Матрицы и определители Преподаватель: Пушникова Марина Юрьевна

Матрицы и определители Преподаватель: Пушникова Марина Юрьевна

Матрица – это прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины n Матрица А называется матрицей размера mxn , числа a i. J называются ее элементами , где i показывает номер строки , а j – номер столбца. Числа а 11 , а 22 , а 33 … образуют главную диагональ mnmm nn aaа aaа А. . . . .

Пример 2 48 1 24 4 15 31 3 А Размер матрицы – 3 х4 Элемент а 23 =-2 Элемент а 31 =-3 Элемент а 12 =5 Главную диагональ составляют числа 3; -1;

Классификация матриц Две матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц Матрица называется квадратной , если число строк равно числу столбцов. При этом квадратную матрицу размера nxn называют матрицей n -го порядка Квадратная матрица называется диагональной , если все элементы , кроме элементов главной диагонали , равны нулю mnmm nn bbb bbb В. . . . . 21 22221 11211 mnmm nn aaа aaа А. . . . . 21 22221 11211 ijij ba nnnn nn aaа aaа А. . . . . 21 22221 11211 nnaaа А. . . 00. . .

Классификация матриц Диагональная матрица называется единичной , если все элементы главной диагонали равны единице Матрица называется нулевой , если все элементы равны нулю Квадратная матрица называется треугольной , если все элементы , расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю 1. . . 00. . . 10 0. . . 01 Е 0. . . 00 0 nn nn aaa aaа А. . . 00. . . . 0. . .

Классификация матриц Матрица называется вектором , если она содержит или одну строку , или один столбец Матрица называется транспонированной к данной , если каждая строка данной матрицы становится столбцом с тем же номером у новой матрицы. Обозначается А т Матрица называется канонической , если в начале главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю nmmm n n Т aaа aaа А. . . . . 21 22212 12111 nссс. С. . . 21 0. . . 00. . . 10 0. . .

Пример Квадратная матрица А Матрица-вектор В Треугольная матрица С Транспонированные матрицы: 42 31 А 321 В 123 012 001 С 43 21 Т А 3 2 1 Т В 100 210 321 Т С

Действия над матрицами Суммой двух матриц одинакового размера называется матрица, полученная с помощью сложения соответствующих элементов данных матриц Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой умножены на данное число Произведением двух матриц называется матрица, у которой элемент i -той строки и j -того столбца равен сумме произведений элементов i -той строки первой матрицы на соответствующие элементы j -того столбца второй матрицы

Примеры 467 135 124 032 543 103 )4( 124 032 4816 0128 46 7 13 5 124 032 3627 3219 412281620 018140910 416)2()7(4)1(13)2()5(4 406)3()7(2)1(03)3()5(

Свойства действий Переместительное свойство Сочетательные свойства Распределительные свойства Свойства нуля Свойство единицы. АВВА СВАСВА)()( АОА 0 АА ААЕ ВАВА)(ААА)( ; )(АА); ()(СВАСВА САВАСВА)( ВАВА)()( АВВА

Элементарные преобразования матриц 1. Перестановка местами двух параллельных рядов матрицы 2. Умножение всех элементов ряда матрицы на число отличное от нуля 3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число. Две матрицы называются эквивалентными , если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований

Пример

Определитель Определителем квадратной матрицы называется число , которое вычисляется следующим образом: 1. Если порядок квадратной матрицы равен 1, т. е. она состоит из 1 числа, то определитель равен этому числу 2. Если порядок квадратной матрицы равен 2, т. е. она состоит из 4 чисел, то определитель равен разности произведения элементов главной диагонали и произведения элементов побочной диагонали 3. Если порядок квадратной матрицы равен 3, т. е. она состоит из 9 чисел, то определитель равен сумме произведений элементов главной диагонали и двух треугольников параллельных этой диагонали, из которой вычли сумму произведений элементов побочной диагонали и двух треугольников параллельных этой диагонали

Определитель 1111. 1 аа 21122211 2221 1211. 2 аааа аа аа 1132233312213 133221312312332211 333231 232221 131211. 3 ааааааааа ааа ааа

Примеры33 275)3(62 65 32 9)1806()48015(

Свойства определителей 1. Определитель не изменится, если строки заменить столбцами, а столбцы – строками 2. Определитель, имеющий 2 одинаковых ряда, равен нулю 3. Общий множитель какого – либо ряда определителя можно вынести за знак определителя db cа dc bа 0 ba bа dc ba n ndnc bа

