Матрицы. 1 Определение. Матрицей

Матрицы. 1

Определение. Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества и состоящая из m строк и n столбцов: Числа aij – элементы матрицы А, где i = 1. . . m – номер строки, j = 1. . . n – номер столбца. Набор чисел , (i = 1. . . m ) называется i -ой строкой матрицы А. Набор чисел (j = 1. . . n ) называется j-ым столбцом матрицы А. Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. 2

Пусть А- квадратная матрица, тогда набор чисел образует главную диагональ. Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой. Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной. Квадратная матрица называется диагональной, если Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковый размер и их соответствующие элементы совпадают. 3

Квадратная матрица называется верхней треугольной, если нижней треугольной, если Матрицей At размера n m , транспонированной к матрице А размера m n, называется матрица, которая получается из матрицы А заменой строк на столбцы, т. е. строки матрицы А являются столбцами матрицы At. Wm n ( )– множество матриц размера m n над множеством действительных чисел. 4

Операции над матрицами. 1. Суммой матрицы А размера m n и матрицы В размера m n называется матрица С размера m n, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В: cij = aij + bij , i = 1, …, n, j = 1, . . . , m. 2. Произведением матрицы А размера m n на число называется матрица В размера m n, каждый из элементов которой получен умножением соответствующего элемента матрицы А на число : bij = aij, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m. Пример. 5

Свойства операций сложения матриц и умножения на число. Таким образом, множество Wm n ( ) матриц размера m n с введенными выше операциями сложения матриц и умножения на число образует линейное пространство. 6

3. Произведением матрицы А размера m n на матрицу В размера n k называется матрица С размера m k, элементы которой вычисляются по формуле cij = , i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m. (сумма попарных произведений элементов i-ой строки и j-ого столбца). Пример. 7

Замечание. Число столбцов матрицы А и число строк матрицы В должно быть одинаковым. Свойства операции умножения матриц. 1. АВ ВА ( произведение матриц не коммутативно). 2. A(BC)=(AB)C, для 3. (A+B)C=AС+BC, для D(A+B)=DA+DB, для 4. AO=OA=O, для 5. AE=EA=A, для 6. α(AB)=(αA)B=AαB, для 8

Перестановки и подстановки из n элементов. Определение. Пусть каждое из чисел принимает одно из значений 1, 2, …, n, причем среди этих чисел нет совпадающих. Тогда говорят, что числа являются некоторой перестановкой чисел 1, 2, …, n. Заметим, что k 1 может принимать n различных значений, тогда k 2 при заданном k 1 может принимать n-1 значение, k 3 при заданных k 1 и k 2 может принимать n-2 значения и т. д. . Следовательно, всего существует перестановок из n элементов. Определение. Перестановка (1, 2, …, n) называется тривиальной. Обозначение: Sn- множество всех перестановок на множестве первых n натуральных чисел. 9

Определение. Пусть дана перестановка . Говорят, что пара чисел образуют инверсию (беспорядок) в заданной перестановке, если при . Перестановка называется четной, если число инверсий в ней четное, и нечетной, если число инверсий нечетное. Обозначение: - число инверсий в заданной перестановке. Например, (четная); (нечетная). 10

Определение. Транспозицией двух определенных элементов в перестановке называется замена их местами. Перестановки отличаются на транспозицию. Утверждение. Любая транспозиция меняет четность перестановки. Доказательство. 1. Транспозиция соседних элементов. В перестановке поменяем два соседних элемента местами. Число инверсий изменится на единицу. Действительно, если пара инверсию образует, то пара не образует инверсию, и наоборот, если пара инверсию не образует, то пара образует инверсию. 11

2. Поменяем в перестановке местами не соседние элементы: Сначала, совершив s транспозиций соседних элементов, поставим элемент ki на j- ое место: Затем поменяем элементы ki и kj местами: , при этом мы совершим еще одну транспозицию соседних элементов. И, наконец, совершив еще s транспозиций соседних элементов, поставим элемент kj на i- тое место: Всего мы совершили 2 s+1 транспозицию соседних элементов. Таким образом, число инверсий изменится на нечетное число, а значит, изменится четность перестановки. 12

