Методические, технологические закономерности формирования логикопроцессуальной компетенции в общеобразовательном курсе математики. 1. Закономерности становления логикопроцессуальной компетенции в компетентностном подходе. 2. Современные методические, технологические подходы к становлению логикопроцессуальной компетенции в учебной математической деятельности. 3. Структура и содержания логико-процессуальной деятельности учащихся в компетентностном подходе.
Актуальность: При наличии громадного числа примеров в школьных учебниках обобщенные способы решения не выступают предметом математической деятельности учащихся и доказательство теорем, и решение задач осуществляется в конкретной математической теории, обоснованной системой понятий, фактов, методов. Это означает необходимость формирование общих процессов решения задач в рамках теории с позиций обобщенного способа деятельности. Такая постановка в современной математике отсутствует. Она является предметом логикопроцессуальной компетенции и составляет ее сущность. Цели: На основе общих представлений компетентностного подхода выделить основные закономерности становления логико-процессуальной компетенции в теориях числовых систем, числовой функции и геометрических фигур. Задачи: 1. Анализ методической литературы с целью ознакомления с компетентностным подходом. 2. Выявление методических закономерностей в формировании логикопроцессуальной компетенции, ее представлений в математике. 3. Структурирование, содержание логикопроцессуальной деятельности учащихся в компетентностном подходе. 4. Структура и содержание базовых видов учебно-методических деятельностей в теориях числовых систем, геометрических фигур, числовых функций с позиции компетентностного подхода.
1. Общеметодические, методикоматематические представления о логикопроцессуальной компетенции: Логикопроцессуальная компетенция – компетенция, связанная с анализом доказательства теорем, структурированием методов доказательства, а так же с решением классов задач определенной теории и формированием метода решения. Данная компетенция входит в группу логикопознавательных компетенций и отвечает методологической цели обучения. Методологической целью обучения является представления: - Об идеях и методах математики, - Математики, как формы описания действительности, - Математики, как методе познания действительности. Группа логикопознавательный компетенций состоит из следующих компетенций: 1. Логикопонятийная компетенция. 2. Логикопроцессуальная компетенция. 3. Дедуктивнометодологическая компетенция.
Закономерности становления логико-процессуальной компетенции в компетентностном подходе В представлении каждой математической теории деятельная составляющая определяется: 1. Системой теорем, их методами доказательствами. 2. Классами задач, их методами решения. В содержании логико-процессуальной компетенции исследуется структура теорем и их доказательства. Рассмотрим основные закономерности становления логикопроцесуальной компетенции в компетентностном подходе: 1. Становление понятия “Теорема” является первоочередным, базовым понятием. Изучение данного понятия следует проводить в два этапа: -Представление понятия “Теорема” в содержательном виде: Теорема- утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство. - Представление понятия “Теорема” в логико-сиволическом виде: Символьное обозначение теоремы имеет вид: . В любой математической теореме существует условие A и заключение B. Если из условия A следует заключение B , то B-называют необходимым условием, а Aдостаточным условием.
Благодаря такому подходу учащиеся сделают следующие выводы: -Теорема является утверждением, а значит можно вести речь об ее истинности или ложности. -Справедливость теоремы устанавливается в процессе доказательства. Возможные проблемы в изучении понятия “теорема”: -Основная сложность заключается в том, что учащиеся не готовы воспринимать информацию в логической структуре, что влечет за собой дальнейшее непонимание учебного материала. Поэтому, с точки зрения методики формирования логико-процессуальной компетенции целесообразно сначала подготовить ученика к логической структуре суждения, а после вводить понятие “теорема” в ее различных представлениях. - Сложность отличить понятие “теорема” и определение “теорема”. Понятие теорема является на много шире определения и влечет за собой наибольшую умственную нагрузку. - Осложнение в понимании необходимого и достаточного условия теоремы. - Проблема воспроизведения и понимания теоремы в логико-символьной интерпретации.
3. В процедуре доказательства играет важную роль понятие “сужение”, так как оно определяет метод доказательства теорем. Суждение- форма мышления, в которой утверждается или отрицается что-либо относительно предметов, их свойств и отношений и которая обладает свойством выражать либо истину, либо ложь. Виды суждений: - Обще-утвердительные: . - Частноутвердительные: . - Общеотрицательное: . -Частноотрицательное: . Общеутвердительные и общеотрицательные суждения принимаются истинными без доказательства, либо по средством специального логического суждения. Если данные суждения истины без доказательств , то такие суждения являются аксиомами. Если истинность данных суждений доказывается , то такие суждения являются теоремами. Классификация методов доказательства, выделение ее логической структуры значительно повышает качество усваемого материала школьниками. Взаимосвязи между теоремами способствуют упрочнению и осознанному пониманию школьного курса математики в каждой из теорий.
