МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ МУП Вывод МУП основан на

МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ (МУП) Вывод МУП основан на совместном решении систем уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа и закону Ома. Ik R 1 I 3 1 I 1 R 3 2 I 2 R 2 E 1 E 2 I 4 0 R 4 узел « 1» : узел « 2» : (4. 1)

Выразим напряжение между узлами через потенциалы этих узлов φ0 , φ1, φ2, . . . , φn : Ik R 1 I 1 φ1 I 2 U 10 E 1 I 3 R 2 φ0=0 R 3 φ2 U 21 U 20 I 4 E 2 R 4 Зададим потенциал одного из узлов схемы равным нулю φ0= 0 (4. 2)

Из (4. 2) выразим токи ветвей: (4. 3)

Подставим (4. 3) в (4. 1), приведем подобные и поменяем знаки: (4. 4)

В системе уравнений (3. 4) обозначим: - собственная проводимость узла 1 - собственная проводимость узла 2 -взаимная проводимость между узлом 1 и 2

- узловой ток узла 1 - узловой ток узла 2 Узловой ток - алгебраическая сумма произведений ЭДС на проводимость соответствующей ветви и источников тока, примыкающих к узлу.

С учетом принятых обозначений систему (4. 4) можно записать в следующем виде: (4. 5)

Структура уравнений, составленных по МУП: (4. 6) В результате решения полученной системы уравнений находим потенциалы узлов φ1, φ2, . . . , φn, а затем по (4. 3. ) реальные токи в ветвях схемы I 1, I 2 , . . . , In.

Порядок решения задач методом узловых потенциалов 1. Определить число узлов n и ветвей m схемы. 2. Выбрать узел, к которому подходит наибольшее количество ветвей и заземлить этот узел (принять потенциал узла равным нулю). 3. Для оставшихся узлов записать (n - 1) уравнение по МУП и решить полученную систему уравнений. 4. Произвольно расставить направления токов в ветвях. 5. Токи в ветвях определить по закону Ома и первому закону Кирхгофа. 6. Произвести проверку решения с помощью баланса мощности.

Пример Ik R 1 I 3 1 I 1 R 3 2 I 2 R 2 E 1 E 2 I 4 0 R 4

Пример Решение: Ik R 1 I 3 1 R 3 2 I 2 R 2 E 1 E 2 I 4 0 R 4

Решение полученной системы методом подстановки :

Определение реальных токов в ветвях по :

Проверка решения (баланс мощности): Ik R 1 I 3 1 I 1 R 3 2 I 2 R 2 E 1 E 2 I 4 0 R 4 Мощность потребителей: Мощность источников:

Особенности применения МУП при наличии в цепи ветви с нулевым сопротивлением и источником ЭДС При наличии в схеме ветви с нулевым сопротивлением и источником ЭДС следует заземлять один из узлов, примыкающих к этой ветви. Тогда потенциал второго узла, примыкающего к ветви с источником ЭДС, по модулю будет равен ЭДС, и, следовательно, будет известен (для него не надо записывать уравнения по МУП). Но этот потенциал будет входить в уравнения для других узлов. При формировании системы уравнений его необходимо перенести в правую часть системы как известную величину.

Пример Определить токи методом узловых потенциалов

Решение:

После расчета потенциалов узлов схемы электрической цепи обычно строится ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ДИАГРАММА Потенциальная диаграмма показывает распределение потенциала вдоль контура.

Порядок построения потенциальной диаграммы 1. Выбрать замкнутый контур схемы, не содержащий источников тока, и задать для него направление обхода (н. о. ) 2. По оси абсцисс отложить значения сопротивлений, входящих в выбранный контур, одно за другим в выбранном масштабе. Начинать следует с сопротивления, примыкающего к узлу, потенциал которого при расчете по МУП был принят за ноль φ0= 0. 3. По оси ординат отложить значения потенциалов в выбранном масштабе в точках подключения сопротивлений. 4. Проверкой правильности построения является факт возвращения в точку с исходным потенциалом при завершении обхода контура.

Пример Построить диаграмму распределения потенциала по контуру, включающему источники ЭДС. Ik R 1 I 1 a E 1 φ1 I 3 R 3 φ2 I 2 R 2 I 4 φ0=0 R 4 E 2 b

Решение: Выбираем направление обхода – по часовой стрелке. Рассчитываем потенциалы точек a, b.

10 φ, В φ2 RE 1=0 RE 2=0 8 φ1 6 4 φа 2 0 -2 φ0 2 R 1 4 6 8 10 12 R 4 R, Ом φ0 R 3 φb