МЕТОД ПРЕЛОМЛЕННЫХ ВОЛН РЕФРАГИРОВАННЫЕ ВОЛНЫ Понятие градиентных

МЕТОД ПРЕЛОМЛЕННЫХ ВОЛН. РЕФРАГИРОВАННЫЕ ВОЛНЫ

Понятие градиентных сред • Среда называется градиентной, если ее свойства постепенно изменяются в пространстве, т. е. являются непрерывными функциями координат. Такая среда является неоднородной и может рассматриваться как предельный случай слоисто однородной среды при неограниченном возрастании количества слоев с уменьшением их мощностей и различий упругих свойств. В градиентной среде продольные и поперечные волны не яв ляются независимыми, т. е. не существуют в чистом виде: распространение деформаций одного вида сопровождается возникновением деформаций другого вида. Распространение упругих волн в градиентной среде описывается уравнением динамического равновесия, а продольные и поперечные волны не являются независимыми. Однако, когда градиент скорости невелик, можно пользоваться волновыми уравнениями, в которых , и медленно меняющиеся величины. В этом случае можно рассматривать отдельно продольные и поперечные волны.

Понятие градиентных сред Предположим, что градиент скорости сохраняет повсюду постоянное направление и совпадает с направлением OZ. Пусть угол выхода луча из источника α, т. к. скорость меняется, то происходит непрерывное преломление. В градиентной среде угол зависит от координаты z. В результате чего для каждого луча выполняется условие , где p параметр луча, это величина, обратная кажущейся скорости на линии Х. Каждый из множества лучей, исходящих из точки O характеризуется своим параметром p. Волну, имеющую в градиентной среде криволинейные лучи, называют рефрагированной.

Вертикально неоднородные среды как предельный случай горизонтально слоистых сред В наших дальнейших рассуждениях будем считать среду вертикально неоднородной, т. е. V=V(z). Функцию V(z) будем считать непрерывной и достаточное число раз дифференцируемой, т. е. среду без границ раздела

Вертикально неоднородные среды как предельный случай горизонтально слоистых сред Пусть у нас есть n горизонтальных слоев, в каждом из них скорость постоянна , толщина i го слоя равна hi. Сделаем предельный переход ΔVi = Vi-Vi-1 т. о. горизонтально слоистая среда перейдет в вертикально неоднородную непрерывную среду со скоростью V=V(z). На любой из границ луч терпит преломление, на границе Vn-1 и Vn – будет происходить скользящее преломление, т. е. in=90. Далее луч идет обратно. В пределе мы перейдем к криволинейным лучам. Любой из лучей будет гладким, выпуклым книзу и симметричным относительно вертикальной прямой, проходящей через его вершину. По закону Снеллиуса: перемножая левые и правые части этого выражения, получаем отбрасывая последовательно первое, второе, третье равенства получаем В точке выхода луча на поверхность (z=0) по закону кажущихся скоростей имеем: V = V(Zmax) –свойство луча в вертикально неоднородной среде. V в точке выхода луча на поверхность равна истинной скорости в точке максимального проникновения луча. Соотношение выполняется вдоль каждого луча и получаем , где Zmax –координата вершины луча. где p –параметр луча, он постоянен вдоль каждого луча и меняется от луча к лучу.

Кривизна лучей и связь с градиентом скорости Пусть ds - элемент рефрагированного луча, di – угол между касательными к лучу в точках А и B. Из дифференциальной геометрии кривизна луча выражается K=di/ds.

Кривизна лучей и связь с градиентом скорости Получаем кривизну луча где p параметр луча. Отсюда следует, что: • Чем больше градиент скорости d. V/dz в среде, тем больше кривизна лучей. • Лучи имеют постоянную кривизну (т. е. являются дугами окружности, если скорость меняется по линейному закону с глубиной) V=az+b d. V/dz=const • Если градиент скорости положителен, то луч обращен выпуклостью вниз, если имеется возрастание, а затем убывание скорости, то луч имеет точку перегиба. • Чем больше угол выхода из источника, тем больше кривизна луча.

Лучи и годографы рефрагированных волн Симметрия лучей и годографов В вертикально неоднородных средах лучи обладают следующими свойствами: • Любой из лучей, выходящий из источника, обладает осью симметрии, совпадающей с вертикальной прямой, проходящей через его вершину. • Поле лучей из источника обладает осью симметрии, совпадающей с вертикальной прямой, проведенной через источник. Свойства годографов (на поверхности z=0) • Годографы, идущие из любого пункта взрыва в противоположные стороны, симметричны относительно вертикальной прямой, проходящей через этот ПВ. • Прямой и обратный годографы симметричны относительно вертикальной прямой, проходящей через середину взрывного интервала. Годографы пересекаются на середине расстояния между своими ПВ. • Нагоняющие годографы непараллельны между собой. Эти перечисленные свойства годографов являются необходимыми признаками годографов для вертикально неоднородных сред. При несоблюдении этих признаков вероятно среда является не только вертикально неоднородной, но и горизонтально неоднородной и V=V(x, z).

Кратные рефрагированные волны Для случая линейной зависимости V(z) годографы рефрагированных волн будут иметь вид t. R 2 =2 t. R 1 (x/2) t. R 3 =3 t. R 1 (x/3) t. Rn =n t. R 1 (x/n), где верхние индексы t. R 2, t. R 3 и t. Rn обозначают кратность.

