Матрицы их виды Действия над матрицами Матричный метод

Матрицы, их виды. Действия над матрицами. Матричный метод решения систем линейных уравнений

Матрицей порядка n×m называется таблица, составленная из n строк и m столбцов - элементы матрицы. Первый индекс i элемента означает номер строки, второй индекс j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент. Если n = m, то матрица называется квадратной В квадратной матрице элементы образуют диагональ, которая называется главной диагональю матрицы. Определителем квадратной матрицы называется определитель, составленный из элементов данной матрицы

Виды матриц • Треугольная • Диагональная • Транспонированная • Матрица столбец • Две матрицы и одного и того же порядка называются равными, если все соответствующие элементы равны, т. е. или , единичная , присоединенная . . , матрица строка

• • , . . Две матрицы и называются согласованными, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. Пример. Матрица S называется симметрической , если она не меняется при транспонировании, т. е. . У симметрической матрицы элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны. Например: • Матрица К называется кососимметрической , если она при транспонировании меняет свой знак, т. е. . У кососимметрической матрицы на главной диагонали стоят нули, а элементы, симметричные относительно этой диагонали отличаются только знаком. Пример: Матрица Данная матрица является кососимметрическая, т. к.

Действия над матрицами • Сложение матриц возможно, если они одинаковой размерности. При сложении матриц складываются соответствующие элементы: = Пример. Найти сумму матриц. Решение:

• Умножение матрицы на число. При умножении матрицы на число все элементы этой матрицы умножаем на это число: Пример: Найти матрицу С=-2 А, если . Решение:

Свойства операций сложения и умножения на число • . Сложение матриц и умножение их на число обладают следующими свойствами: • Операция транспонирования обладает следующими свойствами:

Умножение матриц • Произведением матрицы на матрицу , где i, j = 1, 2, … , n, называется матрица, любой элемент которой равен сумме произведений элементов i – той строки матрицы А на соответствующие элементы j- того столбца матрицы В, т. е. Перемножать можно только согласованные матрицы. Пример: Найти произведение матриц Решение: . .

Свойства произведения • • Произведение матрицы А на единичную матрицу Е равно самой матрице А: • Произведение матриц подчиняется ассоциативному (сочетательному) закону: • . Произведение матриц некоммутативно, т. е. Для произведения и суммы матриц выполняется дистрибутивный (распределительный) закон: . . • Транспонированная матрица произведения равна произведению транспонированных матриц в обратном порядке, т. е.

Обратная матрица • • Квадратная матрица порядка п называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. В противном случае матрица называется вырожденной. Обратной матрицей для матрицы А называется , произведение которой на матрицу А будет равно единичной матрице, т. е. • Обратная матрица определяется по формуле матрица. • Свойства обратной матрицы: 1) . 2) 3) 4) . , где - присоединенная

Пример. • Найти обратную матрицу для матрицы Решение. Сначала вычислим определитель этой матрицы и покажем, что она невырожденная, т. е. Найдем элементы присоединенной матрицы: . . , . . Теперь составим обратную матрицу

Матричный метод решения систем линейных уравнений • С помощью обратной матрицы можно решить системы линейных уравнений вида: которую в матричном виде можно записать следующим образом: где , Для решения этой системы необходимо её умножить слева на откуда или , т. е.

Пример. Решить систему уравнений матричным методом Решение. Найдем определитель системы Так как определитель отличен от нуля, то обратная матрица существует. Находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы системы , . . Следовательно Находим искомую матрицу Х по формуле: Т. е.