Определение. Подстановкой из n элементов {1, 2, …, n} называется взаимно однозначное отображение множества первых n натуральных чисел в себя. В развернутой и наглядной форме произвольную подстановку где k =1, 2, …, n , записывают в виде , полностью указывая все образы. Определение. Перестановки σ. τ Sn перемножаются в соответствии с общим правилом композиции отображений: 13

Например, пусть , Тогда 14

Любую перестановку σ Sn можно представить в виде произведения более простых перестановок. Идею разложения поясним схематически на примере. Пусть σ. τ S 4 : 2 σ = 3 1 цикл длины 4. 4 τ=(14)(23)- произведение двух независимых 4 3 2 ( непересекающихся) τ = 1 циклов длины 2. 15

Заметим, что 16

Пусть Если цикл имеет длину 1, то он действует как единичная перестановка. Естественно такие циклы в произведении опускать. Некоторую неловкость вызывает тот факт, что произведение циклов (12345)(67) можно интерпретировать как перестановку из Sn при любом n 7, однако, при фиксированном n никакой неоднозначности нет. Теорема. Каждая перестановка является произведением независимых циклов длины 2. Это разложение единственно с точностью до порядка следования циклов. 17

Определитель n - ого порядка. Пусть А – квадратная матрица размера n n: С каждой такой матрицей связывают определенную численную характеристику, называемую определителем, соответствующим этой матрице. 18

Определение. Определителем n-ого порядка, соответствующим квадратной матрице A, называется алгебраическая сумма n! слагаемых, составленная следующим образом: слагаемыми служат всевозможные произведения из n элементов матрицы A, взятые по одному из каждой строки и каждого столбца . Причем со знаком «+» входят те слагаемые, у которых индексы составляют четную перестановку и со знаком « - » те слагаемые, у которых индексы составляют нечетную перестановку. 19

Пример. Вычислить определитель: Инверсии: Подстановка нечетная. 20

Свойства определителя. 1)При транспонировании определитель не меняется. Доказательство. Пусть где Тогда Упорядочим по первым индексам, при этом совершим ε(σ) транспозиций. 21

Тогда перестановка вторых индексов причем . Тогда Замечание. Из доказанного свойства следует, что если для определителей выполнено какое-то свойство относительно строк (столбцов), то оно имеет место и относительно столбцов (строк). 22

2)При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный. Доказательство. Пусть Тогда 23

так как перестановки отличаются на транспозицию, а любая транспозиция меняет знак перестановки. 24

3. Если две строки (столбца) определителя равны, то он равен нулю. Доказательство. Пусть в матрице A совпадают i– ая и j – ая строки. Тогда, если поменять эти строки местами данная матрица не изменится. Тогда 25

4)Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором - вторые слагаемые. Доказательство. Пусть 26

Тогда 27

5)Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) на число не равное нулю равносильно умножению определителя на это число. Доказательство. Пусть Тогда 28

6) Определитель не изменится, если к одной его строке (столбцу) прибавить любую другую строку (столбец), умноженную на произвольное число. 7) Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю. 8) Определитель единичной матрицы равен 1. 9) Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. 10) Определитель верхней треугольной (нижней треугольной) матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали. 29

Определение. Минором элемента aij матрицы А размера n n называется определитель порядка n-1 , соответствующий квадратной матрице A’ размера n-1, которая получается из матрицы А в результате вычеркивания i – ой строки и j-ого столбца (обозначают Mij ). Определение. Величина называется алгебраическим дополнением элемента aij. . 30

Теорема ( разложение определителя по элементам i – ой строки). где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij. Доказательство. 1) Докажем, что 31

Совокупность всех перестановок , оставляющих на месте символ 1, отождествляется с множеством перестановок, действующих на множестве (23…n). 32

33

Теорема ( разложение определителя по элементам j – ого столбца). где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij. Следует из первого свойства определителя и предыдущей теоремы. 34

Теорема (об алгебраических дополнениях соседних строк). Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов, какой- либо другой строки равна нулю. Доказательство. Рассмотрим матрицу A`, у которой совпадают i-ая и k-ая строки. Определитель такой матрицы равен нулю. Разложим данный определитель по элементам k – ой строки. 35

