Скачать презентацию Метод Жордановых исключений ЗАДАЧА РАЦИОНАЛЬНОГО ВЕДЕНИЯ ХОЗЯЙСТВА 1 Скачать презентацию Метод Жордановых исключений ЗАДАЧА РАЦИОНАЛЬНОГО ВЕДЕНИЯ ХОЗЯЙСТВА 1

6_MatEco-LK_R2-T09_LP-M_J-G.ppt

  • Количество слайдов: 37

Метод Жордановых исключений ЗАДАЧА РАЦИОНАЛЬНОГО ВЕДЕНИЯ ХОЗЯЙСТВА 1 Доцент, кандидат технических наук Ротарь Виктор Метод Жордановых исключений ЗАДАЧА РАЦИОНАЛЬНОГО ВЕДЕНИЯ ХОЗЯЙСТВА 1 Доцент, кандидат технических наук Ротарь Виктор © ОСУ-ществляющий обучение Григорьевич "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Своевременное решение СРС 1 –СРС 6 залог успеха на экзамене! 1. 2 СРС 1. Своевременное решение СРС 1 –СРС 6 залог успеха на экзамене! 1. 2 СРС 1. Задача о коктейле МАТЕСО-855 Х СРС 1. 1. Три варианта постановки «В-КС» , «К-ВС» , «СВК» (работа в команде). Геометрическая интерпретация в пространстве переменных. СРС 1. 2. Задача о смеси, диете, рационе (вариант по ФИО). Геометрическая интерпретация в пространстве переменных СРС 2. Геометрическая интерпретация ЗЛП в пространстве переменных. Исследуется задача СРС 1. 2. СРС 2. 1. Моделируем возможные исходы: А 1, А 2, В 1, В 2 (система уравнений + графики). Геометрическая интерпретация в пространстве переменных СРС 2. 2. Проверяем решения для каждого варианта постановки задачи в Excel через «Поиск решения» © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Своевременное решение СРС – залог успеха! (2) 3. 4. 3 СРС 3. Задача о Своевременное решение СРС – залог успеха! (2) 3. 4. 3 СРС 3. Задача о раскрое плоского материала СРС 3. 1. Сформировать условия задачи о раскрое СРС 3. 2. Решить задачу в Excel через «Поиск решения» СРС 4. Интерпретация в пространстве условий (Исследуется задача СРС 3) СРС 4. 1. Построить сечение u 1=b 1, решить задачу геометрической интерпретацией в пространстве условий, СРС 4. 2. Построить сечение u 2=b 2, решить задачу геометрической интерпретацией в пространстве условий, CPC 4. 3. Сравнить решения СРС 3. 2, СРС 4. 1, СРС 4. 2. © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Своевременное решение СРС – залог успеха! (3) 5. СРС 5. Метод Жордановых исключений СРС Своевременное решение СРС – залог успеха! (3) 5. СРС 5. Метод Жордановых исключений СРС 5. 1. Решить задачу СРС 3 методом Жордановых исключений, перебрать в лексикографическом порядке возможные базисы. СРС 5. 2. Сравнить результат решения СРС 5 с результатами СРС 3 и СРС 4 6. СРС 6. Первая теорема двойственности СРС 6. 1. Сформировать сопряженную задачу двойственной пары для задачи СРС 1. 2. Решить сопряженную задачу геометрически интерпретацией в пространстве условий. Проверить первую теорему двойственности. СРС 6. 2. Сформировать сопряженную задачу двойственной пары для задачи СРС 3. Решить сопряженную задачу геометрически интерпретацией в пространстве переменных. Проверить первую теорему двойственности 4 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