4. Данная методическая закономерность связана с процессом доказательства теоремы. Определяющим понятием в доказательстве выступает понятие умозаключения. Умозаключение – построенное нового предложения из совокупности предыдущих по определенному правилу логического вывода. Исходное суждение в произвольной теореме называют посылами, а новое выводом или заключением. Базовые правила вывода должны стать объектом деятельности учащихся, их рефлексией. Чрезвычайно важно сформировать в сознании учащихся следующие правила вывода: 1. -правило заключения. 2. 3. - правило отрицания. - правило силлологизма. 4. -правило контрапозиции. 5. -введение конъюнкции. 6. -удаление конъюнкции.
В математике довольно часто используется данные правила логического вывода. Трудность состоит в том, что эти правила находятся в содержании предложений и не видны учащимся. В результате теряется взаимосвязь между логической и содержательной частями предложений. 5. Новая закономерность каждой теории - доказательство теорем из аксиом теории. Данная закономерность связана с понятием доказательства теоремы в конкретной теории. Под доказательством в теории понимают конечную последовательность предложений теории , каждое предложение либо аксиома, либо получено из предшествующих предложений этой последовательности по какому-нибудь правилу вывода. В любом доказательстве любой теореме любой теории имеется следующее: - Содержательная часть в форме соответственных определений (в теориях числа, числовой функции и геометрических фигур). - Система аксиом теории, на базе которых осуществляется доказательство. -Правила логического вывода, по которым строятся умозаключения. В компетентностном подходе одинаково важны следующие аспекты: 1. Фиксация в доказательстве каждого нового предложения из предыдущих на базе фиксации правила вывода. 2. Целостное представление всего доказательства для выделения метода. Понятие метода доказательства важна в методическом плане школьного курса. Теорем в математических теориях школьного курса большое количество, а методов доказательства несколько и они используются в разных теориях.
Среди методов стоит выделить основные методы и их логические виды: Аналитический метод доказательства. Суть аналитического метода доказательства в то, что из условия А выводят следствие , затем из выводят и так далее до тех пор, пока следствием не окажется заключение теоремы. Логическая структура аналитического метода доказательства выглядит следующим образом: Синтетический метод доказательства. В теореме строится цепочка предложений, необходимых условий такие что: . По свойству транзитивности данная теорема верна. Косвенный метод доказательства (от противного). В теореме её отрицание имеет вид . Логические схемы косвенного метода: - - противоречие с предположением. - -противоречие с условием. - -противоречие с известным фактом. Вместе с тем в теории числа выделяется метод математической индукции: Метод математической индукции. Данный метод связан с доказательством небольшого числа теорем о свойствах натуральных чисел, операциях над ними, последовательностях натуральных чисел. Его логическая структура: Логико-дидактический анализ формулировок теорем, анализ процесса доказательства и его методов доказательства - главные направления методики изучения теорем.
6. Выделение структуры и метода доказательства. В представленных теориях класс теорем тесно связан с классом задач теории, поэтому в логико-процессуальной компетенции важное место отводится методике решения задач, становлению общего способа решения класса задач Выделим основные классы задач: 1. По характеру требуемого: - Задачи на доказательство. - Задачи на построение. - Задачи на вычисление. Данная классификация успешно предопределяет метод решения каждого типа задач. 2. По величине проблемной ситуации: Согласно этой классификации, в зависимости от основных компонентов задач: наличие условия-А, заключения-В, решения- R, базиса решения задач- С, представим следующую классификацию: - Стандартные. Известны все компоненты-ACRB. Данную классификацию также можно найти в - Обучающие. журнале: ”Математика в школе” № 3 , 2010 год, Неизвестен один компонент: a) XCRB статья О. Н. Шалина “Обучение доказательства b) AXRB теорем” (Мордовский государственный c) ACXB d) ACRX педагогический институт им. М. Е. Евсевьева ). - Поисковые. Неизвестны два компонента. Например: a) AXYB b) XCRY c) XYRB - Проблемные. Неизвестны три компонента: a) XYZB b) AXYZ c) XCYZ d) ZYRZ
В компетентностном подходе отметим главную закономерность: - Целью каждой задачи выступает общий способ решения. -С классом объектов теории связаны понятия системы характеристических признаков. На них и идет опора в решении задачи. С объектами связаны их свойства в форме теорем. Из этого следует, что с каждым объектом задачи связан свой класс теорем. Способ решения заключается в установлении связей определений, теорем в связи подклассов теории. В итоге получаем методологическую закономерность , которая формирует понятие , теоремы, класс задач с позиций, направленных на целостное представление теории.
