Метод простых итераций Численные методы При использовании

Метод простых итераций Численные методы

При использовании метода простой итерации уравнение f(x)=0 заменяется эквивалентным уравнением с выделенным линейным членом : x = φ(x) (1). Решение ищется путем построения последовательности хк+1 = φ ( х(к)) При этом для обеспечения сходимости метода правая часть уравнения должна удовлетворять условиям: φ′(х) ≤ q < 1, φ (x)∈[a, в] при x ∈[a, b] и x 0[ a, b ].

Aлгоритм метода итераций: Выберем графическим образом начальное приближение x 0. Вычислим значение функции φ(x) при x = x 0 и найдем уточненное значение x 1 =φ(x 0). Подставим теперь x 1 в уравнение (1) и получим новое приближение x 2 = φ (x 1) и т. д. Продолжая этот процесс неограниченно, получим последовательность приближений к корню: xn+1 =φ (xn) (2) Формула (2) является расчетной формулой метода простых итераций. Если последовательность {xn} сходится при n→∞, т. е. существует lim xn = x* при n → ∞

Пример 2. 1. Решить уравнение е 2 х + 3 х – 4 = 0 с точностью. Ɛ = 10 -3 Данное уравнение можно представить в виде :

х 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 1 1, 2 1, 3 LN(4 -3*x)/2 0, 69314718 0, 65416641 0, 61188772 0, 56570106 0, 51480971 0, 45814537 0, 39422868 0, 32092694 0, 23500181 0, 13118213 0 -0, 17833747 -0, 45814537 -1, 15129255 1. 5 1 0. 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Series 1 0 0. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5 0. 6 0. 7 0. 8 0. 9 1 1. 2 1. 3 -0. 5 Series 2 0. 611887715811058 0. 6931471805599450. 514809708590580. 235001814622868 0. 654166409825089 0. 565701055745551 0. 458145365937078 0. 394228680182135 0. 320926943086198 0. 131182132233745 -1. 15129254649702 -0. 178337471969366 -0. 458145365937077 0 -1 -1. 5 В качестве начального приближения положим х 0 = (0, 5+0, 46) 2 = 0, 48

Вычисляем последовательные приближения х к с одним запасным знаком по формуле : Результаты вычислений приведены в таблице:

Приготовить ответы на вопросы(устно): 1. Как и зачем выполняется отделение корней? 2. Каково условие сходимости метода хорд? 3. Чем отличаются итерационные методы хорд и секущих? 4. В чем заключается условие сходимости метода простых итераций? 5. В чем отличие методов касательной и секущей и что у них общего?