«МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА» Работу выполнила студентка группы № 301 -Д специальности «Экономика и управление на предприятии (городское хозяйство)» Ерошевская В. А. Научный руководитель: Сахабиева Г. А.
Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать наилучшие, при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. В связи с этим возникла необходимость применять для анализа и синтеза экономических ситуаций и систем математические методы и современную вычислительную технику. Такие методы объединяются под общим названием — математическое программирование. Математическое программирование — область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями
Один из разделов математического программирования линейное программирование. Методы и модели применяются: линейного программирования широко Ø при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства; Ø при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполнителям; Ø при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам; Ø при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспективного, текущего и оперативного планирования и управления; Ø при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; Ø в задачах развития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов; Ø при решении задач экономии ресурсов (выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой
1. ПОНЯТИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Программирование – это процесс распределения ресурсов. Линейное программирование — раздел математического программирования, применяемый при разработке методов отыскания экстремума линейных функций нескольких переменных при линейных дополнительных ограничениях, налагаемых на переменные. По типу решаемых задач его методы разделяются на универсальные и специальные. С помощью универсальных методов могут решаться любые задачи линейного программирования (ЗЛП). Специальные методы учитывают особенности модели задачи, ее целевой функции и системы ограничений.
1. 1. СИМПЛЕКС-МЕТОД Существует универсальный способ решения задач линейного программирования, называемый симплекс-методом. Симплекс-метод задач линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает (при условии, что данная задача имеет оптимальный план, и каждый ее опорный план является невырожденным). Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план. Применение симплексного метода распадается на два этапа: нахождение допустимого базисного решения системы ограничений или установление факта ее несовместности; нахождение оптимального решения
1. 2. ПОНЯТИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Математическая модель означает перевод задачи на язык количественных терминов. В линейном программировании математическая модель представляет собой систему линейных соотношений между переменными (ресурсами, ограничениями) и целевую функцию (меру эффективности). Математическая модель – это система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс или систему.
2. ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Каждой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие задачу, называемую двойственной. Запишем общую задачу линейного программирования → max (1)
Двойственной задачей к задаче (1) называется задача (2) В таком случае задача (1) называется прямой. Исходная и двойственная задачи образуют пару взаимно двойственных задач, при этом любую из них можно рассматривать как прямую задачу
Двойственность является фундаментальным понятием в теории линейного программирования. Основные результаты теории двойственности заключены в двух теоремах, называемых теоремами двойственности. Теорема 1 Планы х* и у* оптимальны в задачах I и II тогда и только тогда, когда при подстановке их в систему ограничений задачи I и II соответственно, хотя бы одно из любой пары сопряженных неравенств обращается в равенство. Теорема 2 Если одна из пары двойственных задач I и II разрешима, то разрешима и другая, причем значения целевых функций на оптимальных планах совпадают, F(x*)=G(y*), где х*, у* – оптимальные решения задачи I и II.
2. 1. РЕШЕНИЕ ИСХОДНОЙ ЗАДАЧИ ДВОЙСТВЕННЫМ СИМПЛЕКС МЕТОДОМ Рассмотрим задачу. Для реализации трех групп товаров коммерческое предприятие располагает тремя видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количестве b 1 = 240, b 2 = 200, b 3 = 160 единиц. При этом для продажи 1 группы товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется ресурса первого вида в количестве a 11 = 2 единицы, ресурса второго вида в количестве a 21 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 31 = 4 единицы. Для продажи 2 и 3 групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота расходуется соответственно ресурса первого вида в количестве a 12 = 3, a 13 = 6 единицы, ресурса второго вида в количестве a 22 = 2, a 23 = 4 единицы, ресурса третьего вида в количестве a 32 = 6, a 33 = 8 единиц. Прибыль от продажи трех групп товаров на 1 тыс. руб. товарооборота составляет соответственно c 1 = 4, c 2 = 5, c 3 = 4 (тыс. руб. ). Определить плановый объем и структуру товарооборота так, чтобы прибыль торгового предприятия была максимальной.
Решение задачи симплекс методом. Пусть x 1, x 2, x 3 - количество реализованных товаров, в тыс. руб. , 1, 2, 3 - ей групп, соответственно. Тогда математическая модель задачи имеет вид: F = 4·x 1 + 5·x 2 + 4·x 3 max Вводим дополнительные переменные x 4 ≥ 0, x 5 ≥ 0, x 6 ≥ 0, чтобы неравенства преобразовать в равенства.
В качестве базиса возьмем x 4 = 240; x 5 = 200; x 6 = 160. Данные заносим в симплекс таблицу. Симплекс таблица № 1
Скачать презентацию МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДВОЙСТВЕННАЯ ЗАДАЧА Работу выполнила
Двойственная задача.pptx