МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ 27 09 04 Дедуктивный

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. 27. 09. 04

Дедуктивный метод рассуждений В основе всякого математического исследования лежат дедуктивный и индуктивный методы. • Дедуктивный метод рассуждений - это рассуждение от общего к частному, то есть рассуждение, исходным моментом которого является общий результат, а заключительным моментом - частный результат.

Дедуктивный метод рассуждений В математике мы применяем дедуктивный метод, проводя рассуждения такого типа: Данная фигура - прямоугольник, а у каждого прямоугольника диагонали равны, следовательно, и у данного прямоугольника диагонали равны.

полная индукция. • По своему первоначальному смыслу слово «индукция» применяется к рассуждениям, при помощи которых получают общие выводы, опираясь на ряд частных утверждений. • Простейшим методом рассуждений такого рода является полная индукция. Вот пример подобного рассуждения.

Пусть требуется установить, что каждое чётное натуральное число n в пределах 4 n 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. я на. ол ия п кц ду ин 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=11+7; 20=13+7.

Неполная индукция • Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция • Результат, полученный неполной индукцией, остаётся, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все частные случаи.

Формула четного числа

Формула нечетного числа

Пусть, например, требуется найти сумму первых n последовательных нечётных чисел. Рассмотрим частные случаи: 1=1=12; 1+3=4=22; 1+3+5=9=32; 1+3+5+7=16=42; 1+3+5+7+9=25=52. После рассмотрения этих немногих частных случаев напрашивается следующий общий вывод: 1+3+5+. . . +(2 n-1)=n 2, то есть сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n 2.

Ошибки в индуктивных рассуждениях • Разность двузначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 9. Разность трёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, делится на 99. Возникает предположение о том, что разность четырёхзначного числа и числа, записанного теми же цифрам, но в обратном порядке, разделится на 999. Это, однако, неверно, например, 2231 -1322= =909, но 909 не делится на 999.

Ошибки в индуктивных рассуждениях 2. Рассматривая числа вида 22 +1, французский математик П. Ферма заметил, что при n=1, 2, 3, 4 получаются простые числа. Он предположил, что все числа такого вида - простые. Однако Л. Эйлер нашёл, что уже при n=5 это неверно: число 232+1 не является простым - оно делится на 641.

• • Ошибки в индуктивных рассуждениях Рассмотрим ещё один пример. Подставляя в квадратный трёхчлен P(x)=x 2+x+41 вместо x натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, найдём: P(1)=43, P(2)=47, P(3)=53, P(4)=61, P(5)=71. Все полученные значения данного трёхчлена являются простыми числами. Подставляя вместо x числа 0, -1, -2, 3, -4, получим: P(0)=41, P(-1)=41, P(-2)=43, P(-3)=47, P(-4)=53. Значения данного трёхчлена при указанных значениях переменной x также являются простыми числами. Возникает гипотеза, что значение трёхчлена P(x) является простым числом при любом целом значении x. Но высказанная гипотеза ошибочна, так как, например, P(41)=412+41+41=41 43.

Принцип математической индукции Если предложение А (n), зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 из того, что оно истинно для n=k (где k - любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предложение А (n) истинно для любого натурального числа n.

Метод математической индукции состоит в следующем: для справедливости любого утверждения, высказанного для всех натуральных чисел n>1, достаточно: 1) доказать это утверждение для n=1 2) предположить его справедливость при n=k ≥ 1 3) доказать, что оно верно при n=k+1

Пример: Доказать, что 1 + 3 + 5 +. . . + ( 2 n – 1 ) = n 2. Предположим, что оно справедливо при некотором k , т. е. имеет место 1 + 3 + 5 +. . . + ( 2 k – 1 ) = k 2. Докажем, что тогда оно имеет место и при k + 1. Рассмотрим соответствующую сумму при n = k + 1 : 1 + 3 + 5 +. . . + ( 2 k – 1 ) + ( 2 k + 1 ) = k 2 + ( 2 k + 1 ) = ( k + 1 ) 2. Таким образом, из условия, что это равенство справедливо при n=k вытекает, что оно справедливо и при k + 1, значит оно справедливо при любом натуральном n , что и требовалось доказать.

Доказать, что cумма первых чисел натурального ряда равна n(n+1) 2

Доказать, что сумма первых n чисел вида 3 n-2 равна n(3 n-1) 2

Доказать, что 13+23+. . . +n 3= (1+2+. . . +n)2 • 13 = 12 (истина) • Гипотеза, пусть при n=k истинно: • 13+23+. . . +к 3= (1+2+. . . +к)2 • Докажем истинность при n=k+1 • 13+23+. . . +к 3= (1+2+. . . +к)2