36

Обратная матрица. Квадратная матрица А– 1 является обратной к квадратной матрице А, если А А– 1 = А– 1 А = Е, где Е – единичная матрица, т. е. матрица, у которой на главной диагонали стоят 1, а все остальные элементы равны 0. Квадратная матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю. Для каждой невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица А– 1. 37

Способы нахождения обратной матрицы. 1. Метод присоединенной матрицы. Обратная матрица может быть найдена по формуле: АV – присоединенная матрица. Числа Aij – алгебраические дополнения элемента аij (i = 1. . . n, j = 1. . . n), которые находим по формуле: Aij = (– 1)i+j Mij. , где Mij - минор элемента аij. 38

2. Метод элементарных преобразований. Определение. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие преобразования: 1. перестановка строк (столбцов); 2. умножение строки (столбца) на число, не равное нулю; 3. прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число. Обратную матрицу также можно найти с помощью элементарных преобразований. Для этого необходимо выполнить следующие действия: 1. Составить расширенную матрицу , приписав к матрице А справа единичную матрицу. 39

2. С помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы привести матрицу А к единичному виду: 3. Тогда матрица, которая получилась справа и есть обратная к матрице А. 40

Утверждение. Для каждой невырожденной квадратной матрицы A существует и притом единственная обратная матрица A-1, причем Aij – алгебраические дополнения элемента аij. Доказательство. Из теоремы об алгебраических дополнениях соседних строк (при i j ) и теоремы о разложение определителя по элементам i – ой строки (при i = j ). 41

Аналогично, рассмотрим Из теоремы об алгебраических дополнениях соседних столбцов (при i j) и теоремы о разложение определителя по элементам j – ого столбца (при i=j). 2) Докажем единственность. Доказываем методом от противного. Предположим, что Тогда 42

Свойства обратной матрицы. 43

Ранг матрицы. Определение. Минором k-го порядка матрицы А размера m n называется определитель k порядка с элементами , стоящими на пересечении выбранных k строк и k столбцов матрицы A (k min (m, n) ). Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок минора этой матрицы, отличный от нуля. Например, в матрице все миноры 3 -го порядка равны нулю. Действительно, Но, существует минор 2 -го порядка (например, ), отличный от нуля. 44

Ранг матрицы А обозначается r(A) или rang. A. Таким образом, если ранг матрицы равен r, то среди миноров r-го порядка есть минор, не равный нулю, а все миноры порядка r +1 равны нулю. Определение. Отличный от нуля минор , порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, но все они имеют один и тот же порядок. Столбцы и строки , на пересечении которых расположен базисный минор, называются базисными строками и столбцами. 45

Линейная зависимость строк матрицы. Будем рассматривать строки матрицы A размера m n как элементы линейного пространства, то есть как множество всевозможных упорядоченных наборов из n вещественных чисел (пространство строк длины n – R n ), где линейные операции над строками введены следующим образом: Строки линейно зависимы, если 46

Замечание. Аналогично вводится понятие линейной зависимости столбцов. Утверждение. Строки где линейно независимы. Доказательство. Доказываем методом от противного. Предположим, что 47

строки линейно независимы. 48

При вычислении ранга матрицы выполняют следующие элементарные преобразования: 1) перестановка двух строк (столбцов); 2) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же, отличное от нуля, число. 3) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число. Определение. Матрицы, получающиеся одна из другой при элементарных преобразованиях, называются эквивалентными. Эквивалентные матрицы не равны между собой, но, как можно доказать, они имеют одинаковые ранги. 49

Утверждение. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Доказательство. Пусть Mr – базисный минор, а M /r - базисный минор после элементарных преобразований. - Если в базисный минор не входят строки, над которыми совершаются э. п. , то все доказано. -Если в базисный минор входят строки, над которыми совершаются э. п. , то для 1 типа э. п. det. Mr = - det. M /r , для 2 типа det. Mr = λdet. M /r , для 3 типа det. Mr = det. M /r. -Если в базисный минор входит только одна из строк, над которыми совершаются э. п. , то заменим базисный минор на минор, отличающийся от исходного не более чем знаком. 50