2. Современные методические, технологические подходы к становлению логикопроцессуальной компетенции в учебной математической деятельности. Процесс изучения теоремы включает следующие этапы: 1. Мотивация изучения теоремы. 2. Ознакомление с фактом, отраженным в теореме. 3. Формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в формулировке. 4. Усвоение содержания теоремы. 5. Запоминание формулировки теоремы. 6. Ознакомление с методом доказательства. 7. Процесс доказательства теоремы. 8. Применение теоремы. 9. Установление связей теоремы с ранее изученными теоремами. Главным в изучении теорем являются открытие школьниками теоремы, метода доказательства, самостоятельное конструирование различных связей теоремы с другими теоремами.
Обучение доказательству - обучение анализу готовых доказательств, выявлению их связей между собой, воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску доказательства , а так же и опровержению предложенных доказательств. Воспроизведение доказательства, как один из важнейших этапов обучения содержит в себе следующее: - Осмысление исходных данных и требований теоремы. - Осмысление основной идеи и системы развертывания доказательства. - Понимание метода, которым осуществляется доказательства. -Выделение основных этапов доказательства. Так же в методике обучения доказательству внимание уделяется и формированию структуры доказательства: - Выделять основную идею, - Раскрывать метод доказательства и давать краткую характеристику этого метода. - Фиксировать ссылки на используемые факты. - Описывать дополнительные построения и преобразования в геометрических методах доказательства.
Уровни обучения доказательству: - Начальный уровень обучения доказательству характеризуется формированием понимания учащимися необходимости логических обоснований, навыков осуществлять простейшие дедуктивные выводы. (5 -6 классы). - 1 уровень: Умение школьников осуществлять цепочки дедуктивных умозаключений, а также владение действиями выведения следствий. Эти действия образуют основу поиска решения задачи, а также применения методов научного познания ( аналогии , обобщения и т. д. ). - 2 уровень: Данный уровень связан в большей мере с доказательствами теорем в геометрии, так как теоремы в геометрии в основном содержательны, свернуты. Характеристики уровня : - Присутствует анализ доказательства. - Выделение логических этапов. - Поиск и устранение логических пробелов. - Развертывание умозаключений в логическую схему. Выделение идеи доказательства и его воспроизведению в логико-сожержательной и содержательной формах. - 3 уровень: Данный уровень познания учеником доказательства связан с приобщением ученика к самостоятельному доказательству с использованием различных методов и комбинаций методов (7 -8 классы). - 4 уровень: Основной характеристикой данного уровня является самостоятельность ученика в следующем: - В открытии фактов, формулировок теоремы. - В конструировании доказательств , их методов в различных формах. - Нахождение ошибок в своих работах и их обоснование. - Умение критически оценивать свою работу и работу своих товарищей. (8 -9 классы)
Одна из задач формирования у учащихся умения доказывать теоремы состоит в обучении учеников раскрывать логическую структуру математических предложений и устанавливать истинностные значения этих предложений. Ознакомление учащихся с простыми и сложными высказываниями следует начинать: (6 -7 классы) 1. Ввести основные понятия: - Суждения и умозаключения, - Конъюнкция, дизъюнкция, отрицание и импликация высказываний, а так же обязательно следует показать ученикам их символический вид, таблицы истинности с примерами. - Теорема, виды теорем и их доказывание на логико-содержательном уровне. 2. Объяснение основных правил вывода с примерами от учителя. 3. Конкретизация разбора теоремы учителем (с объяснениями). 