Метод внутренних точек решения задачи линейного программирования Выполнил

Метод внутренних точек решения задачи линейного программирования Выполнил студент Капустин Денис Викторович академическая группа МП-401, курс 4 очной формы обучения Научный руководитель Соколинская Ирина Михайловна Доцент, Кандидат физико-математических наук

Цель работы • Программная реализация метода внутренних точек. • Экспериментальное исследование. • Сравнительный анализ штрафных функций метода. 2

Графическое представление метода Множество допустимых решений Множество оптимальных решений Траектория методов внутренних точек 3

Плюсы и минусы прямого метода • Прямые методы решения экстремальных задач с ограничениями имеют дело непосредственно с рассматриваемой задачей (называемой исходной или прямой задачей в противоположность двойственной задаче). • В прямых методах порождается последовательность решений, на которых значение целевой функции монотонно убывает. Их плюс: на любом шаге имеем допустимое решение. Минус: непросто гарантировать глобальную сходимость. 4

Плюсы и минусы общего метода • Общий принцип двойственных методов заключается в замене исходной задачи на решение последовательности экстремальных задач без ограничений. Их плюс: проще гарантировать глобальную сходимость. Минус: допустимое решение обычно получается лишь по завершении работы метода. 5

Постановка задачи 6

Постановка задачи 7

Определение штрафной функции 8

Идея метода 9

Обратная штрафная функция g(x) 10

Логарифмическая штрафная функция -1 g(x) 11

Сходимость метода внутренних точек 12

Алгоритм решения задачи линейного программирования методом внутренних точек 13

Алгоритм решения задачи линейного программирования методом внутренних точек 14

Алгоритм решения задачи линейного программирования методом внутренних точек 15

программирования методом внутренних точек 16

Исследуемая задача 17

Обратная барьерная функция 18

Обратная барьерная функция 19

Логарифмическая барьерная функция 20

Сравнение функций 21

Блок-схема программы Начало 22

Полученные результаты для логарифмической барьерной функции k r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 10 5 2, 50 1. 25 0. 625 0. 15625 0. 078125 0. 0390625 0. 0195313 0. 00976563 0. 00488281 x 2 1 1 -0. 352778 -0. 348862 -0. 286467 -0. 257159 -0. 252313 3 3 4. 8292 4. 4892 4. 58638 4. 55583 4. 54222 4. 54390 x 3 3 3 7. 57736 8. 19475 8. 23049 8. 25244 8. 27136 f(x) -23. 5397 -31. 8306 -30. 1228 -29. 7639 -36. 7665 -29. 1825 -28. 0846 -28. 7957 -29. 3719 -29. 5289 -29. 6011 23

Полученные результаты для обратной барьерной функции k r 0 10 1 5 2 2. 5 3 1. 25 4 0. 625 5 0. 3125 6 0. 15625 7 0. 078125 8 0. 0390625 9 0. 19531325 10 0. 00976563 11 0. 00488281 12 0. 00244141 13 0. 00122070 14 0. 000610352 15 0. 000305176 x 1 1 1 1 0. 876768 0. 8483394 0. 835429 0. 829245 0. 826226 0. 824736 0. 823995 0. 823626 0. 823442 x 3 3 3 3 3. 07677 3. 10219 3. 11443 3. 12043 3. 12341 3. 12489 3. 12562 3. 12599 3. 12618 f(x) 3 3 3 3. 05774 3. 12595 3. 16070 3. 17823 3. 18703 3. 19144 3. 19364 3. 19475 3. 19530 30. 1413 Неопред. -7. 7739 Неопред. -10. 2256 -10. 6975 -11. 2939 -11. 5924 -11. 7416 -11. 8161 -11. 8534 -11. 8720 -11. 8813 -11. 8860 24

Вывод Метод является наиболее эффектным, если штрафная функция естественно вытекает из технического смысла задачи. Преимуществом метода так же является наличие различных модификаций для конкретного вида задач. Преимущество использования же в целом метода внутренних точек будет являться глобальная сходимость метода, и возможность посмотреть приближенное решение на каждой итерации. 25

Спасибо за внимание!