Метод конечных элементов в формулировке метода взвешенных невязок

Метод конечных элементов (в формулировке метода взвешенных невязок – метода Галеркина ) Подготовили: Мелихова Мария, Королёва Юлия, Попроцкий Михаил, студенты ИМФи. Т, 4 курс, группа 241

Метод взвешенных невязок • Рассмотрим краевую задачу: • • Где L – дифференциальный оператор • V – область, в которой рассматривается задача • S – внешняя граница области V • - пространственные координаты • - точное решение задачи (1)

Пусть некоторая функция u также является решением уравнения, и она может быть аппроксимирована набором функций : (2) где коэффициенты − неизвестные величины, подлежащие определению с помощью некоторой математической процедуры. В методах невязки эта процедура состоит из двух последовательных этапов.

На первом этапе подстановкой приближенного решения (2) в уравнение (1) находится функция ошибка, или невязка, которая характеризует степень отличия от точного решения : (3) В итоге получается алгебраическое уравнение, содержащее текущие координаты и М по-прежнему неизвестных коэффициентов.

На втором этапе на функцию невязки (3) накладываются требования, которые минимизируют взвешенную невязку (метод Галеркина): формируют взвешенную невязку путем умножения невязки на некоторые весовые функции , в качестве которых берут сами функции , называемые базисными, и требуется их ортогональность невязке : (4) Если L − линейный оператор, то система (4) переходит в систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов.

Пример • Дано уравнение на промежутке (0; 1): и граничные условия: . Возьмем аппроксимирующую функцию в следующем виде: удовлетворяющей граничным условиям при любых .

• На первом этапе находим невязку: • Выполним процедуру второго этапа:

• Интегрирование приведет к системе двух уравнений ( в матричной форме) : решением которых будут следующие значения :

Решение • Приближенное решение имеет вид :

Основная концепция метода конечных элементов • Пусть имеется некоторая область определения задачи, ограниченная контуром , как это изображено на рисунке :

• Внутри этой области и на ее контуре можно задать произвольное количество точек с координатами . • Значения искомой функции в этих точках пусть будут . • Соединяя точки прямыми линиями, получим подобласти, совокупность которых аппроксимирует область в целом. • При этом криволинейные участки контура L заменяется прямолинейными.

• Размеры и формы подобластей (элементов) могут изменяться произвольно • Их взаимные соединения не обязательно должны следовать какой-либо регулярной структуре • Последнее обстоятельство обеспечивает геометрическую гибкость метода

• Каждый элемент можно считать изолированным от всей совокупности и аппроксимировать функцию на этом элементе с помощью ее значений в его узлах независимо от того: - какое место займет рассматриваемый элемент в связанной модели - и от поведения функции на других конечных элементах

• С математической точки зрения это означает следующее: для каждого е-го элемента записывается локальная (элементная) аппроксимирующая функция вида: где : r - число узлов, принадлежащих e - му элементу - значения искомой функции в узлах e-го элемента - базисная функция - объём е-го элемента

• Поскольку каждый элемент рассматривается отдельно, то его свойства изучаются независимо от других элементов, т. е. дифференциальное уравнение с соответствующими граничными условиями решается для каждого е - го элемента , например, методом Галеркина : (*) • Полученные на основании формулы (*) матрицы для отдельных элементов, которые содержат в качестве неизвестных узловые значения функции , формируют в глобальную матрицу для всей области определения V задачи.

• Разрешая полученную таким образом систему алгебраических уравнений, определяют значения искомой функции в узлах , что позволяет найти приближенное решение задачи для всей области в целом: где Е - число элементов, совокупность которых аппроксимирует область V в целом.

Основные этапы МКЭ • В соответствии с концепцией МКЭ основными этапами его применения к решению краевых задач являются следующие: • Построение сетки из конечных элементов, взаимосвязанных в узловых точках, при этом границы внешних элементов аппроксимируют границу области в целом • Получение (выбор) базисных функций элементов • Построение матричного представления для каждого элемента на основании формулы (*)

Основные этапы МКЭ • Объединение всех элементов (матриц каждого элемента) в ансамбль ( глобальную матрицу) путем матричных преобразований • Задание краевых условий для элементов • Решение результирующей системы уравнений: - обыкновенных дифференциальных первого порядка (нестационарный процесс – u=u(x, t)) - алгебраических (стационарный процесс - u=u(x)) • Вывод и оценка результатов