Скачать презентацию Метод множителей Лагранжа решения задач нелинейного программирования Выполнил Скачать презентацию Метод множителей Лагранжа решения задач нелинейного программирования Выполнил

zashita_катков.pptx

  • Количество слайдов: 11

Метод множителей Лагранжа решения задач нелинейного программирования Выполнил: Катков Валерий 815 гр. Метод множителей Лагранжа решения задач нелинейного программирования Выполнил: Катков Валерий 815 гр.

СОДЕРЖАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ составляют теория и методы решения задач о нахождении экстремумов нелинейных функций СОДЕРЖАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ составляют теория и методы решения задач о нахождении экстремумов нелинейных функций на множествах, определяемых линейными и нелинейными ограничениями (равенствами и неравенствами). Наиболее распространенные методы решения на примере основной задачи нелинейного программирования имеет вид:

Метод множителей Лагранжа применяют для решения задач такого же класса сложности, как и при Метод множителей Лагранжа применяют для решения задач такого же класса сложности, как и при использовании обычных методов исследования функций, но при наличии ограничений типа равенств на независимые переменные. Множители Лагранжа можно применять для решения задач оптимизации объектов на основе уравнений с частными производными и задач динамической оптимизации, т. е. основное применение в вариационном исчислении и динамическом программировании.

МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА Идея метода состоит в отыскании Седловой точки функции Лагранжа. Для нахождения МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА Идея метода состоит в отыскании Седловой точки функции Лагранжа. Для нахождения решения вводится набор переменных i , называемых множители Лагранжа, и составляется функция Лагранжа, имеющая вид:

Алгоритм метода состоит в следующем: 1) Составление функции Лагранжа 2) Нахождение частных производных функции Алгоритм метода состоит в следующем: 1) Составление функции Лагранжа 2) Нахождение частных производных функции Лагранжа 3) Решение системы из n+m уравнений вид Решениями системы являются точки, которые могут быть решениями задачи. 4) Выбор точек, в которых достигается экстремум и вычисление функции (х) в этих точках

Пример . На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 200 стульев. Затраты, связанные с производством Пример . На двух предприятиях отрасли необходимо изготовить 200 стульев. Затраты, связанные с производством х1 стульев на первом предприятии, равны 4 х2 руб. , а затраты, обусловленные изготовлением х2 стульев на 2 предприятии, составляют (6 х22 + 20 х2) руб. Определить сколько стульев на каждом предприятии следует произвести, чтобы общие затраты, обусловленные изготовлением необходимой продукции, были минимальными.

Решение: Если через х1 и х2 обозначить количество изделий, которые нужно произвести на первом Решение: Если через х1 и х2 обозначить количество изделий, которые нужно произвести на первом и втором предприятии, то общие затраты равны: Z = 4 х12 + 6 х22 + 20 х2 при этом должно выполняться равенство х1 + х2 = 200

Составляем функцию Лагранжа: Составляем функцию Лагранжа:

Записываем необходимое условие существования экстремума этой функции: f’(x 1)= 8 x 1+ λ = Записываем необходимое условие существования экстремума этой функции: f’(x 1)= 8 x 1+ λ = 0 f’(x 2)= 12 x 2 + 20 + λ = 0 f’(λ)= x 1+x 2 - 200= 0 ; x 1= - λ/8 ; x 2= - (λ+20/12)

Подставляем эти соотношение в третье уравнение системы, получаем -λ/8 - ((λ+20)/12)) – 200 = Подставляем эти соотношение в третье уравнение системы, получаем -λ/8 - ((λ+20)/12)) – 200 = 0 - 3λ - 2λ – 40 – 4800 = 0 - 5λ= 4840 λ = - 968 => x 1= - (968/8) = 121; x 2= - ( (-968+20) / 12) = 79 Z min = 4*1212 + 6*792 + 20*79 = 58564+374446+1580=97590

Таким образом, при производстве 121 изделия на первом предприятии и 79 изделий на втором Таким образом, при производстве 121 изделия на первом предприятии и 79 изделий на втором предприятии затраты будут минимальными.