется с течением времени. Развитие этой системы можно рассматривать как случайный процесс. 7. Предприятие - физическая система. Управление предприятием в условиях рынка можно рассматривать как случайный процесс. 8. Живой организм. Концентрация сахара в крови меняется во времени. В организме протекает случайный процесс. 9. Бензоколонка (или авторемонтная мастерская). Обслуживание автомобилей случайный процесс. 10. Поликлиника. Обслуживание клиентов - случайный процесс. 5. Простейшая классификация случайных процессов.
Случайный процесс называется процессом с дискретным временем, если система может менять свои состояния только в определенные моменты времени , число которых конечно или бесконечно, но счетно. 1. Студент ВУЗа. Возможные состояния: S 0 - абитуриент; S 1 - первокурсник; S 2 второкурсник; S 3 - третьекурсник; S 4 - четверокурсник; S 5 - пятикурсник. 2. Диагностика автомобиля производится в определенные моменты времени. Возможные состояния автомобиля: S 0 - исправен; S 1 - неисправен и требуется ремонт, S 2 - неисправен и не подлежит ремонту. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние могут происходить в любой момент наблюдаемого периода. 1. Число отказов технического устройства от начала работы до момента времени t. 2. Броуновское движение частицы в поле зрения микроскопа. 3. Численность биологической популяции в момент времени t. 4. Число заболевших людей в данном городе в ходе развития эпидемии к моменту времени t.
Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если его сечение в любой момент времени представляет собой не дискретную, а непрерывную случайную величину. 1. U(t) - напряжение питания ПК в момент времени t 2. Координаты частицы , совершающей броуновское движение. Случайный процесс в системе называется процессом с дискретными состояниями, если в любой момент времени множество его возможных состояний конечно или счетно. 1. Сеть, состоящая из двух компьютеров 2. Авторемонтная мастерская