Матрицы Семинар 3 Матрица таблица состоящая

Матрицы Семинар 3

Матрица — таблица, состоящая обычно из чисел — матричных элементов. Однако в качестве матричных элементов могут выступать и объекты другого вида — векторы, функции, другие матрицы и т. д. Матрицы - математические объекты, которые, подобно векторам, широко используются для моделирования различных физических и химических структур и их свойств. Матрица - совокупность строк и столбцов Иногда матрицу удобно рассматривать как вектор-столбец, элементами которого являются вектор-строки, или, наоборот, как вектор-строку, элементами которой являются вектор-столбцы.

Характеристики матриц

Для матрицы 1 x 1 Для матрицы 2 x 2 Для матрицы n x n

- минор

Операции над матрицами произведение двух матриц скалярные произведения каждой строки первой матрицы на каждый столбец второй матрицы коммутатор

Типы матриц

Нахождение определителя Выберем для разложения первую строку. Разложим вспомогательные матрицы размера (2 2) 2 (5 5 – 7 1) – 4 (3 5 – 7 4) + 8 (3 1 – 5 4) Выполним все арифметические действия Det(A) = 2 (25 – 7) – 4 (15 – 28) + 8 (3 – 20) = = 2 (18) – 4 (– 13) + 8 (– 17) = 36 + 52 – 136 = – 48 Нахождение перманента Р (А) = 2 (25 + 7) + 4 (15 + 28) + 8 (3 +20) = = 2 (32) + 4 (43) + 8 (23) = 64 + 172 + 184 = 420. След матрицы?

(аij)– 1 = Aji / Det (A) Найдем обратную матрицу Рассчитаем алгебраические дополнения для всех элементов прямой матрицы а 13 = 8 а 21 = 3 а 22 = 5 а 23 = 7 а 31 = 4 а 32 = 1 а 33 = 5 А 13 = А 21 = А 22 = А 23 = А 31 = А 32 = А 33 = +1 – 1 +1 (3 1 – 5 4) (4 5 – 8 1) (2 5 – 8 4) (2 1 – 4 4) (4 7 – 8 5) (2 7 – 8 3) (2 5 – 4 3) Транспонируем матрицу = = = = – 17 – 12 – 22 +14 – 12 +10 – 2 Обратная матрица

1 – 2 i 2–i 2 4 + 3 i 0 – 3 С = 3+ i 1 1+i Исходная комплексная матрица Комплексно сопряженная матрица Сопряженная матрица

Линейные операторы Рассмотрим умножение матрицы на вектор-столбец линейный оператор вектор-прообраз вектор-образ Такую операцию обычно называют преобразованием вектора х в вектор у посредством матрицы А Оператор - любое правило преобразования однотипных объектов друга (умножение на число, прибавление числа, возведение в степень и др. ) Матрицы часто называют также матричными представлениями операторов.

Операции симметрии Правила преобразования объектов тоже операторы! Каждый такой оператор можно легко изобразить посредством квадратной матрицы — матричного представления операции симметрии. Например: Единичная операция симметрии

Рассмотрим другую операцию — С 2 z Аналогично, найдем матричные представления для операций отражения:

Между матрицами существуют те же самые соотношения (связи) что и между операциями симметрии. Другими словами, полученный нами набор из 4 -х матриц-представлений является группой, устроенной идентично группе симметрии С 2 v. Группы, элементами которых являются числовые матрицы называются матричными представлениями. Матричные представления ТГС играют очень важную роль в описании симметрии физических и химических объектов и имеют обширные практические приложения.

При действии линейного оператора вектор-прообраз х переходит в векторобраз у Иногда наблюдается пропорциональность y = x Собственное значение (число) Собственный вектор Количество собственных векторов оператора равно размерности матрицы Каждому собственному вектору соответствует своё собственное значение. Иногда несколько собственных чисел являются одинаковыми (вырожденными). Полный набор собственных значений оператора называется его спектром.

Каждый собственный вектор существует в бесконечном числе экземпляров, отличающихся друг от друга длиной, но совпадающих по направлению. Где k – любое число Говоря о собственном векторе, мы всегда подразумеваем под этим некоторый луч При действии оператора на этот луч, он никак не изменяется (преобразуется сам в себя). Поэтому часто употребляют такие термины как инвариантное направление или инвариантное подпространство. В качестве представителя такого собственного луча (инвариантного подпространства) часто используют нормированный вектор этого луча. В этом случае понятие собственного вектора становится вполне определенным не только в отношении направления, но и в отношении длины.

Собственные векторы и собственные значения операторов имеют чрезвычайно широкое применение в физике и химии. квантовомеханические волновые функции Собственные векторы оператора Гамильтона энергии этих состояний Собственные числа того же оператора Можно сказать, что решение большей части квантовомеханических задач сводится к нахождению собственных векторов и собственных чисел некоторых линейных операторов.