Свойства определителей 4. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак на противоположный 5. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей 6. Определитель не изменится, если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое числоcd ab dc ba mc na dc ba mdc nba ncdc naba dc ba

Минор элемента определителя и его алгебраическое дополнение Минором элемента a IJ определителя n -го порядка называется определитель n-1 порядка, полученный из исходного с помощью вычеркивания i -той строки и j -того столбца Алгебраическое дополнение элемента a IJ определителя – это его минор, умноженный на (-1) i+j 333231 232221 131211 ааа ааа А 3332 2322 11 аа аа М 2321 1311 32 аа аа М 3232 23 32)1(ММА 1111 11 11)1(ММА

Свойства определителей 7. Определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения 8. Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю 131312121111 333231 232221 131211 Аа. Аа ааа ааа А 313121211111 333231 232221 131211 Аа. Аа ааа ааа А 0 231322122111 Аа. Аа

Примеры9421815 41 12 6 31 02 3 34 01 5 341 012 635 9)138147(

Обратная матрица Матрица называется невырожденной , если ее определитель не равен нулю , в противном случае, матрицу называют вырожденной Матрица называется союзной, если она состоит из соответствующих алгебраических дополнений и транспонирована Матрица называется обратной к данной матрице, если их произведение равно единичной матрице того же порядка, что и данная матрица 333231 232221 131211 ааа ааа А 0 det A 332313 322212 312111 * ААА ААА АЕАААА

Теорема о существовании обратной матрицы Любая невырожденная матрица имеет обратную, равную союзной матрице, деленной на определитель данной матрицы. A А А det *

Доказательство теоремы EA AAA Аа. Аа. Аа Аа. Аа. Аа ААА ААА ааа ааа. АА det 00 0 det 0 00 det 333332323131233322322131133312321131 332332223121232322222121132312221121 331332123111231322122111131312121111 332313 322212 312111 333231 232221 131211 *

Алгоритм нахождения обратной матрицы 1. Вычислить определитель 2. Вычислить все алгебраические дополнения 3. Составить союзную матрицу, не забывая о транспонировании 4. Разделить каждое число союзной матрицы на определитель

Пример 11 32 А 05)3(2 11 32 det)1 A; 1)211 А; 1)1(12 А ; 3 21 А 2 22 А 21 31 )3 * А 5 2 51 5 3 51 )4 1 А

Нахождение обратной матрицы 3 -го порядка 333231 232221 131211 ааа ааа А 2212 2111 3212 3111 3222 3121 2313 2111 3313 3111 3323 3121 2313 2212 3313 3212 3323 3222 1 det 1. 3 аа аа аа аа аа AА Adet. 1 332313 322212 312111. 2 ааа ааа А Т

Пример 306 413 125 А 9)1806(04815 306 413 125 det A 341 012 635 Т А 9 11 3 4 3 2 9 23 3 7 3 5 9 7 3 2 3 1 11126 232115 763 9 1 12 35 02 65 01 63 41 35 31 65 34 63 41 12 31 02 34 01 9 11 А

Свойства обратной матрицы 1. Определитель обратной матрицы является обратным к определителю данной матрицы 2. Обратная матрица от произведения двух матриц равна произведению матрицы обратной ко второй на матрицу обратную к первой 3. Порядок действий: транспонирование и нахождение обратной матрицы можно менять местами AA det 1 111 АВАВ 1 1 ТТ АА

Минор матрицы Минором матрицы называется определитель , состоящий из элементов, находящихся на пересечении выделенных k строк и k столбцов данной матрицы размера mxn Рангом матрицы называется наибольший порядок того минора матрицы, который отличен от нуля Обозначение r(A), rang. A Минор называется базисным , если его порядок определяет ранг матрицы mnmm nn aaа aaа А. . . . .

Пример 0 0 0 3 6 4 0 0 0 1 3 2 А Все миноры 3 -го порядка равны нулю Минор 2 -го порядка, отличный от нуля: rang. A=

Свойства ранга 1. При транспонировании ранг не меняется 2. Если из матрицы вычеркнуть нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится 3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях 4. Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали

Алгоритм нахождения ранга матрицы 1. Используя элементарные преобразования матриц, привести данную матрицу к ступенчатому виду (а 11 =1, под ним стоят нули; а 22 =1, под ним стоят нули и т. д. ) 2. Ранг равен количеству ненулевых строк

Пример 300 210 011 540 420 011 513 402 3 rang.