Методика решения задания 18 ЕГЭ-2016 по информатике учитель

Методика решения задания 18 ЕГЭ-2016 по информатике учитель информатики ГБОУ СОШ № 2107 Зуева Ю. В. zueva@2107 school. ru

Что необходимо знать: Логические операции: инверсия (логическое отрицание), конъюнкция (логическое умножение), пересечение - дизъюнкция (логическое сложение), объединение - Дополнительные операции: импликация (логическое следование) Свойство импликации: А В= А В эквивалентность (логическое равенство)

Что необходимо знать: Круги Э йлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. инверсия конъюнкция (пересечение) Приложение дизъюнкция (объединение)

Разбор заданий 18 На числовой прямой даны два отрезка: P = [20, 50] и Q = [10, 60]. Выберите такой отрезок A, что формула ( (x P) → (x А) ) ( (x A) → (x Q) ) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину. 1) [5, 40] 2) [15, 54] 3) [30, 58] 4) [5, 70]

Преобразуем: ( (x P) → (x А) ) ( (x A) → (x Q) ) = 1 ( (x P) (x А) ) ( (x A) (x Q) ) = 1 (x P) = x P ( (x P) (x А) ) ( (x A) (x Q) ) = 1 Рассмотрим первую часть уравнения, учитывая Р = 20, 50 (х Р) (х А) = 1 20 50 отрезок A должен полностью перекрывать отрезок P 1) [5, 40] 2) [15, 54] 3) [30, 58] 4) [5, 70]

Рассмотрим вторую часть уравнения, учитывая Q = 10, 60 (х А) (х Q) = 1 10 60 Заметим, что во второй части уравнения (х А), следовательно А находится внутри отрезка 10, 60 2) [15, 54] 4) [5, 70] Ответ: 2

Элементами множества А являются натуральные числа. Известно, что выражение (x {2, 4, 6, 8, 10, 12}) → (((x {4, 8, 12, 116}) ¬(x A)) → ¬(x {2, 4, 6, 8, 10, 12})) истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х. Определите наименьшее возможное значение суммы элементов множества A. A Обозначим P = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, Q = {4, 8, 12, 116} Запишем логическое выражение: (x P) (((x Q) (x A)) (x P))=1 Преобразуем выражение, используя импликации: (x P) ((x Q) (x A)) (x P) =1 свойство Упрощаем по законам де Моргана и ассоциативности: (x P) (x Q) (x A) (x P) =1

Преобразуем по закону идемпотентности (правило равносильности): (x Q) (x P) (x A) =1 Переходим к множествам P = {2, 4, 6, 8, 10, 12} Q = {4, 8, 12, 116} 1 способ: Построим круги Эйлера для множеств P 2 6 10 4 8 12 Q 116 Ответ: 24

2 способ: (x Q) (x A) (x P) =1 Если (x Q)=1 или (x P)=1, то (x A) – любые значения Если (x Q)=0 и (x P)=0, то (x A)=1 Переходим к множествам P = {2, 4, 6, 8, 10, 12} Q = {4, 8, 12, 116} Рассмотрим какие элементы множества одновременно в P и Q P = {2, 4, 6, 8, 10, 12} Q = {4, 8, 12, 116} Именно эти числа должны быть множеством Аmin={4, 8, 12} входят минимальным Ответ: 24

Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наибольшее натуральное число A, такое что выражение (X & A 0 ) ((X & 20 = 0) (X & 5 0)) тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)? Упростим логическое выражение: (X & A 0 ) ( (X & 20 = 0) (X & 5 0)) = 1 (X & A = 0 ) (X & 20 0) (X & 5 0) = 1

(X & A = 0 ) (X & 20 0) (X & 5 0) = 1 Рассмотрим случай: (X & A = 0 ) = 1 (X & 20 0) = 0 (X & 5 0) = 0 Y 1 Y 2 0 0 0 1 1 Преобразуем логические выражения: X&A=0 X & 20 = 0 X&5=0 Для данных уравнений составим маску Х Y 1 Y 2 0 1 1 1

X & 20 = 0 Представим числа в двоичной системе счисления: 2010 = 16 + 4 = 101002 X 10 = ? ? ? 2 Выполним поразрядную конъюнкцию: 2010 = 101002 Х 10 = ? ? ? 2 000002 Составим маску для Х, где * - любое двоичное число Х=0*0**

X&5=0 Представим числа в двоичной системе счисления: 510 = 4 + 1= 001012 X 10 = 0*0**2 Выполним поразрядную конъюнкцию 510 = 001012 Х 10 = 0 *0* *2 000002 Составим маску для Х=0*0*0

