Матрицы и СЛАУ МНК Доцент каф ВМ и

Матрицы и СЛАУ, МНК Доцент каф. ВМ и М, к. т. н. Каменских А. А.

Матрица размера (m×n) - прямоугольная таблица чисел, каждый элемент которой имеет 2 индекса ( первый - по строке и второй - по столбцу). Частные случаи - единичная матрица – это матрица у которой на главной диагонали 1, а вне главной диагонали 0.

Действия над матрицами ТРАНСПОНИРОВАНИЕ – это процедура, применении которой в матрице меняются местами строки и столбцы. Транспонированная матрица обозначается верхним индексом «T» . Если у исходной матрицы размер (m×n), то у транспонированной матрицы размер (n×m). ТРАНСП(массив) СЛОЖЕНИЕ - матрицы складываются поэлементно (складываем числа на одинаковых местах). !!! Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковый размер (т. е. одинаковое число строк и столбцов).

ПЕРЕМНОЖЕНИЕ - матрицы A и B можно перемножать, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Если матрица A имеет размер (m×k), а матрица B имеет размер (k×n), то матрица имеет размер (m×n). При этом AB≠BA. МУМНОЖ(массив 1; массив 2) Пример:

Произведением матрицы A на число k называется матрица, у которой каждый элемент равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число k: Для суммы и произведения матриц справедливы следующие соотношения:

Обратная матрица Матрица называется обратной к матрице A, если - в результате их перемножения получается единичная матрица. !!!Обратная матрица существует, если исходная матрица невырожденная, т. е определитель не равен нулю. Обратную матрицу можно определить только для квадратных матриц. МОБР(массив) Примечание: Умножение квадратной матрицы любого соответствующую единичную матрицу не меняет матрицу. порядка на Определитель матрицы – это число, характеризующее матрицу. Если определитель матрицы не равен 0, то говорят, что матрица невырожденная. В противном случае матрицу называют вырожденной. !!!Определитель вычисляется только для квадратных матриц. МОПРЕД(массив)

Определителем матрицы второго порядка, называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством Подобное определение можно дать и для определителя третьего порядка: + –

СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ). НА ПРИМЕРЕ СИСТЕМЫ ИЗ 3 -Х УРАВНЕНИЙ С 3 -Я НЕИЗВЕСТНЫМИ Тройка чисел называется решением системы (1), если в результате все три уравнения (1) обращаются в тождества. подстановки этих чисел вместо Существует несколько методов решения СЛАУ: метод Крамера, Матричный метод ( метод обратной матрицы), метод Гаусса. В Excel мы будем рассматривать первые два метода. Метод Крамера В методе Крамера основную роль будут играть следующие четыре определителя: – главный определитель системы (1)

Если главный определитель системы (1) не равен нулю, то решение системы (1) существует и единственно. – решение единственное Используя свойства определителей, решение системы (1) можно записать в виде: МОПРЕД(массив) – формулы Крамера Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений МОБР(массив) МУМНОЖ(мас 1; мас 2) – матричная запись СЛАУ – решение СЛАУ (3) в матричном виде

Метод наименьших квадратов — один из методов теории ошибок для оценки неизвестных величин по результатам измерений, содержащим случайные ошибки. Метод наименьших квадратов применяется также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями и часто оказывается полезным при обработке наблюдений. X 0 0, 5 1 1, 5 2 Y -3 -2 0 2, 5 7, 5 8 6 4 2 0 -0. 25 -2 -4 0. 25 0. 75 1. 25 1. 75 2. 25

Необходимо построить функцию, которая бы проходила наиболее близко к указанным точкам – координаты заданных точек (данные из таблицы) – количество заданных точек

X Y X 2 0 -3 0 0, 5 -2 0, 25 1 0 1 1, 5 2, 25 2 7, 5 4 Сумма 5 5 7, 5 X 3 0 0, 125 1 3, 375 8 12, 5 X 4 X×Y X 2×Y 0 0, 063 -1 -0, 5 1 0 0 5, 063 3, 75 5, 625 16 15 30 22, 13 17, 75 35, 13 Система уравнений для определения коэффициентов сглаживающей функции Конечный вид сглаживающей функции

8 6 4 2 0 -0. 25 -2 -4 0. 75 1. 25 1. 75 2. 25