СРС 5: Метод Жордановых исключений – основа симплекс метода «Гаусс, Зейдель, Жордан, …» , СРС 5: Метод Жордановых исключений – основа симплекс метода «Гаусс, Зейдель, Жордан, …» , l l варианты: метод Гаусса. Зейделя, метод Жордана – Гаусса, … ВСПОМНИТЬ ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ 5 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Решение уравнения В общем случае линейное уравнение имеет вид: Уравнение имеет решение: если хотя Решение уравнения В общем случае линейное уравнение имеет вид: Уравнение имеет решение: если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля a. J ≠o, j=1, 2, …, j, …, n при неизвестных xj. В этом случае любой n -мерный вектор называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество. 6 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Разрешенная неизвестная Найти все разрешенные переменные. Неизвестная называется разрешенной для системы уравнений, если она Разрешенная неизвестная Найти все разрешенные переменные. Неизвестная называется разрешенной для системы уравнений, если она входит в одно из уравнений системы с коэффициентом +1, а в остальные уравнения не входит (т. е. входит с коэффициентом, равным нулю). 7 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Разрешенная система уравнений l 8 Система уравнений называется разрешенной, если каждое уравнение системы содержит Разрешенная система уравнений l 8 Система уравнений называется разрешенной, если каждое уравнение системы содержит разрешенную неизвестную, среди которых нет совпадающих © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Дать характеристику системе уравнений l l l 9 В нашем примере неизвестная x 1 Дать характеристику системе уравнений l l l 9 В нашем примере неизвестная x 1 входит в первое уравнение с коэффициентом единица, во второе уравнение не входит, то есть x 1 является первой разрешенной. Аналогично x 2 содержится только во втором уравнении, x 5 а только в первом. Наша система является разрешенной т. к. каждое уравнение содержит в себе разрешенные неизвестные (x 1, x 2 , x 5) © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ПОЛНЫЙ НАБОР РАЗРЕШЕННЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ (БАЗИСНЫЕ) l Разрешенные неизвестные, взятые по одному из каждого уравнения ПОЛНЫЙ НАБОР РАЗРЕШЕННЫХ НЕИЗВЕСТНЫХ (БАЗИСНЫЕ) l Разрешенные неизвестные, взятые по одному из каждого уравнения системы, образуют полный набор разрешенных неизвестных системы. (в нашем примере это x 1, x 2 , x 5) l Разрешенные неизвестные, входящие в полный набор, называют также базисными (x 1, x 2 , x 5), а не входящие в набор — свободными (x 3, x 4 ). 10 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Разрешенная система уравнений имеет вид 11 © ОСУ-ществляющий обучение Разрешенная система уравнений имеет вид 11 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Общее решение Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные Общее решение Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены и свободные неизвестные: 12 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Частное и базисное решения l l 13 Частным решением системы уравнений называется решение, получающиеся Частное и базисное решения l l 13 Частным решением системы уравнений называется решение, получающиеся из общего при конкретных значениях свободных переменных и неизвестных. Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных переменных. © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ВЫРОЖДЕННОЕ И НЕВЫРОЖДЕННОЕ БАЗИСНОЕ РЕШЕНИЕ (БАЗИС) l l 14 Базисное решение (вектор) называется вырожденным, ВЫРОЖДЕННОЕ И НЕВЫРОЖДЕННОЕ БАЗИСНОЕ РЕШЕНИЕ (БАЗИС) l l 14 Базисное решение (вектор) называется вырожденным, если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных. Базисное решение называется невырожденным, если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор. © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Теорема Разрешенная система уравнений всегда совместна (потому что она имеет хотя бы одно решение); Теорема Разрешенная система уравнений всегда совместна (потому что она имеет хотя бы одно решение); причем если система не имеет свободных неизвестных, (то есть в системе уравнений все разрешенные входят в базис) то она определена (имеет единственное решение); если же имеется хотя бы одна свободная переменная, то система не определена (имеет бесконечное множество решений). 15 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ПРИМЕР: ОБЩЕЕ, БАЗИСНОЕ, ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ Найти общее, базисное и какое-либо частное решение системы уравнений: ПРИМЕР: ОБЩЕЕ, БАЗИСНОЕ, ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ Найти общее, базисное и какое-либо частное решение системы уравнений: 16 Решение: 1. Проверяем является ли система разрешенной? Система является разрешенной (т. к. каждое из уравнений содержит в себе © ОСУ-ществляющий обучение разрешенную неизвестную) "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ПРИМЕР (наборы разрешенных неизвестных) 2. Включаем в набор разрешенные неизвестные — по одному из ПРИМЕР (наборы разрешенных неизвестных) 2. Включаем в набор разрешенные неизвестные — по одному из каждого уравнения. В нашем случае мы можем включить в набор разрешенных неизвестных из первого уравнения x 1 либо x 5 , а из второго уравнения только x 2. То есть набор может состоять из (x 1, x 2 ) или (x 5, x 2 ). 