медианы Четыре замечательные точки треугольника серединные перпендикуляры биссектрисы высоты
Свойство биссектрисы неразвёрнутого угла Теорема 1. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. В Дано: Х Е М М А К ВАС, АХ – биссектриса, є АХ, МЕ АВ, МК АС Доказать: МЕ = МК С Теорема 2 ( обратная). Точка, лежащая внутри неразвёрнутого угла и равноудалённая от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла. Обобщённая теорема: биссектриса неразвёрнутого угла – множество точек плоскости, равноудалённых от сторон этого угла.
Первая замечательная точка треугольника Теорема. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. В М У О Дано: Р Е АВС, АЕ, ВТ – биссектрисы, О - точка их пересечения Доказать: СУ – биссектриса АВС, О є СУ С А Доказательство: Т К АЕ – биссектриса и ОМ АВ, ОК значит, ОМ = ОК ВТ – биссектриса, и ОМ АВ, ОР АС, ВС, значит, ОМ = ОP Значит, ОМ = ОК = ОР и ОР ВС, ОК АС, следовательно, О лежит на биссектрисе угла АСВ, т. е. СУ – биссектриса АВС. Значит, О – точка пересечения трёх биссектрис треугольника.
№ 676(а), 678(а), 674
Д/З: п. 74, № 675, 676(б), 678 (б), презентации «ИЗ ИСТОРИИ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ТОЧЕК ТРЕУГОЛЬНИКА»
С/Р, свойства биссектрисы угла, свойства пересекающихся хорд, № 674
Серединный перпендикуляр к отрезку Теорема 1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку Р равноудалена от его концов. М А К Дано: АВ – отрезок, РК – серединный перпендикуляр, М є РК В Доказать: МА = МВ Теорема 2. Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Обобщённая теорема: серединный перпендикуляр к отрезку – множество точек плоскости, равноудалённых от его концов.
Вторая замечательная точка треугольника Теорема. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. В k Дано: p О А АВС, k, n – серединные перпендикуляры к сторонам треугольника, О – точка их пересечения Доказать: р – серединный перпендикуляр к ВС, О є р С Доказательство: n n – серединный перпендикуляр к АС и О є n, значит, ОА = ОС. k – серединный перпендикуляр к АВ и О є k, значит, ОА = ОВ. Следовательно, ОА = ОВ =ОС, значит, О лежит на серединном перпендикуляре к стороне ВС, т. е. на р. Значит, О – точка пересечения серединных перпендикуляров k, n, p.
Вторая замечательная точка треугольника (продолжение) Ещё возможное расположение:
№ 680(а)
Задача № 680. В Дано: АВС, АМ = ВМ, МD AB, AK = KC, DK AC, D є BC. D М Доказать: D - середина ВС, А = В + С. 1 А 2 С К а) АМ = ВМ, МD AK = KC, DK Доказательство: AB, D є BC по условию, значит, ВD = AD BD = DC, AC, D є BC по условию, значит, AD = DC следовательно, D – середина ВС. б) По доказанному ВD = AD и AD = DC, значит, треугольники АВD и АСD – равнобедренные, поэтому ВАС = 1+ 2= В+ 1= В, С, что и т. д. 2= С.
№ 679(а)
Д/З: № 686, 679(б), 680(б), п. 75, вопросы1 -19
с/р разобрать
• Центральные и вписанные углы(теор о впис угле) • Свойства биссектрисы угла(опр, ТЕОРЕМА, следствия 1 и 2) • Св-ва серединного перпендикуляра угла(опр, ТЕОРЕМА, следствия 1 и 2)
Третья замечательная точка треугольника Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую в отношении 2: 1, считая от вершины. (центр тяжести треугольника – центроид) В Дано: Р О М АВС, AM, ВК, СР - медианы Доказать: АМ ВК СР = О Доказательство проведено ранее: задача 1 п. 62. А К С
Четвёртая замечательная точка треугольника Теорема. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке(ортоцентр). В В А К Н М А О Н К А С М С С(К, Н, О) М В О Дано: АВС, АК, ВН, СМ - высоты Доказать: О – точка пересечения высот или их продолжений.
Доказательство: Через вершины В, А, С треугольника АВС В Е М О Т Н АС, ЕУ ВС, ТУ АВ. Получим: АСВЕ – параллелограмм, значит, АС = ВЕ АСТВ – параллелограмм, значит, АС = ВТ К С А проведём ЕТ Следовательно, ВЕ = ВТ, т. е. В – середина ЕТ. Т. к. ВН – высота Т. к. ЕТ АВС по условию, то ВН АС по построению, значит, ВН АС ЕТ Получим: ВН – серединный перпендикуляр к ЕТ. У Аналогично, СМ – серединный перпендикуляр к ТУ и АК - серединный перпендикуляр к УЕ. Т. е. ВН, СМ, АК – серединные перпендикуляры к сторонам которые по ранее доказанному пересекаются в одной точке, значит, высоты АВС пересекаются в одной точке. ЕТУ,
Д/З: п. 74 -76, № 682, 684, 685, вопросы 1 -20
Скачать презентацию медианы Четыре замечательные точки треугольника серединные перпендикуляры биссектрисы
четыре замечательные точки моя.ppt