Определение. Матрица A называется ступенчатой, если 1) Номера ведущих элементов ее строк образуют строго возрастающую последовательность, 2) нулевые строки, если они есть стоят в конце. 51

Теорема 1. Каждую матрицу А ранга r с помощью элементарных преобразований строк и перестановки столбцов можно привести к ступенчатому виду: Доказательство: Переставим строки или столбцы так, чтобы в верхнем левом углу стоял элемент, неравный нулю. Пусть это будет 52

Разделим элементы первой строки на получим: Из 2 -ой строки вычтем первую, умноженную на ; из 3 -ей строки вычтем 1 -ую, умноженную на , из m-ой строки 1 -ую, умноженную на . 53

Получим: A 1 - матрица, содержащая (m-1) строк и (n-1) столбцов. Значения элементов 1 -ой строки несущественны (элементы, обозначенные *) К матрице А 1 применим тот же прием. Получим матрицу А 2 и т. д. Мы приведем матрицу А к ступенчатому виду. 54

Теорема 2. Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Доказательство: Минор, стоящий в r столбцах и r строках ступенчатой матрицы A : а все миноры r+1 порядка и выше будут содержать нулевую строку, а значит будут равны 0. Следовательно, rang A= r. 55

Способы нахождения ранга матрицы. 1. Метод элементарных преобразований. Для нахождения базисного минора и ранга матрицы приведем матрицу А с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду: Ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк. Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. Следовательно, ранг матрицы А равен числу ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы. 56

2. Метод окаймляющих миноров. Выберем какой-нибудь отличный от нуля минор первого порядка и рассмотрим все миноры второго порядка, которые окаймляют минор , т. е. содержат его внутри себя. Если все эти миноры второго порядка равны нулю, то - базисный минор и ранг матрицы равен 1. Если среди указанных миноров второго порядка есть отличный от нуля минор , то рассмотрим его окаймляющие миноры третьего порядка. Если все миноры третьего порядка, окаймляющие минор равны нулю, то - базисный минор и ранг матрицы равен 2. Если же среди указанных миноров третьего порядка существует минор не равный нулю, то рассматриваем окаймляющие его миноры четвертого порядка и так далее. 57

Процесс продолжается до тех пор, пока не найдется отличный от нуля минор порядка r, а все окаймляющие его миноры (r+1) порядка будут равны нулю. Такой минор и есть базисный, а число r-ранг матрицы. 58

Теорема о базисном миноре Базисные строки (базисные столбцы) линейно независимы. Любая строка (любой столбец) матрицы А являются линейной комбинацией базисных строк (базисных столбцов). Доказательство: 1. Предположим для определенности, что базисный минор матрицы A расположен в ее левом углу. 59

Докажем, что первые r строк A(1), A(2), …, A(r) Л. Н. З. Доказываем методом от противного. Предположим, что строки A(1), A(2), …, A(r) Л. З. Тогда одна из них является линейной комбинацией оставшихся. Предположим, что это j-ая строка: A(j) =α 1 A(1) +α 2 A(2)+… +αj− 1 A(j− 1)+ αj+1 A(j+1)+…+ αr A(r). А значит, в базисном миноре j-ая строка является линейной комбинацией остальных строк. А тогда из свойств определителя Mr=0, что противоречит выбору базисного минора. Следовательно, мы доказали, что базисные строки линейно не зависимы. 2. Для любых i, j где 1 ≤ i≤ m, 1 ≤ j ≤ n рассмотрим определитель 60

