Скачать презентацию Метод конечных элементов в формулировке метода взвешенных невязок Скачать презентацию Метод конечных элементов в формулировке метода взвешенных невязок

Метод конечных элементов.pptx

  • Количество слайдов: 18

Метод конечных элементов (в формулировке метода взвешенных невязок – метода Галеркина ) Подготовили: Мелихова Метод конечных элементов (в формулировке метода взвешенных невязок – метода Галеркина ) Подготовили: Мелихова Мария, Королёва Юлия, Попроцкий Михаил, студенты ИМФи. Т, 4 курс, группа 241

Метод взвешенных невязок • Рассмотрим краевую задачу: • • Где L – дифференциальный оператор Метод взвешенных невязок • Рассмотрим краевую задачу: • • Где L – дифференциальный оператор • V – область, в которой рассматривается задача • S – внешняя граница области V • - пространственные координаты • - точное решение задачи (1)

Пусть некоторая функция u также является решением уравнения, и она может быть аппроксимирована набором Пусть некоторая функция u также является решением уравнения, и она может быть аппроксимирована набором функций : (2) где коэффициенты − неизвестные величины, подлежащие определению с помощью некоторой математической процедуры. В методах невязки эта процедура состоит из двух последовательных этапов.

На первом этапе подстановкой приближенного решения (2) в уравнение (1) находится функция ошибка, или На первом этапе подстановкой приближенного решения (2) в уравнение (1) находится функция ошибка, или невязка, которая характеризует степень отличия от точного решения : (3) В итоге получается алгебраическое уравнение, содержащее текущие координаты и М по-прежнему неизвестных коэффициентов.

На втором этапе на функцию невязки (3) накладываются требования, которые минимизируют взвешенную невязку (метод На втором этапе на функцию невязки (3) накладываются требования, которые минимизируют взвешенную невязку (метод Галеркина): формируют взвешенную невязку путем умножения невязки на некоторые весовые функции , в качестве которых берут сами функции , называемые базисными, и требуется их ортогональность невязке : (4) Если L − линейный оператор, то система (4) переходит в систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов.

Пример • Дано уравнение на промежутке (0; 1): и граничные условия: . Возьмем аппроксимирующую Пример • Дано уравнение на промежутке (0; 1): и граничные условия: . Возьмем аппроксимирующую функцию в следующем виде: удовлетворяющей граничным условиям при любых .

 • На первом этапе находим невязку: • Выполним процедуру второго этапа: • На первом этапе находим невязку: • Выполним процедуру второго этапа:

 • Интегрирование приведет к системе двух уравнений ( в матричной форме) : решением • Интегрирование приведет к системе двух уравнений ( в матричной форме) : решением которых будут следующие значения :

Решение • Приближенное решение имеет вид : Решение • Приближенное решение имеет вид :

Основная концепция метода конечных элементов • Пусть имеется некоторая область определения задачи, ограниченная контуром Основная концепция метода конечных элементов • Пусть имеется некоторая область определения задачи, ограниченная контуром , как это изображено на рисунке :

 • Внутри этой области и на ее контуре можно задать произвольное количество точек • Внутри этой области и на ее контуре можно задать произвольное количество точек с координатами . • Значения искомой функции в этих точках пусть будут . • Соединяя точки прямыми линиями, получим подобласти, совокупность которых аппроксимирует область в целом. • При этом криволинейные участки контура L заменяется прямолинейными.

 • Размеры и формы подобластей (элементов) могут изменяться произвольно • Их взаимные соединения • Размеры и формы подобластей (элементов) могут изменяться произвольно • Их взаимные соединения не обязательно должны следовать какой-либо регулярной структуре • Последнее обстоятельство обеспечивает геометрическую гибкость метода

 • Каждый элемент можно считать изолированным от всей совокупности и аппроксимировать функцию на • Каждый элемент можно считать изолированным от всей совокупности и аппроксимировать функцию на этом элементе с помощью ее значений в его узлах независимо от того: - какое место займет рассматриваемый элемент в связанной модели - и от поведения функции на других конечных элементах

 • С математической точки зрения это означает следующее: для каждого е-го элемента записывается • С математической точки зрения это означает следующее: для каждого е-го элемента записывается локальная (элементная) аппроксимирующая функция вида: где : r - число узлов, принадлежащих e - му элементу - значения искомой функции в узлах e-го элемента - базисная функция - объём е-го элемента

 • Поскольку каждый элемент рассматривается отдельно, то его свойства изучаются независимо от других • Поскольку каждый элемент рассматривается отдельно, то его свойства изучаются независимо от других элементов, т. е. дифференциальное уравнение с соответствующими граничными условиями решается для каждого е - го элемента , например, методом Галеркина : (*) • Полученные на основании формулы (*) матрицы для отдельных элементов, которые содержат в качестве неизвестных узловые значения функции , формируют в глобальную матрицу для всей области определения V задачи.

 • Разрешая полученную таким образом систему алгебраических уравнений, определяют значения искомой функции в • Разрешая полученную таким образом систему алгебраических уравнений, определяют значения искомой функции в узлах , что позволяет найти приближенное решение задачи для всей области в целом: где Е - число элементов, совокупность которых аппроксимирует область V в целом.

Основные этапы МКЭ • В соответствии с концепцией МКЭ основными этапами его применения к Основные этапы МКЭ • В соответствии с концепцией МКЭ основными этапами его применения к решению краевых задач являются следующие: • Построение сетки из конечных элементов, взаимосвязанных в узловых точках, при этом границы внешних элементов аппроксимируют границу области в целом • Получение (выбор) базисных функций элементов • Построение матричного представления для каждого элемента на основании формулы (*)

Основные этапы МКЭ • Объединение всех элементов (матриц каждого элемента) в ансамбль ( глобальную Основные этапы МКЭ • Объединение всех элементов (матриц каждого элемента) в ансамбль ( глобальную матрицу) путем матричных преобразований • Задание краевых условий для элементов • Решение результирующей системы уравнений: - обыкновенных дифференциальных первого порядка (нестационарный процесс – u=u(x, t)) - алгебраических (стационарный процесс - u=u(x)) • Вывод и оценка результатов