Процедура нахождения собственных векторов и собственных значений уравнение на собственные значения Уравнение в координатном представлении

Раскроем эту матрично-векторную запись A 11 • а 1 A 21 • а 1. . . An 1 • а 1 + A 12 • а 2 +. . . + A 1 n • аn + A 22 • а 2 +. . . + A 2 n • аn. . . . + An 2 • а 2 +. . . + Ann • аn = =. = • a 1 • a 2. . • an Приведём подобные члены (A 11 – ) • а 1 + A 12 • а 2 A 21 • а 1 + (A 22 – ) • а 2. . An 1 • а 1 + An 2 • а 2 +. . . + A 1 n • аn = 0 +. . . + A 2 n • аn = 0. . + (Ann – ) • аn = 0 Получилась однородная система линейных уравнений. Она имеет решение только тогда, когда определитель системы равен нулю.

Определитель системы уравнений будет иметь вид: Раскроем определитель и приведём подобные члены: Сn • n + Сn– 1 • n– 1 + Сn– 2 • n– 2 +. . . + С 1 • + Co = 0 характеристическое уравнение оператора (матрицы) Спектр оператора состоит из корней его характеристического уравнения!

Подставим первое собственное значение в систему (A 11 – 1) • а 1 + A 12 • а 2 A 21 • а 1 + (A 22 – 1) • а 2. . . An 1 • а 1 + An 2 • а 2 +. . . + A 1 n • аn = 0 +. . . + A 2 n • аn = 0. . . + (Ann – 1) • аn = 0 В качестве решения получим набор чисел {а 1, а 2, . . . , аn}1 , которые и представляют собой координаты первого собственного вектора Подставляя в систему по очереди все собственные значения, найдем и остальные собственные векторы:

Рассмотрим для иллюстрации численный пример: Первый этап решения — составление характеристического уравнения Det = (3 – ) • (0 – ) • (3 – ) + 2 • 4 + 4 • 2 – – 4 • (0 – ) • 4 – 2 • (3 – ) – (3 – ) • 2 = = – 9 + 6 2 – 3 + 16 +16 – 12 + 4 = = – 3 + 6 2 + 15 + 8 = 0. Решив это уравнение найдем три корня: 1 = 8 ; 2 = – 1 ; 3 = – 1. Заметим, что здесь мы имеем случай дважды вырожденного корня.

Перейдем к определению собственных векторов, неизвестные координаты которых обозначим как x, y, z. (3 – ) х + 2 y + 4 z = 0 2 x + (0 – ) y + 2 z = 0 4 x + 2 y + (3 – ) z = 0 Подставим в эту систему первое собственное значение 1 = 8. – 5 х + 2 y + 4 z = 0 2 x – 8 y + 2 z = 0 4 x + 2 y – 5 z = 0 Решим полученную систему, выразив все координаты через x: От общего множителя (х/2) можно совсем отказаться (так как все векторы, пропорциональные другу, являются представителями одного и того же собственного луча)

Перейдем к вырожденному собственному значению = – 1. 4 х + 2 y+ 4 z = 0 2 x + 1 y+ 2 z = 0 4 x + 2 y+ 4 z = 0 Видно, что все три уравнения задают только одно соотношение между тремя неизвестными. Можно произвольно выбрать два из этих неизвестных, а третье уже выразить через эти два. уравнение вида 2 x + 1 y + 2 z = 0 определяет некоторую плоскость (двумерное подпространство) в трехмерном пространстве. Любой вектор, лежащий на этой плоскости является собственным для нашего оператора. В случае вырожденных собственных значений мы получаем уже не одномерное собственное подпространство (луч), а собственное подпространство, размерность которого равна степени вырождения собственного значения.

В случае n-мерного собственного подпространства достаточно выбрать n любых вектора и принять их за базис. Обычно в качестве базисных выбирают ортогональные другу векторы (т. е. такие, для которых скалярное произведение равно нулю). Все собственные векторы, соответствующие вырожденному собственному значению, могут быть заданы в виде линейной комбинации этих базисных векторов. Первый базисный вектор можно выбрать произвольно. Положим, например, х = 0 и у = 1. Тогда z = – 1/2. Второй базисный вектор должен удовлетворять как уравнению плоскости (2 x + 1 y + 2 z = 0), так и условию ортогональности:

Решая совместно эти два уравнения, получим: у = – 2/5 х и z = – 4/5 х. два базисных вектора, определяющих собственное двумерное подпространство будут иметь вид: Можно переписать их в более удобном виде (без дробей) Любой вектор, построенный в виде линейной комбинации: b = а 2 + а 3 будет собственным для нашего оператора, с собственным числом – 1 Аb = А( а 2 + а 3) = А( а 2) + А( а 3) = А(а 2) + А(а 3) = = (– 1)(а 2) + (– 1)(а 3) = (– 1) ( а 2 + а 3) = (– 1)b

Свойства собственных векторов Собственные векторы и собственные значения линейных операторов обладают свойством инвариантности, т. е. они не зависят от выбора базиса. Собственные векторы всегда образуют некоторый базис того линейного пространства, в котором действует рассматриваемый оператор – собственный базис. Матрица оператора, выраженная по отношению к собственному базису, имеет квазидиагональный вид: Каждому невырожденному собственному значению соответствует диагональный блок единичного размера (1 1), т. е. просто число, причем это число и является собственным. Дважды вырожденным собственным значениям соответствует блок (2 2) и т. д.