МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ВЫПОЛНИЛА СТУДЕНТКА 146 ГРУППЫ ЛЕБЕДЕВА АННА
Метод Монте-Карло - метод статистических испытаний, численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных процессов и событий. Термин «метод Монте-Карло» возник в 1949 году, хотя некоторые расчёты путём моделирования случайных событий осуществлялись статистиками и ранее. (Его название происходит от города Монте-Карло, известного своим игорным домом. )
РАЗВИТИЕ И СОВРЕМЕННОСТЬ q В 1950 -х годах метод использовался для расчётов при разработке водородной бомбы. Основные заслуги в развитии метода в это время принадлежат сотрудникам лабораторий ВВС США и корпорации RAND. q В 1970 -х годах в новой области математики — теории вычислительной сложности было показано, что существует класс задач, сложность (количество вычислений, необходимых для получения точного ответа) которых растёт с размерностью задачи экспоненциально. Иногда можно, пожертвовав точностью, найти алгоритм, сложность которого растёт медленнее, но есть большое количество задач, для которого этого нельзя сделать (например, задача определения объёма выпуклого тела в n-мерном евклидовом пространстве) и метод Монте-Карло является единственной возможностью для получения достаточного ответа за приемлемое время. q В настоящее время основные усилия исследователей направлены на создание эффективных Монте-Карло алгоритмов различных физических, химических и социальных процессов для параллельных вычислительных систем.
Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: • требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой равно а: М(Х) =а Практически же поступают так: • производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений X, вычисляют их среднее арифметическое и принимают его в качестве оценки (приближенного значения) а* искомого числа а. Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину X, как найти ее возможные значения.
Цель статистического анализа Монте-Карло – определить степень воздействия случайных факторов на показатели эффективности проекта. Анализ производится следующим образом. Допустим, определено, какие именно данные следует признать неопределенными, а также установлен диапазон значений, в пределах которого они могут изменяться случайным образом. Если речь идет, например, о двух параметрах, это означает, что определена область значений исходных данных, имеющая форму прямоугольника. Для трех переменных эта область представляет собой параллелепипед. Совокупность исходных данных, от которых зависит судьба проекта, отображается точкой, лежащей внутри выделенной области. Таких точек великое множество, поэтому выполнить расчет проекта для каждой из них невозможно. Тем не менее необходимо определить, какое воздействие оказывает неопределенность исходных данных на поведение модели. Эта задача решается с помощью метода Монте Карло.
Предположим, в нашем распоряжении имеется способ выбирать точки в выделенной области данных случайным образом, аналогичный рулетке в игорном заведении. Для каждой выбранной таким способом точки мы проведем расчет показателей эффективности и запишем их в таблицу. Проделав достаточно большое количество опытов, мы можем подвести некоторые итоги. Для количественной оценки результатов используются два критерия. среднее значение и неопределенность. Предположим, мы проделали N опытов и получили набор значений некоторого показателя f(n= 1, N). Тогда среднее значение M определяется по формуле где М – ожидаемое значение величины fn; f – некий исследуемый показатель; N – количество проделанных опытов.
Неопределенность (или коэффициент вариации) рассчитывается следующим образом: Величину М можно интерпретировать как ожидаемое значение случайной величины fn. Неопределенность можно рассматривать также как оценку риска, связанного с тем, что значение fn отклонится от ожидаемой величины М.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ МОНТЕ-КАРЛО ИНТЕГРИРОВАНИЯ Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм: • ограничим функцию прямоугольником (n-мерным параллелепипедом в случае многих измерений), площадь которого можно легко вычислить; • «набросаем» в этот прямоугольник (параллелепипед) некоторое количество точек ( N штук), координаты которых будем выбирать случайным образом; • определим число точек ( K штук), которые попадут под график функции; • площадь области, ограниченной функцией и осями координат, S даётся выражением:
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
Скачать презентацию МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ВЫПОЛНИЛА СТУДЕНТКА 146 ГРУППЫ ЛЕБЕДЕВА АННА
метод монте-карло, Лебедева, 146гр.ppt