X&A=0 Выполним поразрядную конъюнкцию, представим А 10=abcde 2, где a, b, c, d, e – двоичные цифры. Х 10 = 0*0*02 А 10 = abcde 2 000002 Получим b=0, d=0, a, c, e – любые двоичные цифры. A 10 = a 0 c 0 e 2 A max = 101012 = 16 + 4 + 1 =2110

Введём выражение M & K, обозначающее поразрядную конъюнкцию M и K (логическое «И» между соответствующими битами двоичной записи). Определите наименьшее натуральное число A, такое что выражение A (X & 49 0) ((X & 33 = 0) (X & A 0)) тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом натуральном значении переменной X)? Преобразуем логическое выражение: (X & 49 0) ((X & 33 = 0) (X & A 0)) = 1 (X & 49 0) ( (X & 33 = 0) (X & A 0)) = 1 (X & 49 = 0) (X & 33 0) (X & A 0) = 1

(X & 49 = 0) (X & 33 0) (X & A 0) = 1 Рассмотрим случай: Преобразуем: (X & A 0 ) = 1 X&A 0 (X & 33 0) = 0 X & 33 = 0 (X & 49 = 0) = 0 X & 49 0 Рассмотрим поразрядную выражения: X & 33 = 0 конъюнкцию для Представим числа в двоичной системе счисления: 3310 = 32 + 1= 1000012 X 10 = ? ? ? 2

X & 33 = 0 Выполним поразрядную конъюнкцию: 3310 = 1000012 Х 10 = ? ? ? 2 0000002 Составим маску для Х, где * - любое двоичное число Х=0****0

X & 49 0 Представим числа в двоичной системе счисления: 4910 = 32 + 16 + 1= 1100012 X 10 = 0****02 Выполним поразрядную конъюнкцию 4910 = 1100012 Х 10 = 0****02 0100002 Составим маску для Х=01***0

X&A 0 Выполним поразрядную конъюнкцию, представим А 10=abcdef 2, где a, b, c, d, e, f – двоичные цифры. Х 10 = 01***02 А 10 = abcdef 2 0 b? ? ? 02 Заметим, что b=1, для любых значений Х Аmin = 0100002 = 1610

Обозначим через M & N поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел M и N. Так, например, 14 & 5 = 11102 & 01012 = 01002 = 4. Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула (x & 29 ≠ 0) → ((x & 17 = 0) → (x & А ≠ 0)) тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом неотрицательном целом значении переменной х)? Упростим логическое выражение: (X & 29 0 ) ( (X & 17 = 0) (X & А 0)) = 1 (X & 29 = 0 ) ( (X & 17 0) (X & А 0)) = 1

(X & 29 = 0 ) (X & 17 0) (X & А 0) = 1 Рассмотрим случай: Преобразуем: (X & A 0 ) = 1 X&A 0 (X & 17 0) = 0 X & 17 = 0 (X & 29 = 0) = 0 X & 29 0 Рассмотрим поразрядную выражения: X & 17 = 0 конъюнкцию для Представим числа в двоичной системе счисления: 1710 = 16 + 1= 100012 X 10 = ? ? ? 2

X & 17 = 0 Выполним поразрядную конъюнкцию: 1710 = 100012 Х 10 = ? ? ? 2 000002 Составим маску для Х, где * - любое двоичное число Х=0***0

X & 29 0 Представим числа в двоичной системе счисления: 2910 = 16 + 8 + 4 + 1= 111012 X 10 = 0***02 Выполним поразрядную конъюнкцию 2910 = 111012 Х 10 = 0***02 0? ? 002 Составим маски для Х: Х=01**0 Х=0*1*0 Х=011*0

X&A 0 Выполним поразрядную конъюнкцию, представим А 10=abcde 2, где a, b, c, d, e – двоичные цифры. Х 10 = 01**02 Х 10 = 011*02 Х 10 = 0*1*02 А 10 = abcde 2 0 b? ? 02 0 bc? 02 0? c? 02 Заметим, что b=1 и c=1 для всех масок Х Аmin = 011002 = 8 + 4 = 1210

Список источников • • • http: //kpolyakov. narod. ru/download/B 15. doc http: //ege. yandex. ru/informatics http: //ege-go. ru/zadania/grb/b 15/ Демовариант ЕГЭ по информатике 2016 http: //kpolyakov. narod. ru/download/ege 18. doc тренировочная работа по информатике от 02. 15