17 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ПРИМЕР (общее решение) 3. Записываем общее решение в зависимости от того какие разрешенные неизвестные ПРИМЕР (общее решение) 3. Записываем общее решение в зависимости от того какие разрешенные неизвестные мы включили в набор. Допустим мы включили в набор неизвестные x 1 и x 2 , тогда общее решение будет выглядеть так: 18 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ПРИМЕР: ЧАСНОЕ РЕШЕНИЕ 4. Находим частное решение. К произвольным числам приравниваем свободные переменные, которые ПРИМЕР: ЧАСНОЕ РЕШЕНИЕ 4. Находим частное решение. К произвольным числам приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор: Пусть x 3=0, x 4=1 , x 5=2, тогда из общего решения находим частное x =(9; 24; 0; 1; 2) 19 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ПРИМЕР: БАЗИСНОЕ РЕШЕНИЕ 5. Находим базисное решение. Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы ПРИМЕР: БАЗИСНОЕ РЕШЕНИЕ 5. Находим базисное решение. Для этого приравниваем свободные переменные, которые мы не включили в набор к нулю x 3=x 4=x 5=0, тогда из общего решения получаем базисное x 1=10, x 2=20 20 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Элементарные преобразования линейных уравнений Системы линейных уравнений приводятся к равносильным разрешенным системам с помощью Элементарные преобразования линейных уравнений Системы линейных уравнений приводятся к равносильным разрешенным системам с помощью элементарных преобразований. 21 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Теорема (2) Если какое-либо уравнение системы умножить на некоторое отличное от нуля число, а Теорема (2) Если какое-либо уравнение системы умножить на некоторое отличное от нуля число, а остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной. (то есть если умножить левую и правую часть уравнения на одно и то же число то получится уравнение, равносильное данному) 22 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Теорема (3) Если к какому-либо уравнению системы прибавить другое, а все остальные уравнения оставить Теорема (3) Если к какому-либо уравнению системы прибавить другое, а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной. (то есть если сложить два уравнения (сложив их левые и правые части) то получится уравнение равносильное данным) 23 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Следствие из Теорем (2 и 3) Если к какому-либо уравнению прибавить другое, умноженное на Следствие из Теорем (2 и 3) Если к какому-либо уравнению прибавить другое, умноженное на некоторое число, а все остальные уравнения оставить без изменения, то получится система, равносильная данной. 24 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Формулы пересчета коэффициентов системы (МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА) Если у нас есть система уравнений и мы Формулы пересчета коэффициентов системы (МЕТОД ЖОРДАНА-ГАУССА) Если у нас есть система уравнений и мы хотим преобразовать ее в разрешенную систему уравнений в этом нам поможет метод Жордана. Гаусса. Преобразование Жордана с разрешающим элементом alk≠ 0 позволяет получить для системы уравнений разрешенную неизвестную xk в уравнении с номером l. (пример 2). 25 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Преобразование Жордана состоит из элементарных преобразований двух типов: 1. 26 Уравнение с разрешающим элементом Преобразование Жордана состоит из элементарных преобразований двух типов: 1. 26 Уравнение с разрешающим элементом aik делится на этот элемент (умножается на -1/alk) Уравнение с разрешающим элементом alk умножается на подходящие множители и прибавляется ко всем другим уравнениям для того, чтобы исключить неизвестную xk. © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Ж/Г Допустим мы хотим сделать неизвестную xk в нижнем уравнении разрешенной неизвестной. Для ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Ж/Г Допустим мы хотим сделать неизвестную xk в нижнем уравнении разрешенной неизвестной. Для этого мы должны разделить aik на alk , так чтобы сумма -aik / alk+ aik= 0. 27 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ l При делении уравнения с номером l на alk, его коэффициенты пересчитываются ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ l При делении уравнения с номером l на alk, его коэффициенты пересчитываются по формулам: 28 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

