Место темы Обыкновенные дроби среди других тем курса

Место темы «Обыкновенные дроби» среди других тем курса математики Натуральные числа и число 0 Не хватает чисел для выполнения простейших вычислений Мотив введения обыкновенных дробей

Определение обыкновенной дроби Основное свойство дроби Сравнение дробей Сократимые дроби Способы доказательства равенства дробей Изображение на координатной прямой Сложение Распределительный закон Деление Нахождение числа по его части Законы Разные способы умножения Нахождение части от числа Умножение Действия со смешанными числами Рациональные числа Вычитание Рациональные приемы вычитания Действия с обыкновенными дробями Перевод вдесятичную дробь Несократимые дроби Законы сложения Равные обыкновенные дроби

О б ы к н о в ен н ы е д р об и Итоговый урок по теме

История вопроса & В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. . . 1 2 3 . . . !?

Но с развитием цивилизации $ человеку потребовались всё большие и большие числа. . . 100 20 100 6 10 10 1024 358

Процесс этот продолжался и потребовал большого несколько столетий умственного труда

С зарождением обмена ? ? ? <= >

Действия над числами = ?

Развитие науки Возникновению и развитию наук арифметики способствовало её практическое применение строительство мореплавание торговля

Много веков в арифметике имели дело с относительно небольшими числами. Например, в системе счисления Древней Греции самыми большим числом, которое имело название, была «мириада» - 10000.

Долгое время для записи чисел люди пользовались только целыми числами 267 4 0 538 1 875 0 7 9 4

Но числа бывают и. . . дробными, 1 2 то есть неполными 7 15 3 8

Обыкновенной дробью называется или несколько частей часть единицы 3 4

Название долей зависит от того, на сколько равных част разделена единица (предмет, фигура) 1 8

Одна шестая 1 6 Пять шестых 5 6

Определение р п Если числитель меньше Число, показывающее знаменателяp взятых дробь ), количество( < n то долей, называется числителем дроби правильной Если числитель не меньше Число, показывающее, на знаменателяp ≥ n), то дробь сколько долей разделена ( единица (целое), называется знаменателем дроби неправильной Здесь p – целое число, n – натуральное число

Смешанное число Запись вида называется смешанным числом, где a – целая часть, - дробная часть

Выделение целой части из неправильной дроби Пусть дробь неправильная. b : n = a (остаток p) a p = p a n

Всякую дробь можно отобразить на числовом луче Х О 1 Луч с заданным единичным отрезком называют числовым

Координатный луч A О 1 Единичный отрезок P 2 3 Р(3) A(1) Х 4 Координата точки P равна 3 - второе название числового луча

Отображение обыкновенных дробей на числовом луче 2 6 О 1 2 5 6 A Х 1 1 3 Чтобы отобразить на числовом луче дробное число, единичный отрезок делят на части

Отображение обыкновенных дробей на числовом луче 8 6 О 11 Х 6 1 2 4 1 =1 3 3

С помощью числового (координатного) луча можно q выполнять арифметические q сравнивать дробные числа действия + < > = ? × – p n t q : сложение вычитание умножение деление

Сравнение дробей выполняется по правилу: ь если числам соответствуетодна и та же точка числового луча, то числа считаются равными 1 2 = 3 6 2 6 О 1 3 1 Х

Сравнение дробей Теорема Для того чтобы две дроби были равны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство натуральных чисел. p п = t q , если pq = nt

Эквивалентные дроби Две дроби p п и t q называются эквивалентными , когда они выражают длину одного и того же отрезка

Несократимые дроби Если числитель и знаменатель дроби p п *, то дробь числа взаимно простые называется несократимой * - взаимно простыми называются числа, не имеющие общего делителя

Несократимые дроби Теорема Для любого положительного рационального числа (т. е. для множества эквивалентных дробей) найдется одна и только одна представляющая его дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты.

