МБОУСОШ 3 г Усмани МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

МБОУСОШ № 3 г. Усмани «МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ» учитель: Яковлева Людмила Васильевна г. Усмань, 2013 г.

ЦЕЛИ УРОКА обобщить знания и отработать навыки решения тригонометрических уравнений различными способами посредством включения учащихся в самостоятельную познавательную деятельность, подготовить учащихся к выполнению контрольной работы по данной теме; способствовать воспитанию самостоятельности и ответственности обучающихся за качество своих знаний создать условия для развития навыков самоконтроля, умений анализировать, составлять план или алгоритм учебных действий.

ДЕВИЗ УРОКА: “Сегодня – мы учимся вместе: я, ваш учитель и вы мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса ”. Сухомлинский

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Сведение к квадратным уравнениям; Сведение к однородным уравнения; Группировка и разложение на множители; Преобразование сумм в произведения и произведений в суммы; Метод вспомогательного угла; Функционально-графический Универсальная подстановка Метод мажорант

БЛОК СХЕМА РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ 1. нет УРАВНЕНИЙ Привести к одинаковым углам Углы одинаковые Да Функции одинаковые нет 4. Изменить 2. Приводится к углы одинаковым функциям нет Да да Сделать замену и решить уравнение как алгебраическое да нет 3. Привести к sin или cos Однородное Да Нет Почти однородное 2 -порядка ? да Обе части уравнения делим на sin или cos в степени равной порядку уравнения Да Нет Сделать замену Sin 2 x+cos 2 x=1 Почти однородное 1 -порядка ? Нет нет 5. Левую часть уравнения разложить на множители и каждый из них приравнять к нулю

УРАВНЕНИЕ COS T = A. Если lаl› 1, то уравнение не имеет корней. Если lаl≤ 1, то t = ±arccos a + 2πn, n Є Z. Частные случаи: cos t = 0, t = π/2+ πn, n Є Z. cos t = 1, t = 2πn, n Є Z. cos t = -1, t = π +2πn, n Є Z. arccos (-a) = π – arccos a cos (arccos a) = a

УРАВНЕНИЕ SIN T = A. Если lаl› 1, то уравнение не имеет решений. Если lаl≤ 1, то t = (-1)ⁿarcsin a + πn, n Є Z. Частные случаи: sin t = 0, t = πn, n Є Z. sin t = 1, t = π/2 + 2πn, n Є Z. sin t = -1, t = -π/2 + 2πn, n Є Z. arcsin (- a) = - arcsin a. arccos a + arcsin a = π/2

УРАВНЕНИЕ TG T = A t = arctg a + πn, n Є Z. arctg (-a) = - arctg a. tg (arctg a) = a

УРАВНЕНИЕ CTG T = A. t = arcctg a + πn, n Є Z. arcctg (-a) = - arcctg a. arctg a + arcctg a = π/2

УРАВНЕНИЕ СВОДИМОЕ К КВАДРАТНОМУ sin²x + sin x -2 = 0 Это уравнение является квадратным относительно sin x. Обозначив sin x = y, получим уравнение у²+ у – 2 = 0. Его корни у = 1, у2 = -2. Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin x = 1 и sin x = - 2. Уравнение sin x = 1 имеет корни x = π/2 + πn, n Є Z. Уравнение sin x = - 2 не имеет корней. 1

УРАВНЕНИЕ СВОДИМОЕ К ОДНОРОДНОМУ 2 cos x – 3 sin x = 0 Это однородное уравнение первой степени. Обе части уравнения нужно разделить на cos x = 0. Уравнение cos x = 0 не содержит корней данного уравнения. Действительно, если cos x 0 = 0, то 2 cos x 0 - 3 sin x 0 = 0, но это не возможно, так как cos²x 0 + sin² x 0 = 1. Следовательно, имеем равносильное уравнение tg x = 2/3; x = arctg 2/3 + πm, m Є Z.

МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ При решении этого типа уравнения необходимо пользоваться известным правилом: произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные при этом имеют смысл. cos x(3 tg x-5)=0 1) cos x = 0, или cos x ≠ 0, 3 tg x = 5 x = arctg 5/3 + πm, m Є Z. 2) (2 cos x – 1) √sin x = 0, sin x = 0 или cos x = ½ x = πk, k Є Z; sin x › 0. x= π/3 + 2πm, m Є Z.

Преобразование сумм в произведения и произведений в суммы

МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО УГЛА

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ sinx-cosx=1 На одном и том же чертеже построим графики функций, соответствующих левой и правой части уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков являются решением данного уравнения, у = sin х - график синусоида. у = соs х + 1 – синусоида, смещённая на единицу вверх.

УНИВЕРСАЛЬНАЯ ПОДСТАНОВКА х + 2 n; Проверка обязательна!

МЕТОД МАЖОРАНТ

ЗАДАНИЕ НА ДОМ:

“ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию” Я. А. Коменский