Покажем, что он равен 0. При i r у определителя есть 2 одинаковые строки, при j r у определителя есть 2 одинаковых столбца, следовательно, ∆ = 0. В остальных случаях (i >r , j > r) является минором r+1 матрицы A, а значит, он равен 0, так как rang A=r и все миноры более высокого порядка равны 0. Разложим определитель ∆ по последнему столбцу: a 1 j A 1 j +a 2 j A 2 j+… +arj Arj+ aij Aij=0, , где Aij = Mr 0. Разделим на Mr : a 1 j A 1 j / Mr +a 2 j A 2 j/ Mr +… +arj Arj/ Mr + aij =0, 61

aij = −a 1 j A 1 j / Mr −a 2 j A 2 j/ Mr −… −arj Arj/ Mr. Полученное равенство выполняется для j (1 ≤ j ≤ n) и числа λ 1 = −A 1 j / Mr , λ 2 = − A 2 j/ Mr , …, λr = −Arj/ Mr не зависят от j: aij = λ 1 a 1 j + λ 2 a 2 j +…+ λr arj , j =1, 2, … n. A(i) = λ 1 A(1) + λ 2 A(2) +…+ λr A(r) , то есть i строка матрицы A является линейной комбинацией базисных строк A(1), A(2), …, A(r). В виду произвольности выбора i (1 i m) любая строка матрицы А являются линейной комбинацией базисных строк. 62

Теорема (об определителе). det A = 0 тогда и только тогда, когда строки матрицы A линейно зависимы. Доказательство. 1. det A 0 r = n все строки базисные, а значит, л. н. з. 2. det A = 0 r < n при элементарных преобразованиях получим нулевую строку, а значит, строки линейно зависимы. Теорема о ранге матрицы. Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) в этой матрице. 63

Решение матричных уравнений 1. Пусть дано уравнение вида: AX = B. Умножим обе части исходного уравнения слева на А– 1: А– 1 AX = А– 1 B, тогда X = А– 1 B – решение данного уравнения. 2. XA = B. Умножим обе части исходного уравнения справа на А– 1: XA А– 1 = B А– 1, тогда X = B А– 1 – решение уравнения. 3. AXB = C. Умножим обе части исходного уравнения слева на A– 1, справа на B– 1: А– 1 AXBB– 1 = А– 1 CB– 1, тогда X = А– 1 CB– 1 – решение уравнения. 64

Замечание: А и В – квадратные матрицы и det. A 0, det. B 0. Решение систем линейных уравнений. Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными: где xi – неизвестные, aij – коэффициенты при j-м неизвестном в i-м уравнении; bi – свободный член в i-м уравнении. 65

В матричном виде это уравнение может быть записано в виде: AX = B, где – матрица системы (*); – столбец неизвестных; – столбец свободных членов. Матрицу вида называют расширенной матрицей системы (*). 66

Решением системы линейных уравнений (*) называется упорядоченный набор чисел (х1, . . . , хn), при подстановке которых в систему вместо соответствующих неизвестных каждое уравнение системы обращается в истинное равенство. Решить систему линейных уравнений – значит найти все её решения. Система линейных уравнений может быть однородной (если все bi = 0) и неоднородной (если хотя бы один из bi 0). 67

По количеству решений системы линейных уравнений делятся на: совместные (существует решение); несовместные (нет решений). Совместные системы линейных уравнений делятся на: определенные (имеет ровно одно решение); неопределенные ( имеет более одного решения). Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как всегда имеет тривиальное решение (x 1 = 0, x 2 = 0, . . . xn = 0). Системы линейных уравнений называются эквивалентными, если множества их решений совпадают. Элементарными преобразованиями системы называются элементарные преобразования строк расширенной матрицы. Элементарные преобразования приводят к эквивалентным системам. 68

Формулы Крамера. Если число уравнений и число неизвестных совпадают (m = n) и det. A 0, то система линейных уравнений АХ = В имеет и притом единственное решение, которое может быть найдено с помощью формул Крамера: где det. A – определитель матрицы А; а det. Ai – определитель, получаемый из определителя матрицы A заменой i-го столбца на столбец свободных членов. Доказательство. 1. Докажем существование решения. АХ = В, det. A 0 А– 1. Умножим обе части исходного уравнения слева на А– 1: А– 1 AX = А– 1 B X = А– 1 B. 69

70

2. Докажем единственность. Доказываем методом от противного. Предположим, что существует два решения и Подставим их в i уравнение: Вычтем из первого уравнения второе: Если решения и не совпадают, то хотя бы одна из разностей столбцы линейно зависимы det. A=0, что противоречит условию. 71