Сравнение дробей выполняется по правилу: ь на числовом луче большему из двух чисел соответствует точка, расположенная правее 1 5 > 3 6 A О 1 3 5 1 6 Х

Основное свойство дроби Величина дроби не изменится, если её числитель и знаменатель одновременно умножить (разделить) на одно и то же число, не равное нулю. p п = a≠ 0 p : · a p a n ·: a

Арифметические действия с дробями q. Сложение q. Вычитание p п + ─ t п = n≠ 0 p+ t ─ n

Арифметические действия с дробями q. Умножение q. Деление p п : · t p q ·t = n ·q t q n ≠ 0; qt ≠ 0 q ≠ 0;

Рассмотрим примеры на сложение дробей Дроби с одинаковыми знаменателями 3 8 + 1 8 = 3 4 1 8 2 +1 = = 8 Числители дробей складываются Знаменатели остаются без изменения!

Рассмотрим примеры на сложение дробей Смешанные числа с одинаковыми знаменателями 3 1 1 +2 =(2 +1 ) + + = 8 8 4 1 =3 =3 8 2

Рассмотрим примеры на сложение дробей Смешанные числа с одинаковыми знаменателями 5 5 1 +2 =(2 +1 ) + + = 8 8 1 10 =3 = 4 8 4 При получении в сумме неправильной дроби из неё всегда выделяется целая часть

Рассмотрим примеры на сложение дробей Дроби с разными знаменателями 1 4 + 3 8 =?

Рассмотрим примеры на сложение дробей Дроби с разными знаменателями 1 4 + 3 8 5 =? 8 1 О О 5 8 О Х Х 1

Рассмотрим примеры на вычитание дробей Дроби с одинаковыми знаменателями 3 8 – 1 8 = 3 2 1 8 4 – 1= = 8 Из числителя уменьшаемого вычитается числитель вычитаемого Знаменатели остаются без изменения!

Рассмотрим примеры на вычитание дробей Смешанные числа с одинаковыми знаменателями 5 2 5 – 2 = (5 – 2 ) 8 8 3 5 2 +( – ) =38 8 8 + При невозможности выполнить вычитание дробных частей смешанных чисел одну единицу целой части уменьшаемого дробят «присоединяют» к его дробной части

Рассмотрим примеры на вычитание дробей Дроби с разными знаменателями 7 1 8 4 – 8 = 7 8 2 7– 2 – = 8 8 5 = 8 8 Перед началом выполнения действия с дробями, имеющими разные знаменатели, необходимо выполнить приведение дробей к одному знаменателю

Рассмотрим примеры на вычитание дробей Дроби с разными знаменателями 5 8 – 4 3 =? 8 Х 1 О О 1 3 Х 1 Х 8 О 1

Рассмотрим примеры на умножение дробей 5 8 2 5 3 8 · = 3 10 · = = 3 24 12 · 2 5 Числители дробей перемножаются Знаменатели дробей перемножаются Первое произведение делится на второе

Рассмотрим примеры на умножение дробей Умножение дроби на натуральное число р 5 n · 2 = 8 8 · 5 t = · = 2 8 p · t n 10 1 8 4 =1 В этом случае достаточно умножить числитель на натуральное число и поделить произведение на знаменатель

Рассмотрим примеры на деление дробей Деление дроби на натуральное число р : t = : 2 = 8 p 5 5 8 n · 2 ·t = 5 16 В этом случае достаточно умножить знаменатель на натурально число и поделить числитель на произведение

Взаимно обратные дроби ь Дроби называются взаимно обратными, если их произведение равно единице р n n · =1 p

Рассмотрим примеры на деление дробей Деление дроби на дробь р n : q t = р n : · q t t q В этом случае достаточно заменить деление дробей умножением делимого на дробь, обратную делителю

Рассмотрим примеры на деление дробей Деление дроби на дробь 1 5 : 3 4 = 1 5 : · 4 3 3 4 = 4 15

Желающие могут проверить свои знания арифметических действий с обыкновенными дробями