Метод искусственного базиса Если ограничения задачи ЛП

Метод искусственного базиса

Если ограничения задачи ЛП содержат единичную матрицу порядка m, то при неотрицательных правых частях ограничений определен первоначальный план. ¢ Если ограничения задачи ЛП можно преобразовать к виду AX≤A 0 при A 0 ≥ 0 , то система ограничений всегда содержит единичную матрицу. ¢

¢ Многие задачи ЛП не содержат единичную матрицу и не приводятся к такому виду. ¢ В этом случае применяется метод искусственного базиса.

Рассмотрим задачу на отыскание максимального значения линейной функции при ограничениях: Система ограничений состоит из k неравенств и m-k уравнений

Для получения единичной матрицы к каждому ограничению системы добавим по одной переменной среди которых m-k переменных искусственные В результате этого получим расширенную задачу : M - большое положительное число

При минимизации целевая функция -

Расширенная задача имеет исходное допустимое решение определяемое системой единичных векторов, образующих базис m-го векторного пространства. Этот базис называют искусственным базисом. Исходное решение

¢ Все данные расширенной задачи заносят в симплекс-таблицу, которая содержит на одну строку больше, чем обычная таблица. ¢ В m+2 -ю строку помещают коэффициенты при M, а в m+1 -ю – слагаемые, не содержащие M.

¢ При переходе от одной таблицы к другой в базис вводят вектор, соответствующий наибольшему по абсолютной величине отрицательному числу m+2 -й строки (и наибольшему положительному числу m+2 -й строки в случае исследования целевой функции на минимум).

¢ Итерационный процесс по m+2 -й строке проводят до исключения из базиса всех искусственных векторов, затем процесс отыскания оптимального решения продолжают по m+1 -й строке.

Если при переходе от одной таблицы к другой не все искусственные вектора будут исключены, но m+2 -я строка не содержит больше отрицательных элементов то исходная задача не имеет решения. ¢

Пример. При изготовлении обуви используют 2 вида жесткой кожи – чепрак и ворот. Каждый из видов кожи в свою очередь делится на 2 категории по средней толщине. ¢ Необходимо составить план производства деталей из кожи, при котором затраты будут минимальными. ¢

Толщ Количество ина деталей детали, мм по плану, тыс. шт. Количество деталей, которое можно изготовить из 1000 м 2 кожи, тыс. шт. Толщина чепрака, мм Толщина ворота, мм 4, 01 – 4, 51 – 5, 0 3, 5 – 4, 0 4, 51 – 5, 0 3, 9 21 26, 5 7, 8 ––– 3, 0 30 51, 0 26 45, 7 ––– 2, 5 500 ––– 50 72, 5 Количество имеющегося материала, тыс. м 2 0, 9 0, 8 5, 0 6, 0 Стоимость 1000 м 2, тыс. руб. 14, 4 16 12, 8 10, 5

Решение. Составим математическую модель задачи. Обозначим : x 1 - необходимое количество чепрака толщиной 4, 01 – 4, 5 мм, x 2 – чепрака толщиной 4, 51 – 5 мм, x 3 – ворота толщиной 3, 5 – 4, 0 мм, x 4– ворота толщиной 4, 51 – 5 мм. ¢

¢ Так как имеются ограничения на количество материала, а предприятие должно выполнить, или перевыполнить план по изготовлению деталей обуви, то получим ограничения:

¢ Общие затраты при изготовлении деталей обуви из различного вида кожи составляют

¢ Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования.

¢ Вычтем из третьего уравнения первое и второе, получим систему ограничений, в которую необходимо включить только одну искусственную переменную x 12

¢ Получим расширенную задачу, состоящую в отыскании минимума функции: при условиях

¢ Расширенная задача имеет исходное допустимое решение определяемое системой единичных векторов.

Составим первую симплекс-таблицу, содержащую 9 строк. 9 - я строка

¢ Для заполнения 8 и 9 строки находим значения Значение состоят из двух слагаемых, одно из которых содержит M, другое – нет. Для удобства итерационного процесса число, стоящее при M записываем в 9 строке, а слагаемое, которое не содержит M, – в 8 строке.

В 9 -й строке первой симплекс-таблицы в столбцах векторов имеются два положительных числа 50 и 72, 5. Это решение расширенной задачи не является оптимальным.

¢ ¢ Строим вторую симплекс-таблицу. Для этого в базис вводим вектор А 4 Чтобы определить вектор, исключаемый из базиса, находим Следовательно, вектор А 11 исключаем из базиса

План не является оптимальным, так как в 9 -й строке второй симплекс-таблицы имеется положительное число 50. ¢ Для построения третьей симплекстаблицы введем в базис вектор А 3. ¢ следовательно, исключаем из базиса вектор А 5 .

¢ Допустимым решением расширенной задачи является решение Это решение не является оптимальным, поскольку в 9 -й строке симплекс-таблицы имеются два положительных числа 26, 5 и 7, 8. Наибольшее из них – 26, 5 стоит в столбце вектора А 1, его вводим в базис. и значит, вектор А 12 исключаем из базиса Вектор А 12 искусственный и его не следует вводить последующие базисы, поэтому в дальнейшем этот столбец не заполняется.

Четвертая симплекс-таблица содержит только 8 строк Мы получили допустимое решение исходной задачи Оно является оптимальным

¢ значение целевой функции Таким образом, для того чтобы обеспечить выполнение и перевыполнение плана выпуска деталей при минимальной стоимости материала в 91 200 руб. , необходимо использовать 800 м 2 чепрака толщиной 4, 01 -4, 5 мм, 1300 м 2 ворота толщиной 3, 5 -4, 0 мм и 6000 м 2 толщиной 4, 51 -5, 0 мм

Вопросы 1. 2. 3. 4. 5. 6. Для чего нужен искусственный базис? В каких случаях применяется искусственный базис? Как меняется целевая функция при введении искусственного базиса? Как меняется симплекс-таблица при введении искусственного базиса? Как определяется оптимальность решения? Если решение оптимальное, а искусственные переменные остались в базисе, что это означает?