l 29 Чтобы исключить xk из уравнения с номером i, нужно уравнение с номером l 29 Чтобы исключить xk из уравнения с номером i, нужно уравнение с номером l умножить на (-aik / alk ) и прибавить к этому уравнению. © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Теорема (4) О сокращении числа уравнений системы l 30 Если система уравнений содержит тривиальное Теорема (4) О сокращении числа уравнений системы l 30 Если система уравнений содержит тривиальное уравнение, то его можно исключить из системы, при этом получится система равносильная исходной. © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Алгоритм метода Жордана-Гаусса 1. 2. 3. 4. 5. 31 Проверяется, не является ли система Алгоритм метода Жордана-Гаусса 1. 2. 3. 4. 5. 31 Проверяется, не является ли система несовместной. Если система содержит противоречивое уравнение, то она несовместна. Проверяется возможность сокращения числа уравнений. Если в системе содержится тривиальное уравнение, его вычеркивают. Если система уравнений является разрешенной, то записывают общее решение системы и если необходимо — частные решения. Если система не является разрешенной, то в уравнении, не содержащем разрешенной неизвестной, выбирают разрешающий элемент и производят преобразование Жордана с этим элементом. Далее заново переходят к пункту 1 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Пример 3 Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса. Найти: два общих и два соответствующих базисных Пример 3 Решить систему уравнений методом Жордана-Гаусса. Найти: два общих и два соответствующих базисных решения 32 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Решение: вычисления приведены в таблице 33 © ОСУ-ществляющий обучение Решение: вычисления приведены в таблице 33 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Комментарий к таблице В первых трех строках таблицы помещены коэффициенты при неизвестных и правые Комментарий к таблице В первых трех строках таблицы помещены коэффициенты при неизвестных и правые части исходной системы. Результаты первого преобразования Жордана с разрешающим элементом равным единице приведены в строках 4, 5, 6. Результаты второго преобразования Жордана с разрешающим элементом равным (-1) приведены в строках 7, 8, 9. Так как третье уравнение является тривиальным, то его можно не учитывать. 34 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Равносильная система с разрешенными неизвестными и имеет вид Общее решение: 35 Базисное решение: © Равносильная система с разрешенными неизвестными и имеет вид Общее решение: 35 Базисное решение: © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

ЧИСЛО ОБЩИХ (БАЗИСНЫХ) РЕШЕНИЙ Если разрешенная система уравнений, равносильная исходной системе содержит n неизвестных ЧИСЛО ОБЩИХ (БАЗИСНЫХ) РЕШЕНИЙ Если разрешенная система уравнений, равносильная исходной системе содержит n неизвестных и m уравнений, то число общих и соответствующих базисных решений исходной системы равно числу сочетаний из n по m. Количество сочетаний можно вычислить по формуле: 36 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.

Теорема (5) О несовместимости системы уравнений. Если система уравнений содержит противоречивое уравнение, то она Теорема (5) О несовместимости системы уравнений. Если система уравнений содержит противоречивое уравнение, то она несовместна. 37 © ОСУ-ществляющий обучение "МАТЕСО" доц. Ротарь В. Г.