Замечание. Система из n уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда det. A 0. Критерий совместности системы линейных уравнений. Теорема Кронекера – Капелли. Для того что бы система была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы à был равен рангу матрицы А (rang à = rang. A). Доказательство. Элементарные преобразований приводят нас к эквивалентным системам. При помощи элементарных преобразований строк и перестановки столбцов расширенную матрицу à системы AX=B можно привести к одному из следующих видов: 72

где Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы. rang à = rang Ã' > r , rang A = rang A' = r. Получили, что rang à rang A. 73

В новой системе, эквивалентной исходной системе, уравнение в котором имеет вид: х1 0+x 2 0+. . . +хn 0= система несовместная, то есть не имеет решений. Такой случай возможен, если m = n. rang à = rang Ã' = n , rang A = rang A' = n существует и притом единственное решение этой системы (так как det. A 0), которое можно найти с помощью формул Крамера, или выразив неизвестные из эквивалентной системы: 74

Выразим из первого уравнения xn , затем из второго выразим xn-1 , подставив xn , и так далее. Получили, что если rang A = rang à = n, то система совместная, определенная. 75

где все rang à = rang Ã' = rang A'. Переставим столбцы, с которых начинаются ступеньки, на первые r мест и с помощью элементарных преобразований строк добьемся того, чтобы на главной диагонали базисного минора стояли 1, а все остальные элементы базисного минора были равны 0. 76

Получили систему, эквивалентную исходной. Система совместная неопределенная, т. е. имеет множество решений. Неизвестные , столбцы которых находятся в базисном миноре, называются базисными неизвестными; все остальные неизвестные ( ) – свободные неизвестные. 77

Выразим базисные неизвестные через свободные: Тогда решение нашей системы где с1. . . сn–r R. 78

Свойства решений однородной системы линейных уравнений (О. С. Л. У. ). 1. О. С. Л. У. всегда совместна, так как всегда имеет тривиальное решение (x 1 = 0, x 2 = 0, . . . xn = 0). 2. Если число уравнений О. С. Л. У. меньше числа неизвестных, то эта система имеет ненулевое решение. (так как rang A m < n ). 3. Сумма решений О. С. Л. У. также является ее решением. Доказательство. Пусть M 0 - множество решений О. С. Л. У. , 79

4. Произведение решения О. С. Л. У. на любое действительное число также является решением этой системы. Доказательство. 5. Если rang A = r < n, то фундаментальная система решений состоит из (n-r) линейно независимых решений. Определение. Совокупность линейно независимых решений О. С. Л. У. образует базис в пространстве всех решений и называется фундаментальной системой решений (r=rang A), если любое решение может быть представлено в виде линейной комбинации решений : Доказательство. 1. 80

Выразим базисные неизвестные: 81

Покажем, что в M 0 существует совокупность из (n-r) линейно независимых решений. Пусть Покажем, что решения линейно независимы. Составим их линейную комбинацию: 82

2. Пусть Покажем, что любое решение может быть представлено в виде линейной комбинации решений 83

Умножим на Сложим их и вычтем 84

Так как - решения О. С. Л. У. , то линейная комбинация решений также является решением системы. Следовательно, b 1, b 2, …, br являются линейной комбинацией свободных неизвестных br+1, br+2, …, bn , которые равны нулю b 1= b 2=…= br=0 85

Следствие. Пусть - Ф. С. Р. системы AX=0. Тогда 86

Свойства решений неоднородной системы линейных уравнений (Н. С. Л. У. ). Пусть M - множество решений Н. С. Л. У. AX=B, а M 0 - множество решений соответствующей О. С. Л. У. AX=0. 1. Для любых решений решение Доказательство. 2. Для любых решение и решение Доказательство. 87

Из доказанного утверждения следует, что найдя одно решение неоднородной системы и складывая его с каждым решением однородной системы, мы получим все решения системы AX=B. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений состоит из суммы частного решения неоднородной системы и фундаментальной системы решений соответствующей однородной системы. 88

Пример. Решить следующие системы линейных уравнений: Решение. 1) Запишем расширенную матрицу системы: 89

90