4. Аналогия: вызов ученика к доске и просьба выполнить разбор данного высказывания. Пример 1: Высказывания, которые возможно предложить ученикам в качестве разбора: а)Если число целое и положительное, то оно натуральное. б) Если четырех угольник- ромб и все его углы прямые, то четырехугольник – квадрат. в)Прямые на плоскости могут либо пересекаться, либо не пересекаться. г)Число а или равно числу б, или меньше числа б, или больше числа б. Пример 2: Определите истинность и запишите высказывания в логической форме: 1. Если 12 делится на 6, то 12 делится и на 3. 2. Если 11 делится на 6, то 11 делится и на 3. 3. Если 15 делится на 6, то 15 делится и на 3. Задания по диагностированию логико-процессуальной компетенции следует давать в виде карточек с прорезями, в которых ученики сами должны дописать логическую структуру данного правила вывода,
3. Структура и содержания логико-процессуальной деятельности учащихся в компетентностном подходе. -Закономерности становления логикопроцессуальной компетенции в деятельности учащихся. Логико-процессуальная компетентность выступает интегрированным результатом следующих видов учебной математической деятельности: 1. Анализ формулировок, доказательства, базовых теорем теории с позиции мировоззрения. 2. Проектирование доказательства базовых теорем теории в содержательной, логико-содержательной формах ( становление метода доказательства). 3. Выделение классов задач, становление общих способов их решения в сочетании понятий теорем теории. 4. Выделение классов задач, становление общих способов их решения в интеграции теорий. Выделим базовые теоремы фундаментальных теорий (теория чисел, теория функций и геометрических фигур):
Выделим базовые теоремы фундаментальных теорий (теория чисел, теория функций и геометрических фигур): Теория числовых систем: a) На множестве натуральных чисел: 1) Теорема о системной записи натурального числа. 2) Теорема о разложении натурального числа в произведение простых чисел (Основная теорема алгебры). б) На множестве целых чисел: 1)Теорема о делении с остатком 2)Теорема о вычислении НОД с помощью алгоритма Евклида. в) На множестве рациональных чисел: 1) Теорема о представлении обыкновенной дроби в виде конечной десятичной. 2) Теорема о представлении обыкновенной дроби в виде бесконечной десятичной периодической. 3) Теорема о представлении бесконечной десятичной периодической дроби в виде обыкновенной. г) На множестве действительных чисел: 1) Теорема об иррациональности числа. 2) Теорема о несчетности множества действительных чисел.
Базовые классы задач: На множестве натуральных чисел: -сложение умножение многозначных натуральных чисел. На множестве целых чисел: -деление целых чисел с остатком. -вычисление НОД и НОК целых чисел. На множестве рациональных чисел: -обращение обыкновенных дробей в десятичное -операции над обыкновенными дробями. -операции над десятичными дробями На множестве действительных чисел: -приближение иррационального числа рациональными. -операции над действительными числами.
II Теория функции: -Теорема о свойствах квадратичной функции. -Теорема о свойствах периодичности, четности тригонометрических функций. -Теорема о свойствах показательной, логарифмической функциях. -Теорема о связи знакопроизводной и монотонности функции. Базовые классы задач: - Изучение свойств в классе линейных функций. - Изучение свойств в классе квадратичных функций. - Построение композиций функций преобразованием графиков. -Функционально-графический метод решения в классе уравнений и неравенств. III Теория геометрических фигур; - Теорема о базовых свойствах треугольника. - Теорема о базовых свойствах параллелограмма. - Теорема о базовых свойствах трапеции. - Теорема о базовых свойствах призмы. - Теорема о базовых свойствах пирамиды. - Теорема о базовых свойствах цилиндра. - Теорема о базовых свойствах конуса. - Теоремы о связи метрических свойств многоугольников (длина, угол, площадь). - Теоремы о связи метрических свойств многогранников (длина, угол, площадь, объем в простых многогранников). - Теорема о связи метрических проективных свойств в комбинации плоских и пространственных фигур.
