Метод Монте-Карло Лямин Андрей Владимирович Случайные величины

Метод Монте-Карло Лямин Андрей Владимирович

Случайные величины Вероятность случайного события - это мера того, насколько велика возможность его возникновения. Вероятность изменяется от 0 (вероятность невозможного события) до 1 (вероятность достоверного события). Случайная величина является более обобщенным понятием случайного события. Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными.

Дискретная случайная величина Случайная величина X называется дискретной, если она может принимать дискретное множество значений x 1, x 2, …, xn. x 1 x 2 … xn p 1 p 2 … pn p 1 + p 2 + … + pn = 1.

Характеристики дискретных величин • Математическое ожидание: • Дисперсия:

Свойства математического ожидания и дисперсии

Непрерывная случайная величина Случайная величина называется непрерывной, если она может принимать любое значение из некоторого интервала (a, b). Непрерывная случайная величина характеризуется функцией распределения F(x) и плотностью вероятности f(x)

Функция распределения Определение: Свойства:

Плотность вероятности Определение: Свойства:

Характеристики непрерывных величин • Математическое ожидание: • Дисперсия:

Законы распределения Равномерное распределение:

Законы распределения Экспоненциальное распределение:

Законы распределения Нормальное распределение:

Независимые случайные величины Дискретные величины: Непрерывные величины:

Свойства независимых случайных величин

Корреляция и коэффициент корреляции Корреляция случайных величин Xi и Xj: Коэффициент корреляции:

Оценка корреляции случайных величин Xi+1 Xi Xi

Функции случайных величин

Случайные процессы Оп. 1: Отображение F, сопоставляющее каждому элементу t T одну из случайных величин Xt, называется случайной функцией на T. Сама случайная величина называется Xt сечением случайной функции F в точке t. Оп. 2: Отображение f, сопоставляющее каждому элементу t T число xt, называется реализацией случайной функции F. Оп. 3: Случайная функция F, заданная на подмножестве T числовой прямой R, называется случайным процессом на T.

Примеры случайных процессов • Число Xt -частиц, зарегистрированных счетчиком за время наблюдения t. • Колебания высоты Xt, регулируемого автопилотом летательного аппарата в момент времени t. • Изменение во времени t атмосферного давления Xt в данном географическом пункте.

Стационарные случайные процессы

Центральная предельная теорема

Следствие

Метод Монте-Карло

Пример 1 S 0 1