Уравнения лучей, фронтов и годографов рефрагированных волн Произвольный скоростной закон: из треугольника имеем dx=tgi*dz, интегрируем и получаем уравнение луча Известно, что тогда уравнение годографа будет иметь вид: Уравнение волнового поля можно получить, если исключить параметр p, тогда мы получим зависимость F(x, z, t)=0. В параметрическом виде уравнение годографа будет иметь вид:

Скоростные законы В реальных средах нарастание скорости с глубиной обычно не носит монотонного характера и проявляется лишь в среднем. Причинами появления градиентов скорости в реальных условиях являются, во первых, уменьшение пористости и трещиноватости пород вследствие процессов уплотнения, литификации, минерализации пор и трещин, и, во вторых, нарастание механических напряжений, обусловленных давлением покрывающих пород, тектоническими и другими силами. Линейный скоростной закон можно представить в виде V(z)=V 0(1+ z), где коэффициент нарастания скорости с. grad V(z)= V 0 =const

Годограф рефрагированной волны для линейного скоростного закона Учитывая то, что при z=0 В случае линейного скоростного закона лучи рефрагированной волны представляют собой семейство дуг окружностей. Уравнение годографа для случая линейного скоростного закона будет иметь вид гиперболического ареасинуса Получим уравнение окружности Для справки: координаты центра окружности

Способы интерпретации годографов рефрагированных волн • На практике в первых вступлениях чаще регистрируются рефрагированные волны, чем головные. Если их кинематика близка к кинематике головных волн (переходный слой достаточно тонкий), в этом случае можно использовать метод обработки t 0. Однако это может приводить к большим ошибкам. • По годографам рефрагированных волн можно полностью восстановить закон изменения скорости с глубиной. Для этого нужно иметь достаточно детальный, точный и гладкий годограф.

Способ Чибисова Cпособ работает при отсутствии латеральных изменений скорости, поэтому ограничен применением в случае изучения достаточно протяженных объектов. Способ Чибисова основан на уравнениях: V(zmax)=V*(xmax) Zmax – максимальная глубина проникновения луча, выходящего в точке xmax. V*(xmax) кажущаяся скорость, определенная по годографу в точке xmax. V*(x) кажущаяся скорость в точках годографа на интервале. V(zmax) – истинная скорость в точках максимального проникновения луча. На практике используется дискретное представление, и интеграл заменяется суммой Годограф разбивается на участки с V*(x) = const. Где при k>1. При этом x 0=0, x 1…, xn – точки разбиения профиля на n участков, в пределах которых функции V*(x) и изменяются плавно.

Способ Чибисова Для нахождения кажущейся скорости V*(x) годограф рефрагированной волны осредняют плавной кривой и находят производные в точках разбиения. При этом производная не должна иметь отрицательных значений. При графическом дифференцировании не надо выбирать слишком малых или слишком больших значений x, это может привести к ошибкам. Профиль разбивают на отрезки так, чтобы на участки резкого изменения V*(x) приходилось не менее трех точек. Интервалы могут быть произвольны. Но в пределах этих интервалов должно происходить примерно постоянное приращение скорости. Затем определяют величины

Способ Чибисова Складывают полученные значения и получают Эти значения соответствуют значениям скоростей V(Hk).

Эмпирическая формула Кондратьева Рассмотренный выше способ Чибисова требует довольно больших по объему вычислений, кроме того, нужно знать зависимость V*=V*(x) на всем участке интегрирования. Вместо способа Чибисова можно использовать эмпирический способ обработки годографа рефрагированной волны. В основе этого способа лежат следующие соображения. Годограф рефрагированной волны можно рассматривать как предельный случай годографа первых вступлений головных волн в тонкослоистой среде, мощность слоев которой стремится к нулю. Поэтому элемент годографа рефрагированной волны можно считать годографом элементарной головной волны. Глубина залегания фиктивной границы (максимальная глубина проникновения луча) определяется формулой Кондратьева: где средняя скорость, величина t 0 определяется по элементу годографа путем проведения касательной к точке на годографе до ее пересечения с осью t. Каждую точку годографа можно рассматривать одновременно как точку излома и как начальную точку годографа фиктивной головной волны. В соответствии с этим величина может быть представлена двумя выражениями: по точке излома по начальной точке Скорость можно вычислять как среднее арифметическое из этих двух определений

Эмпирическая формула Кондратьева Значение истинной скорости V(H) в точке максимального проникновения луча находится, как и в способе Чибисова по формуле а глубина H вычисляется по формуле Способ Кондратьева не требует больших вычислений и подходит для быстрой оценки скоростного закона.

Эмпирическая формула Кондратьева

Сравнение результатов интерпретации данных рефрагированных волн на основе способа Чибисова и способа Кондратьева 30. 00 25. 00 20. 00 Кондрат 15. 00 Чибисов 10. 00 5. 00 0. 00 333 384 500 700 1043 2714

Вопросы • Что такое рефрагированные волны, в каких средах они наблюдаются? • Что такое лучевой параметр? • Что такое кривизна луча и как она связана с градиентом скорости? • Назовите свойства симметрии лучей и годографов рефрагированных волн. • Что представляет собой годограф и луч рефрагированной волны для линейного скоростного закона? • На чем основан метод Чибисова и способ Кондратьева?