Базовые классы задач: - Взаимосвязь метрических свойств в многоугольниках и окружностях. - Взаимосвязь метрических свойств в многогранниках, цилиндрах, конусах, сфере. - Конструирование геометрических фигур чертежными инструментами. Рассмотрим процедуру исследования доказательства теоремы на содержательном и логикосодержательном уровнях: - В теории числовых систем на множестве натуральных чисел: Теорема: Пусть g-данное натуральное число, большее единицы и множество M = {0, 1. . , g-1}. Всякое натуральное число а однозначно определено в виде: 1. Анализ условия теоремы. Класс объектов: все элементы натурального множества. Исследуемое свойство всех объектов класса: произвольный элемент натурального множества можно записать в систематической записи. Логическое представление доказательства: “Если a – произвольное натуральное число, то a представимо в виде: ”-D R. Доказательство производится в 2 этапа: 1) Доказательство существования представления любого натурального числа в представленном виде. 2) Доказательство единственности данного представления. Теорема доказывается методом математической индукции. Напомним ее логическую структуру:
Содержательная структура доказательства: Этап 1: Доказательство существования представления любого натурального числа в представленном виде. Доказательство проводится методом математической индукции: 1. Проверим справедливость представления: для а=1. - Так как а - произвольное натуральное число, то при а=1 представление: будет иметь вид: , т. е. число равно самому себе, что будет всегда справедливо. Значит, при a=1 представление натурального числа справедливо. - Очевидно, что данное представление будет справедливо и для a<g. 2. Допустим, представление справедливо для всех натуральных чисел, меньших а. 3. Докажем справедливость данного представления натурального числа для чисел a g. - Так как а и g натуральные числа, то можем разделить a на g с остатком. По теореме о делении с остатком имеем следующее представление натурального числа a: и b<a. - По индукционному допущению для b<a, b представимо в виде: - Подставив данное представление в получим: . Вывод: Теорема верна по методу математической индукции. Доказательство проводилось аналитическим методом.
Этап 2: Доказательство единственности представления: : Доказательство проводится методом математической индукции: 1. Докажем однозначность представления при а=1. -Допустим, существует другое представление натурального числа a, имеющее вид: Тогда при а=1, данное представление имеет вид: , т. е. - Так как из ранее доказываемого и , то можно сделать вывод , что . - Так как , то представление совпадает с ранее доказанным представлением, что ведет к однозначности данного представления. - Так как единственность доказана для а=1 и исходя из того, что g>1, получим справедливость единственности представления натурального числа для g>a. 2. Допустим, что единственность доказана для чисел, меньших а. 3. Докажем справедливость единственности представления при a g: -Допустим, существует другое представление натурального числа a, имеющее вид: . Тогда а представимо в виде: -В силу однозначности теоремы о делении с остатком имеем: - Из теоремы о делении с остатком следует, что b<a. По индукционному допущению следуют соответственные равенства: . -Из данного равенства следует единство представления натурального числа и теорема доказана.
Вывод: Теорема справедлива по методу математической индукции. Доказательство проводилось аналитическим методом. Логико-содержательная структура доказательства: Этап 1: Доказательство существования представления любого натурального числа в представленном виде. 1)Докажем справедливость теоремы при а=1. ”g – натуральное число ” - А, ”g больше единицы” – B, ” g – натуральное число и g больше единицы” - , ”Множество М = {0, 1, …, g-1}” – C, ”а - произвольное натуральное число” – D, ” Произвольное натуральное число представимо в виде: ” – Е, ” Если а произвольное натуральное число, то пусть а=1” -D G, ”а=1 и произвольно е натуральное число представимо в виде: ” -. ”Если а=1 и произвольное натуральное число представимо в виде: , то ” – H, ” а=1 и ” – ”Если а=1 и , то ” - I ”а=1 и , и ”- ”Если а=1 и , и , то 1=1” - J ”Если 1=1, то для а=1 разложение справедливо”-K =A(1) ”а=1 и g>1, и для а=1 разложение справедливо” - ”Если а=1 и g>1, и для а=1 разложение справедливо, то для a<g разложение справедливо”-L.
