Метод проекций Проекция точки Метод проекций S

Метод проекций. Проекция точки

Метод проекций S A А П П – плоскость проекций; А – произвольная точка пространства; S – – проецирующий SA центр проекций; луч; А – проекция точки А на плоскость А = SA П проекций П При проецировании проецирующие лучи проходят через центр проекций – точку S. Проекция А точки А есть пересечение проецирующего луча SA с плоскостью проекций П .

Классификация проекций Центральные (конические) S B A Параллельные (цилиндрические) ортогональные, s П косоугольные, s П В В А А С B s C C П B A С A C А В С При центральном проецировании совокупность проецирующих лучей образует коническую поверхность. При параллельном проецировании совокупность проецирующих лучей образует цилиндрическую поверхность. s

Ортогональное проецирование A s А 1 При ортогональном проецировании проецирующие лучи s перпендикулярны плоскости проекций П 1 и параллельны между собой П 1 Прямая задача – изобразить на чертеже положение точки. Произвольной точке пространства А на плоскости проекций соответствует ее единственное изображение – проекция А 1. Проецирование на одну плоскость проекций дает решение прямой задачи

Метод Монжа Метод ортогонального проецирования: • плоскости проекций перпендикулярны между собой; • проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций. Для однозначного определения положения точки в пространстве необходимо задать на чертеже минимум две ее ортогональные проекции Комплексный чертеж – это изображение геометрического образа, полученное при совмещенных плоскостях проекций

Точка в системе трех плоскостей проекций Пространственная картина z П 2 П 3 O x П 1 П 2 П 3 y Используются три основные взаимно перпендикулярные плоскости проекций: П 1 - горизонтальная; П 2 - фронтальная; П 3 - профильная. Плоскостей проекций пересекаются по осям Оx, Оy, Оz декартовой системы координат

Точка в системе трех плоскостей проекций Пространственная картина z Комплексный чертеж П 2 П 3 П 2 O x П 1 z y 3 x П 1 y O П 1 П 3 y 1 Для перехода к комплексному чертежу пространственную модель разрезают по оси Оy и совмещают все три плоскости проекций в одну: П 1 поворачивают вокруг оси Оx, П 3 поворачивают вокруг оси Оz до их совпадения с П 2. Ось Оу распадается на две оси y 1 и y 3

Точка в системе трех плоскостей проекций Пространственная картина z П 2 А 2 A x Аx z Аz П 3 O А 1 Комплексный чертеж А 3 Аy П 2 x O П 1 y 1 АА 1 П 1 АА 2 П 2 АА 3 П 3 y ; Проецирующие лучи АА 1 , АА 2 , АА 3 проводят перпендикулярно ; П 3 y 3 соответст-вующим плоскостям проекций и получают проекции точки А: горизон-тальную А 1 , фронтальную А 2 , профильную А 3. Точки пересечения прое-цирующих плоскостей с соответствующими осями

Точка в системе трех плоскостей проекций Пространственная картина z Комплексный чертеж П 2 А 2 A Аx x Аz А 2 А 3 П 3 А 3 O y 3 Аy А 1 П 1 z П 3 А 1 П 1 y x Аz Аx А 1 Аy O 1 А 3 Аy 3 y 1 На комплексном чертеже линии проекционной связи перпендикулярны осям координат. Линия А 1 А 2 Ох расположена вертикально, а А 2 А 3 Оz -горизонтально. При построении линии связи от А 1 к А 3 необходимо соблюсти равенство координатных отрезков по оси Оy : Ax A 1 = Az A 3

Безосный чертеж П 2 А 2 Чертеж без указания осей называется безосным А А 2 А 1 x П 1 А 3 45 П 1 x А 1 k Плоскости проекций принимаются неопределенными и могут перемещаться параллельно самим себе. На комплексном чертеже положение осей не указывается. Профильная проекция А 3 точки А строится с помощью постоянной чертежа k

Прямоугольные координаты точки z П 2 А 2 x y Аz A x. A Аx A А 1 A(x. A , y. A , z. A ) z. A O П 3 x. A = AA 3 y. A = AA 2 z. A = AA 1 А 3 Аy П 1 y Система трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций - аналог декартовой системы координатных плоскостей. Координата точки есть число, выражающее ее расстояние до плоскости проекций. Точка А в пространстве имеет координаты: абсциссу XA , ординату YA , аппликату ZA

Прямоугольные координаты точки z А 2 z. A O x x. A y A А 1 y A z. A x y. A А 1 O x. A А 3 z. A y 3 y 1 На комплексном чертеже численные значения координат откладываются вдоль соответствующих координатных осей. Каждая проекция точки определяется двумя координатами: горизонтальная – XA и YA , фронтальная - XA и ZA , профильная - YA и ZA.

