Метод Ньютона для розв язання нелінійних рівнянь метод дотичних

Метод Ньютона для розв’язання нелінійних рівнянь (метод дотичних)

Метод Ньютона • Використовується, якщо можна знайти значення ф-ції f(x) та її похідної f ’(x) у всіх точках інтервалу [a, b] • Лінеаризуємо f(x) в околі точки xc за допомогою частини ряду Тейлора:

Ітераційна ф-ла методу Ньютона

Геометричне пояснення

Перша ітерація: (x 1, f(x 1)) (x 2=x 1 -f(x 1)/f’(x 1), 0)

Друга ітерація (x 2, f(x 2)) (x 3=x 2 -f(x 2)/f’(x 2), 0) Наближаємося до кореня

Збіжність методу Ньютона Якщо вибрати стартову x 1 поблизу точки перегину. Тоді дотична буде перетинати вісь далеко від кореня! (x 1, f(x 1)) (x 2=x 1 -f(x 1)/f’(x 1), 0)

Збіжність методу Ньютона

Метод збігається

Метод не збігається

Покращення збіжності методу Ньютона, порівняно з іншими методами, досягається збільшенням витрат на виконання кожного кроку, оскільки на кожному кроці треба обчислювати не тільки значення функції f(x), але й значення її похідної f ′(x).

Модифікований метод Ньютона

Вибір початкового наближення x 0

Обчислення похідної • Аналітичним методом (створення підпрограми-функції); • Чисельним методом:

Program Newt; uses crt; var a, b, x, e: real; i: integer; const d=0. 001; N=1000; Function f(x: real): real; begin f: =sin(x); end; Програма до методу Ньютона Function fp(x: real): real; begin fp: =(f(x+d)-f(x))/d; end; Function fpp(x: real): real; begin fpp: =(f(x+d)-2*f(x)+f(x-d))/(d*d); end;

BEGIN a: =-1; b: =1; e: =0. 000001; if (f(a)*fpp(a)>0) then x: =a else x: =b; i: =0; while abs(f(x))>e do begin x: =x-f(x)/fp(x); i: =i+1; if i>N then begin writeln ('Korin ne znajdeno'); halt end; writeln('Korin x=', x, ' Znajdeno za ', i, ' iteracij'); writeln('F(x)=', f(x)); readln; END.

Метод січних У формулі методу Ньютона x(k+1) = x(k) - f(x(k))/f '(x(k)) , k = 0, 1, 2, . . . похідну f '(x(k)) заміняємо виразом: (f(x(k)) - f(x(k-1))) / (x(k) - x(k-1))

Метод січних

Метод простих ітерацій • Для використання цього методу вихідне нелінійне рівняння записується у вигляді

Метод простих ітерацій • Нехай відоме початкове наближення кореня • Підставляючи це значення у праву частину рівняння отримуємо нове наближення

Метод простих ітерацій • Підставляючи кожний раз нове значення кореня в рівняння отримуємо послідовність значень • Умова зупинки ітераційного процесу

Метод простих ітерацій

Метод збігається

Метод не збігається