2)Допустим справедливость для всех натуральных чисел, меньше а. ”Допусти справедливо для всех чисел, меньших а”-M=A(x) 3)Докажем справедливость утверждения для чисел больших а. ” а – произвольное натуральное число и для a<g разложение справедливо “- ”Если а – произвольное натуральное число и для a<g разложение справедливо, то пусть a g”-N ” g – натуральное число, а - произвольное натуральное число и a g” - ”Если g – натуральное число, а - произвольное натуральное число и a g, то а можно разделить на g с остатком: ” – O ”Если a можно разделить на g с остатком: , то b<a” - О Р ”Если b<a, то согласно индукционному предположению b представимо в виде: ” – Р Q ” а можно разделить на g с остатком: и согласно индукционному предположению b представимо в виде: . ”- ”Если а можно разделить на g с остатком: и согласно индукционному предположению b представимо в виде: , то получим выражение: ” – R “Если , то теорема справедлива для всех натуральных чисел, больших а. ”- S=A(x+1). Теорема верна по Методу Математической Индукции(ММИ). Доказательство проводилось аналитическим методом. Логическая структура доказательства представима в виде:
Этап 2: Доказательство единственности представления: : Доказательство проводится ММИ: ”g – натуральное число ” - А, ”g больше единицы” – B, ” g – натуральное число и g больше единицы” - , ”Множество М = {0, 1, …, g-1}” – C, ”а - произвольное натуральное число” – D, ” a представимо в виде: ” – Е, ” Если а произвольное натуральное число, то пусть а=1” – D G, ”Допустим, существует иное представление a: ” – H, ”а=1 и существует иное представление a: ” - , ”Если а=1 и существует иное представление a: , то a = ” - G I , “Если а=1, то a= ” –G J, “Если а=1, то a= и a= ” - , ”Если a= , то = ” - , ”Если а=1, то = ” - , ”Если = , то представление совпадает с ранее доказанным: . ” - K L, ”Если представление совпадает с ранее доказанным: , то оно единственно для а =1” – L M,
”Допустим справедливость единственности данного представления для всех натуральных чисел, меньших а” – N, ”Если существует иное представление a: , то a делится на g с остатком следующем виде: ” “ – H O, ”Существует ранее доказанное представление ” – P, ”Если существует представление , то оно представимо в виде: . “ – P Q, ” a делится на g с остатком в следующих видах: и ” - , ”Если a делится на g с остатком следующих видах: и , то в силу однозначности деления с остатком имеем: ” – R, ” <a” – S, ”Если <a, то по индукционному допущению имеем: ” – S T, ”Если по индукционному допущению имеем: , то представление единственно. ”- T U. Согласно ММИ данное представление единственно. Логическая структура доказательства представима в виде:
При изучении метода математической индукции учащимся лучше представлять даказательство в виде граф схемы: Проверяется справедливость теоремы при n=1 Теорема Да справедлива при n=1. Нет Допустим, теорема верна при n=k. Да Теорема верна по методу ММИ. Доказывается справедливость теоремы Нет при n=k+1, используя индукционное допущение. Теорема не верна.
Классы задач: -На множестве натуральных чисел рассматриваются задачи на сложение, умножение многозначных натуральных чисел. Если натуральные числа записаны в g-ричной системе счисления, то сложение и умножение натуральных чисел следует проводить “столбиком” по алгоритму: 1. Складываюся единицы. * 2. Переходим к следующему разряду и складываем там соответственно. * 3. Пункт 2. повторяется до тех пор, пока не дойдем до самого старшего из имеющихся разрядов. * *-Всякий раз при сложении соответствующих разрядов необходимо , чтобы сумма разрядов не превышала основание системы, т. е. число g. Если сумма s больше g, то в соответственный столбик записываем разность s-g и переходим к следующему разряду. Пример:
Чтобы сформировать логикопроцессуальную компетенцию в стериометрии и планеметири нужно учитывать те закономерности, которые были упомянуты ранее. При формировании логикопроцессуальной компетенции опорные, базовые теоремы могут быть скрыты в классе задач и не восприниматься учениками как теорема. Необходимо выделение базовых теорем из класса задач , нахождение их взаимной связи а так же выделения метода доказательства. Например: -В учебнике Атанасян. Л. С. 2010 г. “Геометрия 7 -9 классы” базовые свойства стереометрии: теорема о связи мер призмы (длинны, площади, объема) находятся в классе задач и никаким образом не выделены: “Докажите, что объем призмы равен произведению площади основания на высоту” (стр. 323) -В учебнике высшей математики “Алгебра и теория чисел (часть 3)” Н. Я. Виленкин 1974 г. теорема об иррациональности числа корень из 2 тоже представляется виде задачи. Теорема является базовой в том случае, если на ее логическое содержание основываются другие теоремы, устанавливаются математические факты. На классе базовых теорем основывается теоретические знания ученика в конкретной теории. Изучение базовых теорем и нахождение между ними взаимосвязи является фундаментом в становлении логикопроцесуальной компетенции. Покажем взаимосвязь базовых теорем в каждой из теорий:
Теорема о систематической записи натурального числа (существование и единственность по ММИ) Теорема о разложении натурального числа в произведение простых чисел. (существование и единственность по ММИ) Теорема о представлении обыкновенной дроби в виде конечной десятичной. Теорема о представлении обыкновенной дроби в виде бесконечной десятичной периодической. (существование, единственность, периодичность ММИ) Теорема о представлении бесконечной десятичной периодической дроби в виде обыкновенной. Теорема о делении с остатком. (существование и единственность по ММИ) Лемма 1. (Если а кратно b, то (a, b)=b) Теорема о вычислении Но. Д с помощью алгоритма Евклида. Теорема об иррациональности числа корень из 2. (От противного) (существование и единственность по ММИ) Теорема о несчетности множества R (Метод от противного, конструктивный метод). Лемма 2. (Если а =bq+r, a, b, r 0, то (a, b)=(b, r)) 1. В теории числовых систем.