Конкурирующие точки Конкурирующими называются точки, лежащие на одном проецирующем луче. П 2 В 2 B 2 А 2 В A 2 z A В 1 (A 1) z x В 1 (A 1) П 1 z. B > z. A Горизонтально конкурирующие точки А и В лежат на общем горизонтально-проецирующем луче, поэтому их горизонтальные проекции совпадают. Точка В выше точки А и расположена ближе к наблюдателю, ее горизонтальная проекция В 1 будет видимой

Конкурирующие точки Видима та точка, у которой больше координата П 2 В 2 (A 2 ) A y В A 1 П 1 В 2 (A 2) x А 1 B 1 y y. B > y. A Фронтально конкурирующие точки А и В отличаются только координатой y , лежат на одном фронтально-проецирующем луче, поэтому их фронтальные проекции совпадают. Ближе к наблюдателю расположена точка В, ее фронтальная проекция В 2 будет видимой

Преобразование чертежа Монжа

Способ перемены плоскостей проекций П 2 П 4 П 1=x 1 П 2 А 2 А z. А x А 1 А 4 П 4 z П 4= z П 2 П 1 z. А x 1 Чертеж: А 2 П 2 x П 1 А 1 z. А x 1 П 4 z. А А 4 Заменим исходную фронтальную плоскость проекций П 2 на новую плоскость проекций П 4. При этом преобразовании расстояние точек от плоскости П 1 (координата z) остается неизменным

Способ вращения вокруг проецирующей прямой П 2 А 2 Сущность способа: геометрический образ вращают вокруг проецирую-щей оси до частного положения А – произвольная точка; вращения; i П 2 i – ось i 2 i x Чертеж: A А 1 А 2 П 2 x П 1 i 1 П 1 А 2 i 2 i 1 А 1 При вращении точка описывает окружность, расположенную в плоскости уровня. Если ось вращения i П 2 , то на П 2 траектория движения точки проецируется в натуральную величину (окружность с центром в точке i 2 ) На П 1 она проецируется в виде прямой, проекции оси вращения i 1

Способ вращения вокруг проецирующей прямой П 2 i 2 А 2 x А– произвольная точка; вращения; i – ось i i П 1 A Чертеж: i 2 А 2 П 2 x П 1 А 1 i 1 П 1 А 1 i 1 При горизонтально проецирующем положении оси вращения траектория движения точки на П 1 проецируется в натуральную величину, т. е. в виде окружности с центром в точке i 1. На П 2 она будет проецироваться в виде прямой линии, перпендикулярной проекции оси вращения i 2

Способ плоскопараллельного перемещения Сущность способа: геометрический образ переводится в частное положение плоскопараллельным движением его точек по плоскостям уровня П 2 А 2 Г 2 А 2 x А – произвольная точка; Г – плоскость перемещения; A А 1 Г А Г П 1 ; Г П 2 Схема: А 2 П 2 x П 1 А 1 А 2 Г 2 А 1 При плоскопараллельном перемещении траектория движения горизон-тальной проекции точки повторяет ее перемещение в плоскости Г. На П 2 фронтальная проекция точки перемещается по следу плоскости Г 2 , который параллелен оси х

Способ плоскопараллельного перемещения П x 2 А 2 A А 1 А – произвольная точка; Ф – плоскость перемещения; Ф А Ф П 2; Ф П 1 Схема: А 2 П 2 x П 1 А 1 Ф 1 П 1 А 2 А 1 Ф 1 На П 2 траектория движения фронтальной проекции точки повторяет ее перемещение в плоскости Ф, поэтому расположение проекции может быть произвольным. На П 1 горизонтальная проекция точки перемещается по следу плоскости Ф 1 , который параллелен оси х