2. В теории числовой функции. Теорема о базовых свойствах треугольника (Теория геометрических фигур) Теорема о свойствах квадратичной функции (Метод выделения полного квадрата) Теоремы о свойствах показательной функции: Свойство 1. (возрастания при a>1) Определение монотонности Свойство 2. (ограниченность снизу при a>1) Определение ограниченности Теорема о свойствах периодичности тригонометрических функций (Метод от противного) Определение периодичности и главного периода функции. Теорема (формулы приведения) Теорема о свойствах четности тригонометрических функций (аналитический метод) Определение четной функции Определение нечетной функции Определение симметричного множества Свойство 3. (отсутствия наим. и наиб значения при a>1) Теоремы о связи знако-производной и монотонности функций Теоремы из теории числовых систем Теорема об иррациональности числа. (От противного) Теорема о представлении обыкновенной дроби в виде конечной десятичной. Теоремы о свойствах логарифмической функции Определение обратной функции
3. В теории геометрических фигур. Первый признак равенства треугольников(2 стор. и угол (Конгруентный)). Второй признак равенства треугольников(по стороне и 2 м углам (Конгруентный)). Третий признак равенства треугольников(по 3 м сторонам (Конгруентный)). Теоремы о базовых свойствах равнобедренных треугольников: Свойство 1. (углы при основании равны) Свойство 2. (биссектриса проведенная к основанию является высотой и медианой) Определение медианы, биссектрисы, высоты. Свойство треугольника(против равных сторон лежат равные углы) Признаки параллелограмма : Первый признак параллелограмма (2 стороны равны и параллельны). (Метод от противного) Второй признак параллелограмма (прот. стороны попарно параллельны). Третий признак параллелограмма (диагонали пересекаются и точка пересечения делит их пополам). Свойство параллелограмма 1. (Прот. углы равны) Свойство параллелограмма 2. (Диагонали точкой пер. делятся пополам)
Из представленных взаимосвязей теорем разных теорий видно, что они составляют некую систему теорем, на которой основывается школьный материал. Взаимосвязь существует как между теоремами, так и между теориями. Важно при изучении теорем выделить метод доказательства, расписать его в содержательном и логико-содержательных структурах, показать их взаимосвязь. Разбор доказательства и выделение метода доказательства способствует лучшему усвоению учебного материала. Немало важную роль в становлении логико-процессуальной компетенции играет взаимосвязь задачи с системой аксиом и теорем, выделение метода решения задачи. Все способствует решению не одной задачи по каждой теории, а целого класса задач. Рассмотрим взаимосвязи между системой аксиом и теорем и классами задач. Согласно главной закономерности логико-процессуальной компетенции имеем следующее: - Сложение, умножение многозначных натуральных чисел. - Деление целых чисел с остатком. - Вычисление Но. Д и Но. К целых чисел. - Обращение обыкновенных дробей в десятичное. - Операции над обыкновенными дробями. - Операции над десятичными дробями. - Приближение иррациональных чисел к рациональным. - Операции над действительными числами. Теорема о систематической записи натурального числа (существование и единственность по ММИ) Теорема о разложении натурального числа в произведение простых чисел. Теорема о делении с остатком. (существование и единственность по ММИ) Теорема о вычислении Но. Д с помощью алгоритма Евклида. (существование и единственность по ММИ) Теорема о представлении обыкновенной дроби в виде конечной десятичной. Теорема о представлении обыкновенной дроби в виде бесконечной десятичной периодической. (существование, единственность, периодичность ММИ)
Скачать презентацию Методические технологические закономерности формирования логикопроцессуальной компетенции в общеобразовательном
Доклад по Димлом часть 21.pptx